【正文】 和的數(shù)學(xué)期望值。 只要信號周期 T足夠大，則不同時刻的噪聲取樣值 ijn 與 ijn 互不相關(guān)，其乘積的數(shù)學(xué)期望值為零，式右邊第 2項為零，則有 : 2 221nj ij nin E n n??????????? （ 310） 所以，累加后噪聲信號的有效值為 : ? ? 12 20 jnnnn???? （ 311） 累加后信號的有效值為 : 1njji s ns? ?? （ 312） 則 n次累加后輸出信號的信噪比為 : 0 = jjnnn s n sS N Rn ?? ? （ 313） 根據(jù) 上式 ，可得信噪比改善為 : 0ISNRSNIR nSNR?? （ 314） 式中說明，當(dāng)污染噪聲為白噪聲時， n次不同的時刻取樣值得累積平均可以使信噪比改善 n 倍，即 n 法則。 （ 4） 數(shù)字式平均算法 采用數(shù)字式平均算法可以有效的改善系統(tǒng)的信噪比，是測量微弱信號的一個有效方法。 在技術(shù)實現(xiàn)上可以采用硬件電路的設(shè)計 方法，也可以用計算機(jī)軟件來完成。硬件電路具有計算速度快但實現(xiàn)電路復(fù)雜等特點，由于數(shù)據(jù)量大，需要的存儲器容量 22 也要比較大。計算機(jī)軟件省略了復(fù)雜的硬件電路，設(shè)計、修改方便，但具體計算需要一定的時間，影響測量系統(tǒng)的反應(yīng)速度。用 DSP也是一個有效的途徑。無論采用何種方式，根據(jù)信號特點選擇合適的數(shù)字式平均算法對提高計算效率、獲得更好的信噪比都是很重要的。 基本原理 ： 隨機(jī)噪聲的統(tǒng)計特性 對于隨機(jī)噪聲，因為其取值不可預(yù)測，更不能用一個確定的解析函數(shù)來定義，所以只能用概率和統(tǒng)計的方法來描述。統(tǒng)計方法側(cè)重的是 樣本總體的性質(zhì)，而不是個體元素的性質(zhì)。就隨機(jī)噪聲而言，樣本可由其波形大量的連續(xù)取值組成?，F(xiàn)在常用的概率和統(tǒng)計描述量主要有概率密度函數(shù)以及數(shù)學(xué)期望、方差、均方值、相關(guān)函數(shù)等特性值。 隨機(jī)噪聲是一種前后獨立的平穩(wěn)隨機(jī)過程，在任何時刻它的幅度、波形及相位都是隨機(jī)的。但是每一種噪聲還是服從于一定的統(tǒng)計分布規(guī)律，因此噪聲又是可統(tǒng)計的。例如，只要產(chǎn)生噪聲過程的條件不變，噪聲功率或給定時間區(qū)域內(nèi)的幅度平均值是零。大多數(shù)噪聲瞬時幅度的概率分布是正態(tài)的，既符合高斯分布規(guī)律： ? ? ? ? 2212 xaP x e ??? ??? (315) 式中 為隨機(jī)變量 的概率密度； 為噪聲電壓平均值，一般為零； 為噪聲電壓均方值，其中在低噪聲設(shè)計和檢測中，噪聲電壓均方根值 是衡量系統(tǒng)噪聲大小的基本量。 數(shù)字式平均的原理 在微弱信號檢測領(lǐng)域中，常常遇到有限時段的信號重復(fù)出現(xiàn)許多次，相鄰出現(xiàn)的信號之間的時間間隔可能是固定值，也可能是變化值。這樣的信號稱之為重復(fù)信號。當(dāng)各次重復(fù)信號之間的時間間隔為固定值時，該信號就是周期信號。如果這樣的信號被噪聲污染，通過對多次重復(fù)的信號進(jìn)行數(shù)字式平均，可以有效地改善 信號的信噪比。 多點信號平均改善信噪比的原理：對于時域某一取樣點的值，得到信號與噪聲的和。若信號值為 inS 噪聲值為 inN ，其信噪比為 inin inSSNR N?。如果對這一取 23 樣值經(jīng) K 次取樣，并加以累積平均（假設(shè)是線性的），則信號的值將增加 K 倍，即out inS N S?? ，但噪聲是隨機(jī)的，其平均后的輸出值 out inN K N??， 所以其輸出的信噪比為 g ino u t ino u t ing inKSSSKNNKN?? (316) 信噪比改善 SNIR 為 outinSNIR KSNIR ? (317) 上式就是平均效果的 K 法則。 數(shù)字式平均法在實際應(yīng)用中常用的算法有：線性累加平均算法、歸一化平均算法和指數(shù)式平均算法。下面簡要介紹其基本原理和信噪改善比。 線性累加平均算法 線性累加 方式時，對第個存儲單元，次掃描后平均為 ? ?11mmm k g kkkA f t iT I??? ? ??? (318) 式中 mA 表示在第 i 個地址， m 次掃描的累加數(shù)值。 gT 是被測信號的周期。? ?k k gI f t iT??是第 k次掃描第 i點取樣值。 從上式中可以看出，在線性累加算法中信號線性地從穩(wěn)定的基線開始隨著掃描次數(shù)的增加而增長。在運行期間，所有累加的數(shù)字都分別存貯在大量的存 貯器中。線性累加平均對于白噪聲的信噪改善比為 SNIR m? 。由于所有取樣點的取樣疊加次數(shù)是相等的，所以整段取樣波形的信噪改善比也是相等的。這一算法對噪聲具有最好的平均效果。當(dāng)信號很小時，而又需要一個高的信噪改善比時，可選擇這一算法。但是線性累加平均算法的缺點是計算量較大，需要作 N 次累加和一次除法才能得到一個平均結(jié)果，所以獲得結(jié)果的頻次較低。 歸一化平均算法 歸一化平均算法的計算方法是把每一個掃描后存貯數(shù)據(jù)歸一化： 1111 m kkk k kkIAA I AKK ????? ? ?? (319) 24 式中： kA 為 k 次掃描后的平均值； 1kA? 為 k1 次掃描后的平均值； kI 是第 k次輸入取樣值。 在每次掃描取樣后，存貯單元中的數(shù)據(jù) 1kA? 和新的取樣值 kI 進(jìn)行比較，且計算值1kkIAK ?? 與存貯的數(shù)值相加得到信的平均值 kA 。由于在每個掃描周期器件或掃描后用 K 除有實際困難，在實際應(yīng)用中算法常用以下近似式計算，即： 11 2kkkk jIAAA ?? ??? (320) 式中 J 是一個自動選擇的正整數(shù)，使得 2j 最接近于 K。歸一化平均算法總的信噪改善比可近似為 SNIR m? （ m為重復(fù)次數(shù)）。但是總體而言，它要比線性平均的信噪比改 善比低一點。其優(yōu)點是能提供一個穩(wěn)定的恒幅顯示，甚至在第一次掃描后也是如此，且隨著平均疊加的次數(shù)增加，信噪改善比將顯著的提高。 指數(shù)平均算法 與模擬積分平均一樣，數(shù)字指數(shù)平均也可設(shè)置一個等效的積分時間常數(shù)。它與線性累加平均算法一樣，平均信號是從基線開始建立的，且信號隨掃描次數(shù)按指數(shù)增長，逐漸逼近于平穩(wěn)的真實波形。它在每一點都相當(dāng)于一個普通的模擬 RC 濾波器（或 RC 積分電路）的直流充電曲線。當(dāng)充電時間等于一個時間常數(shù)時，恢復(fù)的波形可達(dá) 63％的幅度。而要達(dá)到滿程就需要 5～ 6 時間常數(shù)。在這里通常取 2np T? ? （為取樣周期）。 在指數(shù)平均算法中，可以類似求得： ? ? ? ? ? ? 1 110 0 1 2pT kkkk nIAA A A A e A? ???? ?? ? ? ? ? ? ??? ???? ?? (321) 式中 kA 為 i 取樣點在 k次掃描后的平均值， 1kA? 為 k 次掃描前 i存貯器中的平均值， kI 等于第 k次掃描時輸入信號取樣的數(shù)據(jù)值， 2n 為時間 常數(shù)的加權(quán)函數(shù)。 指數(shù)平均算法的信噪改善比與時間常數(shù)有關(guān)，時間常數(shù)越大信噪改善比越高。這一算法適用于在測試期間，被測信號不十分穩(wěn)定的情況下使用。 算法模擬 三種算法性能模擬 25 26 如圖所示，在圖 3 中，分別列出線性累加算法、歸一化平均算法和指數(shù)平均算法在信噪比等于 0、 20dB 時的性能。其中三個算法都是以一個周期為例分析。從圖中可以看出在信噪比高于 10dB 時，三個算法都可以比較準(zhǔn)確地恢復(fù)真實的波形，其形狀大體與時間波形類似。但是各個算法得到結(jié)果的幅度不一致。當(dāng)信噪比減小到 20dB 時，三個算法得到的波形與實際波形大體相似但已經(jīng)不能完全準(zhǔn)確的反映實際信號的特性。 數(shù)字式平均法通過對同一頻率的信號的多個周期進(jìn)行多點信號抽樣疊加后，大大提高信噪比，從而檢測出微弱信號。這里以單元碼元時間內(nèi)的信號周期數(shù)較少時為例子（一個周期 T 代表一個碼元），通過在發(fā)端發(fā)送多個同一信號，在接受端對相同位置的碼元抽樣處理，這樣的解調(diào)速度較慢。單元碼元時間內(nèi)的信號周期數(shù)由載波頻率與碼元速率決定。 27 第 4 章 基于分布式光纖溫度測量數(shù)據(jù)處理技術(shù)的小波分解的檢測方法 基于拉曼散射的分布式溫度測量方法能夠得到測量光纖溫 度場的分布。為了減少系統(tǒng)中各種噪聲對測量分辨率的影響，一般采用增加信號累加次數(shù)的方法來提高測量分辨率，這導(dǎo)致系統(tǒng)的溫度測量周期加長，影響實際應(yīng)用。