一個人若懷疑數(shù)學(xué)的極端可靠性,他就會陷入混亂之中,……-資料下載頁
2025-09-20 17:38本頁面
【導(dǎo)讀】會陷入混亂之中，……人類的一切探討活動。宇宙這本書是用數(shù)學(xué)語言寫成的。稱作“類的算術(shù)”，已經(jīng)開始醞釀新的變革。當(dāng)時數(shù)學(xué)家們面臨一。高于四次的代數(shù)方程的根式求解問題；歐幾里得幾何中平行公理的證明問題；微積分算法的邏輯基礎(chǔ)問題。承了這一傳統(tǒng)，但又有所突破。號與數(shù)字的運(yùn)算統(tǒng)一起來，創(chuàng)立了類的算術(shù)。伽羅瓦關(guān)于群的發(fā)現(xiàn)工作，可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端。引進(jìn)和發(fā)展而獲得了新生，它不再僅僅是研究代數(shù)方程，數(shù)的概念有了極大推廣，另一方面，許多抽象的對象，其二是，若兩物體在各自相異的光源下具。繼而獲得無窮遠(yuǎn)線的概念；在投影變換下具有不變性；結(jié)果，仍舊視為歐幾里得幾何的一部分。人們對這二種幾何學(xué)并不加任何區(qū)分。一個數(shù)學(xué)對象從一個形狀連續(xù)變化到另一形狀；僅關(guān)心幾何圖形的相交與結(jié)構(gòu)關(guān)系,不涉及度量問題。建立一一對應(yīng)關(guān)系。發(fā)現(xiàn)新的幾何結(jié)果。上第一個傾斜坐標(biāo)系。解析方法的運(yùn)用雖然在相當(dāng)長
【正文】 坐標(biāo) ） 來 避免射影幾何學(xué)對于長度概念的依賴 ，使之?dāng)[脫了度量關(guān)系 ， 成為與長度等度量概念無關(guān)的全新學(xué)科 。 . von Staudt, 17981867 射影幾何的繁榮 二、幾何學(xué)的變革 施陶特還指出：射影幾何的概念在邏輯上要先于歐幾里得幾何概念 ， 因而射影幾何比歐幾里得幾何更基本 。 施陶特的工作鼓舞了英國數(shù)學(xué)家凱萊 （ A. Cayley, 18211895） 和普呂克的學(xué)生克萊因 （ F. Klein, 18491925） 進(jìn)一步在射影幾何概念基礎(chǔ)上建立歐幾里得幾何乃至非歐幾何的度量性質(zhì) ，明確了歐幾里得幾何與非歐幾何都是射影幾何的特例 ， 從而為以射影幾何為基礎(chǔ)來統(tǒng)一各種幾何學(xué)輔平了道路 。 二、幾何學(xué)的變革 近代幾何學(xué)的進(jìn)展 非歐幾何學(xué)的誕生 射影幾何學(xué)的繁榮 幾何學(xué)的統(tǒng)一 幾何學(xué)的統(tǒng)一 二、幾何學(xué)的變革 非歐幾何的創(chuàng)立不只是解決了兩千年來一直懸而未決的平行公設(shè)問題，更重要的是它引起了關(guān)于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命。 首先，非歐幾何對于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。在此之前，占統(tǒng)治地位的是歐幾里得的絕對空間觀念。非歐幾何的創(chuàng)始人無一例外的都對這種傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn)。 其次，非歐幾何的出現(xiàn)打破了長期以來只有一種幾何學(xué)即歐幾里得幾何學(xué)的局面。 19世紀(jì)中葉以后，通過否定歐幾里得幾何中這樣或那樣的公設(shè)、公理，產(chǎn)生了各種新而又新的幾何學(xué)， 幾何學(xué)的統(tǒng)一 二、幾何學(xué)的變革 F. Klein, 18491925 1872年 : 《 愛爾朗根綱領(lǐng) 》 幾何學(xué)是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問，任何一種幾何學(xué)只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量。這樣一來，不僅 19世紀(jì)涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學(xué)被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對應(yīng)于幾何學(xué)的一種分類。 幾何學(xué)的統(tǒng)一 二、幾何學(xué)的變革 （ 歐幾里得幾何 ） 仿射幾何 其他仿射幾何 雙曲幾何 射影幾何 （ 羅巴切夫斯基幾何 ） 雙重橢圓幾何 （ 黎曼幾何 ） 單重橢圓幾何 拋物幾何 并非所有的幾何都能納入克萊因的方案，例如今天的代數(shù)幾何和微分幾何，然而克萊因的綱領(lǐng)的確能給大部分的幾何提供一個系統(tǒng)的分類方法，對幾何思想的發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響。 幾何學(xué)的統(tǒng)一 二、幾何學(xué)的變革 D. Hilbert, 18621943 公理化方法 1899年 : 《 幾何基礎(chǔ) 》 是從公理出發(fā)來建造各種幾何。 希爾伯特在這方面的劃時代貢獻(xiàn)在于，他比任何前人都更加透徹地弄清了公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系。 幾何學(xué)的統(tǒng)一 二、幾何學(xué)的變革 《 幾何基礎(chǔ) 》 中提出的公理系統(tǒng)包括了 20條公理，希爾伯特將它們劃分為五組： 關(guān)聯(lián)公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續(xù)公理。 在這樣自然地劃分公理之后，希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即 相容性 :從系統(tǒng)的公理出發(fā)不能推出矛盾 ,亦稱無矛盾性 。 獨(dú)立性 :系統(tǒng)的每條公理都不能是其余公理的邏輯推論 。 完備性 :系統(tǒng)中所有的定理都可由該系統(tǒng)的公理推出。 在這樣組織起來的公理系統(tǒng)中，通過否定或者替換其中的一條或幾條公理，就可以得到相應(yīng)的某種幾何。 這樣的做法，不僅給出了已有幾門非歐幾何的統(tǒng)一處理，而且還可以引出新的幾何學(xué)。
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1