【正文】 [0,1]x? 時， 3 1 [1,4]x?? ， 1 [ 2, 1]x? ? ? ? ? ， ? 11t? ? ? ， ????????????????? 12 分 又 當 [0,1]x? 時，由 xt? 恒成立，得 [0,1]t? ， 因此，實數(shù) t 的取值范圍是 10t? ? ? ． ????????????? 14 分 方法二：（數(shù)形結(jié)合法）作出函數(shù) ]1,0[,12 ??? xxy 的圖像，其圖像為線段 AB （如圖）， ? txy ?? 的圖像過點 A 時， 1??t 或 1?t ， O xy1 2122?11?2 O xy1 211?233442?AB ?要使不等式 21x t x? ? ? 對 [0,1]x? 恒成立， 必須 11t? ? ? ， ????????????? 12 分 又 當函數(shù) )1( txh ?? 有意義時， xt? ， ?當 [0,1]x? 時，由 xt? 恒成立，得 [0,1]t? ， 因此，實數(shù) t 的取值范圍是 10t? ? ? ． ????????????? 14 分 方法三： 2( ) ln( 1)h x x??， ()hx 的定義域是 { 1}xx? ， ?要使 ( 1 )h x t?? 恒有意義，必須 tx? 恒成立， [0,1]x? ， [0,1]t?? ，即 0t? 或 1t? ． ??????① ??????? 12 分 由 ( 1 ) ( 2 2)h x t h x? ? ? ?得 22( ) (2 1)x t x? ? ?， 即 223 ( 4 2 ) 1 0x t x t? ? ? ? ?對 [0,1]x? 恒成立 ， 令 22( ) 3 ( 4 2 ) 1x x t x t? ? ? ? ? ?， ()x? 的對稱軸為 23tx ??? ， 則有 2 0,3(0) 0t???????? ??或2220 1 ,3( 4 2 ) 4 3 (1 ) 0ttt?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ??或 2 1,3(1) 0t???????? ?? 解得 11t? ? ? ． ??????② 綜合 ①、②， 實數(shù) t 的取值范圍是 10t? ? ? ． ????????????? 14 分 【說明】本題主要考查函數(shù)導數(shù)運算法則、導數(shù)的幾何意義、二次函數(shù)和分段函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的運用、不等式的求解與證明等基礎(chǔ)知識，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識 ． 21． （本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列 }{na 滿足： 211?a， *1 ,eenn n naana? ??? N（其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)）． （ 1）求數(shù)列 }{na 的通項 na ； （ 2）設(shè) nn aaaS ???? ?21 ， nn aaaaT ????? ?321 ，求證： 1??nnSn， 2e nnT ?? ． 解：（ 1）1 eenn n naa a? ? ?， 11eennnaa?? ? ?，即11111eennaa?? ??． ????????????? 3 分 令11en n nb a??，則 11 ??? nn bb ， 2111 ??ab， 因此，數(shù)列 }{nb 是首項為 2 ，公差為 1的等差數(shù)列． 11)1(2 ?????? nnb n ， ????????????? 5 分 1111e ( 1 ) en nnna bn??? ? ? ?． ????????????? 6 分 （ 2）（方法一）先證明當 *n?N 時， 1en n? ? ． 設(shè) 1( ) e , [1, )xf x x x?? ? ? ??，則 1( ) e 1xfx ?? ??， ?當 1?x 時 ， 0)( ?? xf ， )(xf? 在 ),1( ?? 上是增函數(shù)，則當 1?x 時， 01)( ?? ）（fxf ，即 1ex x? ? ． ??? 8 分 因此，當 *n?N 時， 1en n? ? ，11 1 1 1( 1 ) e ( 1 ) 1n na n n n n n?? ? ? ?? ? ?， ???? 9 分 當 *n?N 時， 1enn?? ， ( 2 1 )1111 e( 1 ) e e e nn n n na n ????? ? ???． ??????? 10 分 1111)111()3121()211(21 ?????????????????? n nnnnaaaS nn ??． ?????????? 12 分 21 3 5 ( 2 1 ) [ 1 3 5 2 1 ) ]1 2 3 e e e e e en n nnnT a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（． ????????? 14 分 （方法二）數(shù)學歸納法證明 （ 1） 2111 ?? aS? ， 211??nn ， ?當 1?n 時， 1??nnSn成立； 2111 ?? aT? ， 2 1e en? ? ， 又 e2? ， 112e??， ?當 1?n 時， 2e nnT ?? 成立． ????????????????? 8 分 （ 2）設(shè) kn? 時命題成立，即 1??kkSk ， 2e kkT ?? ， 當 1??kn 時，11 11 ( 2 ) ek k k kkS S a kk??? ? ? ???， 要證 211 ???? kkSk ， 即證 111 ( 2 ) e 2kkkk k k ???? ? ?， 化簡，即證 e1k k?? ． ?????????? 9 分 設(shè) ( ) e 1 , 0 , )xf x x x? ? ? ? ??（，則 ( ) e 1xfx? ??， ?當 0?x 時 ， 0)( ?? xf ， )(xf? 在 ),0( ?? 上是增函數(shù)，則當 0?x 時， 00)( ?? ）（fxf ，即 e1x x?? ． 因此，不等式 e1k k?? 成立，即當 1??kn 時 1??nnSn成立． ??????? 11 分 當 1??kn 時， 2211 1ee ( 2 ) e 2kkkk k k kT T a kk?????? ? ? ? ???， 要證 2( 1)1 e kkT ??? ? ， 即證 2 2( 1)e e2kk kk?? ???? ， 化簡，即證 1e2k k? ?? ． 根據(jù)前面的證明，不等式 1e2k k? ?? 成立，則 1??kn 時 2e nnT ?? 成立． 由數(shù)學歸納法可知，當 *n?N 時，不等式 1??nnSn， 2e nnT ?? 成立． ????? 14 分 【說明】考查了數(shù)列的遞推公式的處理、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)學歸納法等知識，考查學生的構(gòu)造數(shù)列和函數(shù)解決問題的意識，考查了學生變形的能力，化歸與轉(zhuǎn)化的思想以及創(chuàng)新意識 ．