【正文】 值時(shí)， PQ⊥ AC； （ 2）設(shè) △ PQD 的面積為 y（ cm2），當(dāng) 0＜ x＜ 2 時(shí)，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）當(dāng) 0＜ x＜ 2 時(shí)，求證： AD 平分 △ PQD 的面積； （ 4）探索以 PQ 為直徑的圓與 AC 的位置關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)位置關(guān)系的 x 的取值范圍（不要求寫(xiě)出過(guò)程）． 【分析】 （ 1）若使 PQ⊥ AC，則根據(jù)路程 =速度 時(shí)間表示出 CP 和 CQ 的長(zhǎng)，再根據(jù) 30度的直角三角形的性質(zhì) 列方程求解； （ 2）首先畫(huà)出符合題意的圖形，再根據(jù)路程 =速度 時(shí)間表示出 BP， CQ 的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的三線合一求得 PD 的長(zhǎng)，根據(jù) 30 度的直角三角形的性質(zhì)求得 PD 邊上的高，再根據(jù)面積公式進(jìn)行求解； （ 3）根據(jù)三角形的面積公式，要證明 AD 平分 △ PQD 的面積，只需證明 O 是 PQ 的中點(diǎn)．根據(jù)題意可以證明 BP=CN，則 PD=DN，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明； （ 4）根據(jù)（ 1）中求得的值即可分情況進(jìn)行討論． 【解答】 解：（ 1）當(dāng) Q 在 AB 上時(shí)，顯然 PQ 不垂直于 AC， 當(dāng) Q 在 AC 上時(shí)，由題意得， BP=x， CQ=2x， PC=4﹣ x； ∵ AB=BC=CA=4， ∴∠ C=60176。； 若 PQ⊥ AC，則有 ∠ QPC=30176。， ∴ PC=2CQ， ∴ 4﹣ x=2 2x， ∴ x= ； （ 2） y=﹣ x2+ x， 如圖，當(dāng) 0＜ x＜ 2 時(shí)， P 在 BD 上， Q 在 AC 上，過(guò)點(diǎn) Q 作 QN⊥ BC 于 N； ∵∠ C=60176。， QC=2x， ∴ QN=QC sin60176。= x； ∵ AB=AC， AD⊥ BC， ∴ BD=CD= BC=2， ∴ DP=2﹣ x， ∴ y= PD?QN= （ 2﹣ x） ? x=﹣ x2+ x； （ 3）當(dāng) 0＜ x＜ 2 時(shí)，在 Rt△ QNC 中， QC=2x， ∠ C=60176。； ∴ NC=x， ∴ BP=NC， ∵ BD=CD， ∴ DP=DN； ∵ AD⊥ BC， QN⊥ BC， ∴ AD∥ QN， ∴ OP=OQ， ∴ S△ PDO=S△ DQO， ∴ AD 平分 △ PQD 的面積； （ 4）顯然，不存在 x 的值，使得以 PQ 為直徑的圓與 AC 相離， 由（ 1）可知，當(dāng) x= 時(shí)，以 PQ 為直徑的圓與 AC 相切； 當(dāng)點(diǎn) Q 在 AB 上時(shí)， 8﹣ 2x= ，解得 x= ， 故當(dāng) x= 或 時(shí)，以 PQ 為直徑的圓與 AC 相切， 當(dāng) 0≤ x＜ 或 ＜ x＜ 或 ＜ x≤ 4 時(shí)，以 PQ 為直徑的圓與 AC 相交． 【點(diǎn)評(píng)】 此題綜合運(yùn)用了等邊三角形的性質(zhì)、直角 三角形的性質(zhì)以及直線和圓的位置關(guān)系求解．解題的關(guān)鍵是用動(dòng)點(diǎn)的時(shí)間 x 和速度表示線段的長(zhǎng)度，本題有一定的綜合性，難度中等． 21．（ 2022?德陽(yáng)）如圖，已知 BC 是 ⊙ O 的弦， A 是 ⊙ O 外一點(diǎn)， △ ABC 為正三角形， D為 BC 的中點(diǎn)， M 為 ⊙ O 上一點(diǎn)，并且 ∠ BMC=60176。． （ 1）求證： AB 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 E， F 分別是邊 AB， AC 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 ∠ EDF=120176。， ⊙ O 的半徑為 2，試問(wèn) BE+CF的值是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】 （ 1）連結(jié) OB、 OD、 OC，如圖 1，由于 D 為 BC 的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推理得OD⊥ BC， ∠ BOD=∠ COD，再根據(jù)圓周角定理得 ∠ BOD=∠ M=60176。，則 ∠ OBD=30176。，所以 ∠ABO=90176。，于是根據(jù)切線的判定定理得 AB 是 ⊙ O 的切線； （ 2）作 DM⊥ AB 于 M， DN⊥ AC 于 N，連結(jié) AD，如圖 2，根據(jù)等邊三角形三角形的性質(zhì)得 AD 平分 ∠ BAC， ∠ BAC=60176。