江蘇夏令營-初等數(shù)論-資料下載頁
2025-10-09 16:50本頁面
【正文】 25 ??? srl這與 p≠2矛盾！所以 k＞ l． ≡(－ 1)2r－ 1 同理有 k＜ l，矛盾！即此時(shí)不存在合乎要求的 (p,q) 1 設(shè) n是一個(gè)正整數(shù) ， 定義 (n)＝ ＝ ， 例如 （ 1） ＝ 1， （ 2） ＝ 11， （ 3） ＝ 111． (1)設(shè) m是一個(gè)非負(fù)數(shù) ． 證明： (3m)可以被 3m整除 ， 而不能被 3m＋ 1整除 ． (2)證明 n能被 27整除當(dāng)且僅當(dāng)（ n）能被 27整除（ 2021年日本東京大學(xué)入學(xué)考試題） 9110 ?n ????? ?1111111個(gè)n結(jié)合歸納假設(shè) ， 得 3k＋ 1||（ 3k＋ 1） 。 綜上 ， 原命題成立 。 (1)m＝ 0時(shí)，（ 30）＝（ 1）＝ 1， 30||（ 30）； m＝ 1時(shí)，（ 31）＝ 111， 31||（ 31）。 假設(shè) m＝ k時(shí)， 3k||（ 3k）。 則 m＝ k＋ 1時(shí)， (3k＋ 1)＝（ 3k） （ ＋ 1） kk 332 1010 ??其中 ＋ 1≡ 3(mod 9)， kk 332 1010 ??故 27|（ 27） 。 從而 27|(n)。 （ 2）首先證明：若 27|n，則 27|(n)。 設(shè) n＝ 27k， 則 (n)＝（ 27） ???102710kii而（ 27）＝（ 3） ??80310ii 其中 ≡ 0(mod 9) ??80310ii再證明：若 27|(n)，則 27|n ∴ 9|3k，得 27|9k＝ n。證畢。 9110 ?n ????? ?1111111個(gè)n27| ＝ 得 n≡ 0(mod 9) 設(shè) n＝ 9k， 則由 35|109k－ 1＝ (103k－ 1)(106k＋ 103k＋ 1)，及 106k＋ 103k＋ 1≡ 3(mod 9)， 得 34|103k－ 1＝ 9 ????? ?13111111個(gè)k1對哪些 n∈ N*,存在 a,b∈ Q\Z使得 a＋ b和 an＋ bn都是整數(shù) ? (克羅地亞 ) 但 xn＋ zn＝ My2－ nkxn1y＋ 2xn,故必 y|2xn. 解 .當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)， 取 a＝ , b＝ 31313 ?n由于 1n＋ (3n－ 1)n被 1＋ (3n－ 1)＝ 3n整除 .故 a,b滿足條件 .即 n可為任何大于 0的奇數(shù) . 當(dāng) n為偶數(shù) ,若有滿足條件的 a＝ , b＝ (x,y,z,w∈ Z,y,w＞ 1,(x,y)＝ (z,w)＝ 1). yxwz則由 a＋ b＝ ∈ Z ywyzxw ? 得到 yw|(xw＋ yz) 但 (x,y)＝ 1,故 y|w. 同理， w|y. 再由 an＋ bn＝ ∈ Z 得到 yn|(xn＋ zn). nnnyzx ?因此 y＝ ＝ ky－ x. 故 y|xw, 所求的 n是大于 0的一切奇數(shù) . 由 y＞ 1及 (x,y)＝ 1得到 y＝ 2且 x為奇數(shù) .由于 n是偶數(shù) ,4|(My2－ nkxn1y),從而 4|2,矛盾 . 1存在。 1 n＝ 1006009為其最大值。 1略 . 1三元組有 70個(gè)。 練習(xí)答案： 43 17 m4－ m2＋ m 略 p＝ 13 t＋ s＝ 11 n的最小值為 9
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