23簡(jiǎn)諧振子-資料下載頁(yè)
2025-09-21 11:57本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】子統(tǒng)計(jì)等等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。歷史上正是Planck提出輻射。振子的分立能量單位而導(dǎo)致了量子概念的產(chǎn)生。量子性質(zhì)的深刻了解是近代物理學(xué)者所必需的。諧振子的哈密頓量是。ω是經(jīng)典振子的角頻率，與彈性常數(shù)k的關(guān)系是。定義兩非厄米算符。故有，H與N對(duì)易而有共同本征態(tài)。設(shè)N的本征態(tài)滿足，則。由于把n加1或減1對(duì)應(yīng)于產(chǎn)生或減少一個(gè)能量量子，故。稱和分別為產(chǎn)生和湮滅算符。所以，N被稱為粒子數(shù)算符。最低能量狀態(tài)即基矢能量為，激發(fā)態(tài)即正n態(tài)的。在n表象中，x和p均非對(duì)角。用算符的方法可得出坐標(biāo)空間的能量本征函數(shù)。這里表征振子長(zhǎng)度。上式與厄米多項(xiàng)式是等價(jià)的。滿足最小測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。x，p的Heisenberg運(yùn)動(dòng)方程可表示為。這對(duì)耦合方程等價(jià)于和的獨(dú)立微分方程：。由算符的時(shí)間演化直接求出x，p：。類似地，可得出與前面的結(jié)果相同的。
【正文】 數(shù)學(xué)物理的邊界值解問(wèn)題。 0, 。 39。aiE tx t t x a e? ?????? ? ? ?2 2, 2aai E t i E tai x t E x a e V x x a etm? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?2 22 EEV x u x E u xm??? ? ? ?? ? ? ?????? ?39。limxE V x?? ??,x? ?? ? ? 0Eux? ?三、波函數(shù)的解釋 ? 波函數(shù)是態(tài)矢在坐標(biāo)本征函數(shù)的展開(kāi)系數(shù)，其模平方是幾率密度， ? 在 附近 的體積內(nèi)找到該粒子的幾率為 ? 由含時(shí)方程可推出連續(xù)性方程 其中 ? 該結(jié)果依賴于勢(shì)能算符的厄米性即實(shí)勢(shì)能。對(duì)復(fù)勢(shì)能，結(jié)果會(huì)變化，可解釋粒子的消失，如入射粒子被核吸收。 ? 幾率流與動(dòng)量有關(guān)： ? ? ? ? 2 20, , , 。x t x t x t t? ? ?? ? ???x? 3dx? ? ? 3,x t d x? ??? ? ? ?2 mijImm? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ?3 , tpd x j x t m??0jt?? ? ? ??三、波函數(shù)的解釋（續(xù)） ? 連續(xù)性方程與無(wú)源無(wú)漏區(qū)的流體力學(xué)連續(xù)性方程相似，因此 曾被認(rèn)為是物質(zhì)密度， 是實(shí)際電荷密度。 ?奇特物理圖像： 1） 一原子的電子可看作連續(xù)分布的物質(zhì)，占據(jù)核附近的一定空間。測(cè)量使得電子處于某一特定點(diǎn)時(shí)，這一連續(xù)分布的物質(zhì)突然收縮為點(diǎn)狀無(wú)空間延伸的粒子。 2）電子的“大小”可變，膨脹的電子沒(méi)被測(cè)量到 ? Born提出了被廣泛接受的解釋，即 為幾率密度的統(tǒng)計(jì)解釋。 ? 不過(guò) Born的解釋也不是沒(méi)有爭(zhēng)議的 ? 重新思考：相位、完整性、電子云 2? 2e?2?四、波函數(shù)的相位 ? S為實(shí)數(shù)， ρ是幾率密度。 S的含義？ ? 由 得： ? 可見(jiàn)相位 S具有重要的信息：波函數(shù)相位的空間變化表征了幾率流量。相位變化越激烈，則流量越強(qiáng)。流量的方向與該點(diǎn)上等相位面垂直。對(duì)平面波 ? 雖然形式上我們有 ? 但將 解釋成 需要坐標(biāo)與速度的同時(shí)精確測(cè)量而不可能（測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系）。 ? ? ? ? ? ?, , e xp iS x tx t x t?? ???????,i S? ? ? ? ??? ? ? ? ?Sj m???.Sp??? ?.0S vt m t????? ? ???? ? ? ? ? ? ???????j v?五、經(jīng)典極限 ? 據(jù)薛定諤方程有： ? 若 可看成小量，并設(shè) 等，則上方程中不含 的部分有 與分析力學(xué)的 HamiltonJacobi方程相同，其中 是 Hamilton的主函數(shù)。 ? 因此，薛定諤波力學(xué)在 極限下給出經(jīng)典力學(xué)。 ? 若將 S解釋成 Hamilton的主函數(shù)，對(duì)不含時(shí) Hamilton量，主函數(shù) S具有可分離的形式， ? 稱為 Hamilton的特征函數(shù)。 ? 隨著時(shí)間的變化，等 S面的空間演化與波動(dòng)光學(xué)中的常相位面即波前變化相同 . ? ? ? ?2 222 221 .2 ii S S S Vm ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????????iSi tt? ???? ?????????22 SS? ?? ?21 0,2 SSVmt ?? ? ? ??? ?,S x t0?? ? ? ?,S x t W x E t??? ?Wx作業(yè)： , , ,
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