，則利用角平分線性質(zhì)得 DM=DN，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得 ∠MDN=120176。，由于 ∠ EDF=120176。，所以 ∠ MDE=∠ NDF，接著證明 △ DME≌△ DNF 得到ME=NF，于是 BE+CF=BM+CN，再計(jì)算出 BM= BD， CN= OC，則 BE+CF= BC，于是可判斷 BE+CF 的值是定值，為等邊 △ ABC 邊長(zhǎng)的一半，再計(jì)算 BC 的長(zhǎng)即可． 【解答】 （ 1）證明：連結(jié) OB、 OD、 OC，如圖 1， ∵ D 為 BC 的中點(diǎn)， ∴ OD⊥ BC， ∠ BOD=∠ COD， ∴∠ ODB=90176。， ∵∠ BMC= ∠ BOC， ∴∠ BOD=∠ M=60176。， ∴∠ OBD=30176。， ∵△ ABC 為正三角形， ∴∠ ABC=60176。 ∴∠ ABO=60176。+30176。=90176。， ∴ AB⊥ OB， ∴ AB 是 ⊙ O 的切線； （ 2）解： BE+CF 的值是為定值． 作 DH⊥ AB 于 H， DN⊥ AC 于 N，連結(jié) AD，如圖 2， ∵△ ABC 為正三角形， D 為 BC 的中點(diǎn)， ∴ AD 平分 ∠ BAC， ∠ BAC=60176。， ∴ DH=DN， ∠ HDN=120176。， ∵∠ EDF=120176。， ∴∠ HDE=∠ NDF， 在 △ DHE 和 △ DNF 中， ， ∴△ DHE≌△ DNF， ∴ HE=NF， ∴ BE+CF=BH﹣ EH+CN+NF=BH+CN， 在 Rt△ DHB 中， ∵∠ DBH=60176。， ∴ BH= BD， 同理可得 CN= OC， ∴ BE+CF= OB+ OC= BC， ∵ BD=OB?cos30176。= ， ∴ BC=2 ， ∴ BE+CF 的值是定值 ，為 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等邊三角形的性質(zhì)． 22．（ 2022?廈門(mén)）已知四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙ O， ∠ ADC=90176。， ∠ DCB＜ 90176。，對(duì)角線 AC平分 ∠ DCB，延長(zhǎng) DA， CB 相交于點(diǎn) E． （ 1）如圖 1， EB=AD，求證： △ ABE 是等腰直角三角形； （ 2）如圖 2，連接 OE，過(guò)點(diǎn) E 作直線 EF，使得 ∠ OEF=30176。，當(dāng) ∠ ACE≥ 30176。時(shí)，判斷直線EF 與 ⊙ O 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【分析】 （ 1）由 ∠ ACD=∠ ABC 得到 = ，則 AD=AB，加上 EB=AD，則 AB=EB，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得 ∠ EBA=∠ ADC=90176。，于是可判斷 △ ABE 是等腰直角三角形 （ 2）由于 ∠ ACD=∠ ABC， ∠ ACE≥ 30176。，則 60176。≤∠ DCE＜ 90176。，根據(jù)三角形邊角關(guān)系得 AE≥ AC，而 OE＞ AE，所以 OE＞ AC，作 OH⊥ EF 于 H，如圖，根據(jù)含 30 度的直角三角形三邊的關(guān)系得 OH= OE，所以 OH＞ OA，則根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可判斷直線 EF 與 ⊙ O相離． 【解答】 （ 1）證 明： ∵ 對(duì)角線 AC 平分 ∠ DCB， ∴∠ ACD=∠ ACB， ∴ = ， ∴ AD=AB， ∵ EB=AD， ∴ AB=EB， ∵∠ EBA=∠ ADC=90176。， ∴△ ABE 是等腰直角三角形 （ 2）解：直線 EF 與 ⊙ O 相離．理由如下： ∵∠ DCB＜ 90176。， ∠ ACD=∠ ACB， ∵∠ ACE≥ 30176。， ∴ 60176。≤∠ DCE＜ 90176。， ∴∠ AEC≤ 30176。， ∴ AE≥ AC， ∵ OE＞ AE， ∴ OE＞ AC， 作 OH⊥ EF 于 H，如圖， 在 Rt△ OEH 中， ∵∠ OEF=30176。， ∴ OH= OE， ∴ OH＞ OA， ∴ 直線 EF 與 ⊙ O 相離． 【 點(diǎn)評(píng)】 本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系． 23．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=30176。，以 AB 為直徑的 ⊙ O 交 BC 于點(diǎn) D，交 AC 于點(diǎn) E，連接 DE，過(guò)點(diǎn) B 作 BP 平行于 DE，交 ⊙ O 于點(diǎn) P，連接 EP、 CP、 OP． （ 1） BD=DC 嗎？