82runge-kutta方法-資料下載頁
2025-10-03 16:27本頁面
【導讀】這個方法并不實用，因為一般情況下，求的導數(shù)相當麻煩。階導數(shù)的公式知道，方法的截斷誤差提高一階，需要增加的計算量很大。這就是Runge-Kutta方法的基本思想，其一般形式。參數(shù)和待定，確定它們的原則和方法是：將（）式中。的在處作Taylor展開，將在處作二元Taylor展開，它的局部截斷誤差是1111. 而構成的矩陣是一個嚴格下三角陣。的系數(shù)一般不為零。顯然，該方程組有無窮多組解，從而得到一族二級二階R-K方法。2c若以為自由參數(shù)，取得中點公式212?取c=1得改進的Euler公式（）。該方程組的解也是不唯一的。常見的一種三級三階方法是。第八章常微分方程數(shù)值解法??對于L=4的情形，可進行類似推導。最常用的四級四階方法是如下經(jīng)典R-K方法
【正文】 ? ?nxy 在微分方程數(shù)值解法的實際計算中，有個如何選擇步長的問題。因為單從每一步看，步長越小，截斷誤差越小。但隨著步長的縮小，在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了。步數(shù)的增加不但引起計算量的增大，而且可能導致舍入誤差的嚴重積累。 第八章常微分方程數(shù)值解法 在選擇步長時，我們需要衡量和檢驗計算結果的精度，并依據(jù)所獲得的精度 處理步長。下面以經(jīng)典 RK方法為例進行說明。 從節(jié)點 出發(fā)，先以 h為步長求出一個近似值 ，由于公式的局部截斷 誤差為 ，故有 nx ? ?hny 1?? ?5hOnx然后將步長折半，既 h/2 為步長，從 跨兩步到 ，再求得一個近似 值 ，每跨一步的截斷誤差約為 ，因此有 1?nx? ?21hnh ? ? ?52hc? ? ? ? 511 chyxy hnn ?? ??第八章常微分方程數(shù)值解法 ? ? ? ? 5211 22 ???????? ?? hcyxy hnn比較上述二式，有 ? ? ? ?? ? ? ? 。16111211 ???????hnnhnnyxyyxy由此易得下列事后估計式 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?。hnhnhnn yyyxy 121211 151 ???? ???這樣，我們可以通過檢查步長折半前后兩次計算結果的偏差 ? ? ? ?hnhn yy 121 ?? ???來判定所選的步長是否合適。 第八章常微分方程數(shù)值解法 具體地說，對于給定的精度 ，將按兩種情況處理。如果 ，我 們反復將步長折半進行計算，直到 為止，這時取最終得到的 作 為結果。如果 ，我們反復將步長加倍，直到 為止，這時再將 前一次步長折半的結果作為所要的結果。這種通過加倍或折半處理步長的方法 稱作 變步長方法 。雖然為了選擇步長，每一步的計算量有所增加，但總體考慮 是值得的。 ? ?????? ? ?21hny ???? ???
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