【正文】 馬休蕾遣肉疙奢渴磅虞訖孫躇駭捎語機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 58 25 齊次坐標(biāo)變換 3 桿件空間位姿的描述 用齊次變換描述機(jī)器人的空間位姿，一般采用兩個(gè)坐標(biāo)系： 固定在基座上的固定坐標(biāo)系，不隨桿件運(yùn)動(dòng)，叫基準(zhǔn)參考 坐標(biāo)系；一個(gè)為固連在桿件上，隨桿件運(yùn)動(dòng)，叫桿件坐標(biāo) 系或桿系 例 2－ 4 一個(gè)棱柱體原始位置如圖（ a），變換前固定 系 OXYZ與動(dòng)系 OX’Y’Z’重合，棱柱體在動(dòng)系中的姿態(tài)可 用 6個(gè)點(diǎn)描述： 羨派使購茲勘服緯晶電櫻蔽諜仆揭僻信雹代捂邵濕切嫂閥討凱甄鉛會(huì)碎賬機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 59 25 齊次坐標(biāo)變換 3 桿件空間位姿的描述 涌眷晝橙黃徹絕榆酵還妖梳粱隸施斌舜負(fù)碉瓷綴弧貶哭掇降鑼腎樞踞譏緯機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 60 25 齊次坐標(biāo)變換 3 桿件空間位姿的描述 若讓棱柱體繞 Z旋轉(zhuǎn) 90度，再繞 Y轉(zhuǎn) 90度，再沿 X平移 4，則 變換為 降票挖醚掘揮踢社躁英物饋平忍率殆濃薯創(chuàng)趙額億咯服壁嫌剁裂兄巧祝賓機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 61 25 齊次坐標(biāo)變換 土敗邦赦牙吟蛛任馳榴首詳僧霸刃片銷謠倉壯蜘祟右濘齋矯遣喊品綁些沉機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 62 25 齊次坐標(biāo)變換 由于動(dòng)系與桿件的關(guān)系是固定不變的，動(dòng)系與固定系的相對(duì)位姿 可以用變換矩陣來表示，只要?jiǎng)酉档奈蛔舜_定了，則桿件在空間 中的位姿也就可以確定，也就是說，我們可以用齊次變換來描述 物體在空間的位置和方向。 捂耽災(zāi)酪啥又愈熒驅(qū)竅恫餒算蔑偏眶襖帛懇撐天堂監(jiān)黑緊火秘墳贛嫉匙鐘機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 63 25 齊次坐標(biāo)變換 4 齊次變換的性質(zhì) 變換過程的相對(duì)性 本節(jié)所講的齊次變換都是對(duì)固定坐標(biāo)系而言的，如前面例子中： 其變換過程如右圖所示，動(dòng)系先繞固定系 Z軸旋轉(zhuǎn) 90度，再繞 Y軸旋轉(zhuǎn) 90度，最后平移 4i＋ 3j+7k，變換從右往左進(jìn)行。 如果按相反順序變換，即從左往右進(jìn)行，變換過程如圖左所示 最后結(jié)果是一樣的 一般說來，當(dāng)變換矩陣左乘時(shí)，產(chǎn)生的變換是相對(duì)于固定系進(jìn)行的，變換矩陣右乘時(shí)，所產(chǎn)生的變換是相對(duì)于動(dòng)系的。 隱普棗抬擁夏爐唬硫綿延殼短震閣棘巡木翠騰兜只響處杭系郴嘆勸可象搖機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 64 25 齊次坐標(biāo)變換 變換過程的可逆性 齊次坐標(biāo)變換是可逆的，逆變換就是使被變換的動(dòng)系回到固定系中 以例 2－ 4中的齊次變換為例： 若從逆方向看圖（ b），固定系的 X軸與動(dòng)系的 Z’軸方向一致，故 X軸在動(dòng)系中可表示為 [0,0,1,0]T 同樣固定系的 Y軸可表示為 [1, 0,0, 0]TZ軸為 [0, 1, 0, 0]T，原點(diǎn)可表示為 [0,0,－ 4,1]T于是逆變換表示為 : 可通過 HH－ 1＝ I檢驗(yàn)?zāi)孀儞Q的正確性 贓嘔牲藻扼內(nèi)謙嚷緊泅穿痹麓貼薊屑菌經(jīng)猴籃喀駁溪拖疲初基灶升猩糊礦機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 65 25 齊次坐標(biāo)變換 變換過程的封閉性 為了說明封閉性，見下圖，機(jī)器人的手部的中心點(diǎn)在固定系中的位姿可以用兩種變換來表示。一種是通過固定系原點(diǎn)～機(jī)器人機(jī)座～機(jī)器人胸部～手部中心點(diǎn)的變換來表示，即 Z一 T6一 E。另一種是通過固定系原點(diǎn)～被夾持物體的角點(diǎn)～機(jī)器人手部中心的變換來表示，即 B－ G。由于兩個(gè)變換的起終點(diǎn)相同，故兩個(gè)變換相同，即 鋇管臀逞戮鈕表蚊麓考拂灼庇煤褒捌什墩耀通罩嚨禮項(xiàng)桿枝仟爽割譴組奈機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 66 25 齊次坐標(biāo)變換 此式叫變換方程，該方程可以用一個(gè)有向變換圖來表示，見圖，圖中每一個(gè)弧段表示一個(gè)變換，從變換的起點(diǎn)向外指，封閉于共同的終點(diǎn)，組成一個(gè)封閉的圓形。 利用此變換圖，可以求出變換方程（ 2－ 23）中的任意一個(gè)變換，只需要從所要求的變換的弧段的尾部出發(fā)，沿著圓周轉(zhuǎn)一圈到該變換的頭部，凡順著箭頭的為正變換，反之為逆變換，這樣就可以寫出變換的結(jié)果。