說(shuō)明理由； （ 2）求 ∠ BOP 的度數(shù)； （ 3）求證： CP 是 ⊙ O 的切線； 如果你解答這個(gè)問(wèn)題有困難，可以參考如下 信息： 為了解答這個(gè)問(wèn)題，小明和小強(qiáng)做了認(rèn)真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個(gè)題目．在進(jìn)行小組交流的時(shí)候，小明說(shuō)： “設(shè) OP 交 AC 于點(diǎn) G，證 △ AOG∽△ CPG”；小強(qiáng)說(shuō)： “過(guò)點(diǎn)C 作 CH⊥ AB 于點(diǎn) H，證四邊形 CHOP 是矩形 ”． 【分析】 （ 1）連接 AD，由圓周角定理可知 ∠ ADB=90176。，再由 AB=AC 可知 △ ABC 是等腰三角形，故 BD=DC； （ 2）由于 AD 是等腰三角形 ABC 底邊上的中線，所以 ∠ BAD=∠ CAD，故 = ，進(jìn)而可得出 BD=DE，故 BD=DE=DC， 所以 ∠ DEC=∠ DCE， △ ABC 中由等腰三 角形的性質(zhì)可得出 ∠ ABC=75176。，故 ∠ DEC=75176。由三角形內(nèi)角和定理得出 ∠ EDC 的度數(shù)，再根據(jù) BP∥ DE 可知 ∠ PBC=∠ EDC=30176。，進(jìn)而得出 ∠ABP 的度數(shù)，再由 OB=OP，可知 ∠ OBP=∠ OPB，由三角形內(nèi)角和定理即可得出 ∠ BOP=90176。； （ 3）設(shè) OP 交 AC 于點(diǎn) G，由 ∠ BOP=90176?？芍?∠ AOG=90176。在 Rt△ AOG 中，由 ∠ OAG=30176。，可知 = ，由于 = = ，所以 = ， = ，再根據(jù) ∠ AGO=∠ CGP 可得出 △AOG∽△ CPG，由相似三角形形的性質(zhì)可知 ∠ GPC=∠ AOG=90176。，故可得出 CP 是 ⊙ O 的切線． 【解答】 （ 1）解： BD=DC． 連接 AD，如圖 1， ∵ AB 是直徑， ∴∠ ADB=90176。， ∵ AB=AC， ∴ BD=DC； （ 2）解： ∵ AD 是等腰三角形 ABC 底邊上的中線， ∴∠ BAD=∠ CAD， ∴ = ， ∴ BD=DE， ∴ BD=DE=DC， ∴∠ DEC=∠ DCE， ∵△ ABC 中 ， AB=AC， ∠ A=30176。 ∴∠ DCE=∠ ABC= （ 180176。﹣ 30176。） =75176。， ∴∠ DEC=75176。 ∴∠ EDC=180176。﹣ 75176。﹣ 75176。=30176。 ∵ BP∥ DE， ∴∠ PBC=∠ EDC=30176。， ∴∠ ABP=∠ ABC﹣ ∠ PBC=75176。﹣ 30176。=45176。 ∵ OB=OP， ∴∠ OBP=∠ OPB=45176。， ∴∠ BOP=90176。； （ 3）證明：證法一： ∵ 設(shè) OP 交 AC 于點(diǎn) G，則 ∠ AOG=∠ BOP=90176。 ∴ OP⊥ AB 在 Rt△ AOG 中， ∵∠ OAG=30176。， ∴ = ， 又 ∵ = = ， ∴ = ， ∴ = ， 又 ∵∠ AGO=∠ CGP ∴△ AOG∽△ CPG， ∴∠ GPC=∠ AOG=90176。， ∴ CP 是 ⊙ O 的切線． 證法二：過(guò)點(diǎn) C 作 CH⊥ AB 于點(diǎn) H，如圖 2，則 ∠ BOP=∠ BHC=90176。， ∴ PO∥ CH 在 Rt△ AHC 中， ∵ ∠ HAC=30176。， ∴ CH= AC， 又 ∵ PO= AB= AC， ∴ PO=CH， ∴ 四邊形 CHOP 是平行四邊形 ∵ CH⊥ AB， ∴ 四邊形 CHOP 是矩形， 又 ∵ 點(diǎn) P 在圓 O 上， ∴∠ OPC=90176。，即 OP⊥ PC， ∴ CP 是 ⊙ O 的切線． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定圓的切線時(shí)構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)去證明過(guò)圓心的直線與切線垂直． 24．等腰直角 △ ABC 和 ⊙ O 如圖放置，已知 AB=BC=1， ∠ ABC=90176。， ⊙ O 的半徑為 1，圓心 O 與 直線 AB 的距離為 5．現(xiàn) △ ABC 以每秒 2 個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，同時(shí) △ ABC 的邊長(zhǎng) AB、 BC 又以每秒 個(gè)單位沿 BA、 BC 方向增大． （ 1）當(dāng) △ ABC 的邊（ BC 邊除外）與圓第一次相切時(shí)，點(diǎn) B 移動(dòng)了多少距離？ （ 2）若在 △ ABC 移動(dòng)的同時(shí)， ⊙ O 也以每秒 1 個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，則 △ ABC 從開(kāi)始移動(dòng)，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間？ （ 3）在（ 2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻， △ A