[計算機軟件及應(yīng)用]隨機過程-資料下載頁
2024-10-19 04:20本頁面
【正文】 第 39頁 唯一性定理 隨機變量的分布函數(shù)由其 特征函數(shù) 唯一決定 。 ,)(,)( 12 ??? 的連續(xù)點趨于沿令的連續(xù)點為現(xiàn)取 xFxxFxx)]()([lim)( 11xFxFxF x ?? ???111li m li m ( ) . ( * )2itx itxTTxTee t d tit ??? ??? ?? ? ??? ?.)()(,特征函數(shù)決定處的值完全由進而在每一點在連續(xù)點這表明 xF證 1221, , ( ) ,( ) ( ) .x x F xF x F x?由 逆 轉(zhuǎn) 公 式 知 當(dāng) 為 的 連 續(xù) 點 時的 值 完 全 由 特 征 函 數(shù) 決 定第 0章 補充知識 第 40頁 （ 2） 設(shè) X 為取整數(shù)值的隨機變量 ， 其分布列為 其特征函數(shù)為 則 { } , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ,kp P X k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ,itkkkt p e??? ? ?? ?1 ( ) .2itkkp e t d t???? ??? ?定理 （ 1） 設(shè) X 為具有密度函數(shù) f(x) 的連續(xù)型 .， 特征函數(shù)為 1( ) ( ) .2itxf x e t d t??? ??? ?( ) . | ( ) | ,t t d t???? ? ? ??如 果則 第 0章 補充知識 第 41頁 4. 特征函數(shù)性質(zhì) | ( ) | ( 0) 1 .t????性質(zhì) 1 隨機變量 X 的 特征函數(shù) 滿足 : )( t? ( ) ( )i t X i t xt E e e f x d x??????? ?證 僅 證 連 續(xù) 型 情 形( ) ( 0) 1 .f x d x ????? ? ?? | ( ) | | ( ) |itxt e f x d x? ?????? ?| ( ) |itxe f x d x????? ?■ 第 0章 補充知識 第 42頁 性質(zhì) 2 ( ) ( ) , ( ( ) ( ) ) .t t t t? ? ? ??? 表 示 的 共 軛 復(fù) 數(shù).)(t??( ) ( )i t X i t xt E e e f x d x? ???? ??? ? ? ?證 ()itxe f x dx????? ?■ 性質(zhì) 3 的 特征函數(shù) 滿足在 R1上一致連續(xù) 。 )( t?證明略 。 ( ) itYY t E e? ?證性質(zhì) 4 設(shè) X 的 特征函數(shù) , 則 Y=aX +b 的特征函 數(shù) 為 ( )X t? ( )Y t? ( ) ( ) .i b tYXt e a t???()[]i t a X bEe ??[]i b t i a t XE e e?? ( ) .i b t Xe a t??■ 第 0章 補充知識 第 43頁 證 由 X與 Y相互獨立 ， 知 ()( ) [ ] [ ]i t X Y i t X i t YXY t E e E e e? ?? ? ? ?性質(zhì) 5 獨立隨機變量和的特征函數(shù)等于各隨機 變量的 特征函數(shù)的積 ， 即若 X與 Y相互獨立 ， 則 ( ) ( ) ( ) .X Y X Yt t t? ? ?? ?( ) ( ) ( ) ( ) .i t X i t Y XYE e E e t t??? ? ?注：本結(jié)果是概率論中為何要引進特征函數(shù)的重要原因 。 ,itX itYee 也相互獨立。 ■ 第 0章 補充知識 第 44頁 :X證 現(xiàn) 只 對 是 連 續(xù) 型 的 情 況 加 以 證 明()() ( ) ( )kk i t xdt e f x d xdt??????? ?????性質(zhì) 6 設(shè)隨機變量 X 的 n 階矩存在 ， 則 的 n 階 導(dǎo)數(shù) 存在 ， 且有 () ( )n t?)(t?()( * )()kitxd e f x d xdt???? ? ()k k i t xi x e f x d x???? ?上式成立的原因是求 k 階導(dǎo)后的積分是一致收斂的 。 | | ( )k k i t xi x e f x d x???? | | ( )kx f x d x???? ? ??() ( 0) ( ) ( ) .k k ki E X k n? ??第 0章 補充知識 第 45頁 ()k k i t xi x e f x d x???? ? ()k k i t Xi E X e?令 t=0, 得 ()( ) ( 0) .k k kE X i ????() ( 0) ( )k k ki E X? ?() ()k t?? ()k k i t xi x e f x d x???? ?/1( ) ( 0) 。EXi ??特 別 2 / /( ) ( 0) .EX ???■ 性質(zhì) 6 設(shè)隨機變量 X 的 n 階矩存在 ， 則 的 n 階 導(dǎo)數(shù) 存在 ， 且有 () ( )n t?)(t?() ( 0) ( ) ( ) .k k ki E X k n? ??
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