如要列出 G變換，可從 G弧段的尾部出發(fā)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)到 G的頭部，于是可得到 可見使用變換圖簡化了變換方移的求解。 籍筐紗穆戮聚芒安瓦艙謗顯膜劍腦倡鏟使?jié)M貳召羌挺紗信戮晰旅金劫椅癢機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 67 26 一般旋轉(zhuǎn)變換及等效變換 討論繞通過坐標(biāo)系原點(diǎn)的任意向量 K的旋轉(zhuǎn)變換 1 一般旋轉(zhuǎn)變換 K為某坐標(biāo)系 C的 Z軸單位向量，而 K向量在基準(zhǔn)坐標(biāo)系 A中，設(shè) 父圃捐天氓惹叫惺拉腑抽精媒咱戎堤吾蠶茅靴蔬唁濺梆濱鋒恒閹鈾播血拂機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 68 26 一般旋轉(zhuǎn)變換及等效變換 若 i、 j、 k為基準(zhǔn)坐標(biāo)軸的單位向量，則 K可表示為： 繞 K軸旋轉(zhuǎn)等于繞 C系內(nèi)的 Z軸旋轉(zhuǎn)，即： 設(shè)坐標(biāo)系 D相對(duì)于 A的變換矩陣 ATD ，那么我們就知道 D相對(duì)于 C的坐標(biāo)變換矩陣 CTD。 DCCADA TTT ?（ 2－ 27） DACADC TTT 1??（ 2－ 28） kajaiaK zyx ???（ 2－ 25） ),(),( ?? cZR o tKR o t ?（ 2－ 26） 援蛇輛摯話律蟄穩(wěn)戶氫科撫眼扦辦鋼脈諧纜冷陣聯(lián)骨墓宿侮男判兆蓄眺嘉機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 69 167。 26 一般旋轉(zhuǎn)變換及等效變換 繞 K軸轉(zhuǎn)動(dòng) D，相當(dāng)于繞 C系的 Z軸旋轉(zhuǎn) D，即 DCCCADA TZR o tTTKR o t ),(),( ?? ?（ 2－ 29） DACACCADA TTZR o tTTKR o t 1),(),( ?? ??（ 2－ 30） 1),(),( ?? CACCA TZR o tTKR o t ??（ 2－ 31） 拄證閻鎊鼠拖知惺蠢鉸鄙闡炯猴拋?zhàn)ＦI鐐垃神竄違騎蚊棠蛆掠選試急咯機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 70 26 一般旋轉(zhuǎn)變換及等效變換 式中： 愉政滯敗緣癱既縛蛻潮億論餒氖畜型芒危粗一鯨侶夠蓋狹畜吵腹航妹種絢機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 71 26 一般旋轉(zhuǎn)變換及等效變換 令 定義： 則有： ?? c o s1 ??V e rs上式即為繞任意向量 K旋轉(zhuǎn)時(shí)變換矩陣的一般表達(dá)式 繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)只是其特例 糠碳時(shí)副齊須訂康揩商鏟亢邢晤誠屆谷鑄趨挖弟技可幢院嘴彰痔胰冒瑯廠機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 72 27 一般旋轉(zhuǎn)變換及等效變換 這里討論的是一般旋轉(zhuǎn)變換的逆過程，即任給一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，如何根據(jù)式 (233)求出相應(yīng)的轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角。 2 等效旋轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)軸 設(shè)已知一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換 R 我們不妨認(rèn)為這個(gè)變換是繞 K軸旋轉(zhuǎn) θ角得到的，即 R = Rot(K,θ)，展開此式得 隆佩登傷荊際醛幽孔皂夢(mèng)芋孿彈磷瘋鷗雅用畢捎憫幣驗(yàn)努勿祿訖顛卉煌標(biāo)機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 73 27 一般旋轉(zhuǎn)變換及等效變換 將式（ 234）兩邊的主對(duì)角線元素相加，并整理得 再將式（ 234）中的有關(guān)元素相減，得 將此三式平方相加，可得： 閻閱合芒派符包養(yǎng)事染新還署捍城腐擬餐忍膜如激躥樁崖著憶姿惠糖夠窄機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講 2/9/2022 74 27 一般旋轉(zhuǎn)變換及等效變換 我們規(guī)定當(dāng) 這樣我們就求得了 θ角。 再由是（ 236）有 研究一般旋轉(zhuǎn)變換的意義在于它可以簡化繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換，取得同樣的效果，即繞坐標(biāo)軸的多次旋轉(zhuǎn)組合變換可以由繞某個(gè) K軸旋轉(zhuǎn) θ角一次完成。 時(shí)，是繞 K軸的正方向旋轉(zhuǎn)，則： 涪陸月即炎甩備鼎要挎粱渾特伏為俠斜楔多雇遍郴擯粒冪女圓所剔強(qiáng)犢絡(luò)機(jī)器人技術(shù)第2講機(jī)器人技術(shù)第2講