如果在累加前選用合適的方法對信號去噪，改善信號的信噪比，可減少累加次數(shù)，從而縮短溫度測量周期。 小波的多分辨分析特性能將信號在不同尺度下進(jìn)行多分辨率的分解，并將交織在一起的各種不同頻率組成的混合信號分解成不同頻段的子信號，因而對信號具有按頻帶處理的能力。因為噪聲 ??tn 是一個實的、方差為。 2的平穩(wěn)的高斯白噪聲，其小波系數(shù)的平均 功率與尺度成反比。并且它的離散細(xì)節(jié)信號的幅值隨著小波變換級數(shù)的增長而不斷減少。對于所有的尺度，白噪聲小波變換的離散細(xì)節(jié)信號系數(shù)的反差隨著尺度的增加會有規(guī)律地減少。又因為小波變換是線性變換，所以降質(zhì)信號的小波系數(shù)是信號的小波系數(shù)和噪聲的小波系數(shù)的和 。降質(zhì)信號的離散逼近部分和離散細(xì)節(jié)部分分別是信號變換后的離散逼近部分和離散細(xì)節(jié)部分與噪聲變換后的離散逼近部分和離散細(xì)節(jié)部分的和。因此在消噪過程中，利用信號與白噪聲在小波變換后，它們各自的小波系數(shù)的性質(zhì)不同，可以消除或減弱噪聲。小波分析運用在信號去噪處理，主要是針對信 號經(jīng)小波變換后在不同分辨率下呈現(xiàn)不同規(guī)律，在不同分辨率下設(shè)定不同閡值門限，調(diào)整小波系數(shù)，達(dá)到去除噪聲的目的。 設(shè)測量信號為 : ? ? ? ? ? ?tntstf ?? (41) 其中， s(t)為原始信號， n(t)是一個實的、方差為 2? 的平穩(wěn)的高斯白噪聲，服從 N(0, 2? )。 如果信噪比很小，想直接從測量信號中把有用信號 s(t)提取出來是相當(dāng)困難的。通過 小波變換，可以達(dá)到這樣的目的。 小波去噪原理 疊加性高斯白噪聲是最常見的噪聲模型，受到疊加性高斯白噪聲“污染”的觀 28 測信號可以表示為： i i iy f z??? 1,..., ,in? (42) 其中 yi為含噪信號， if 為“純凈”采樣信號， zi為獨立同分布的高斯白噪聲~ (0,1)iidizN， ? 為噪聲水平，信號長度為 n. 為了從含噪信號 yi中還原出真實信號if ，可以利用信號和噪聲在小波變換下的不同的特性，通過對小波分解系數(shù)進(jìn)行處理來達(dá)到信號和噪聲分離的目的。在實際工程應(yīng)用中，有用信號通常表現(xiàn)為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則通常表現(xiàn)為高頻信號，所以我們可以先對含噪信號進(jìn)行小波分解（如進(jìn)行三層分解）： 321312211CDCDCDCACDCDCACDCAS????????? (43) 圖 41 三層小波分解示意圖 其中 icA 為分解的近似部分， 為 icD 分解的細(xì)節(jié)部分， 321 ,i? ,則噪聲部分通常包含在 1cD ， 2cD ， 3cD 中，用門限閾值對小波系數(shù)進(jìn)行處理，重構(gòu)信號即可達(dá)到去噪的目的。 S 1CD 2CA 2CD 3CD 3CA 1CA 29 小 波去噪步驟 總結(jié)去噪過程，可以分成以下三個步驟： 1)對觀測數(shù)據(jù)作小波分解變化： zWfWyW 000 ??? ? (44) 其中 y表示觀測數(shù)據(jù)向量 y1， y2， ? y， f是真實信號向量 f1， f2， ? fn， z是高斯隨機(jī)向量 z1， z2， ? zn ， 其中用 到了小 波分 解變換是線性變換的性質(zhì)。 2） 對小波系數(shù) W0作門限閾值處理（根據(jù)具體情況可以使用軟閾值處理或硬閾值處理，而且可以選擇不同的閾值形式，這將在后面作詳細(xì)討論），比如選取最著名的閾值 形式： ntn log2?? (45) 門限閾值處理可以表示為nt?，可以證明當(dāng) n 趨于無窮大時使用閾值 公 式 。 小波系數(shù)作軟閾值處理可以幾乎完全去除觀測數(shù)據(jù)中的噪聲。 3)對處理過的小波系數(shù)作逆變換 w10? 重構(gòu)信號 [10]： dwwf nt 010* ??? (46) 即可得到受污染采樣信號去噪后的信號。 閾值的選取與量化 DonohoJohnstone小波收縮去噪方法的關(guān)鍵步驟是如何選擇閾值和如何進(jìn)行門限閾值處理，在這將作較為詳細(xì)的討論。 （ 1） 軟閾值和硬閾值 在對小波系數(shù)作門限閾值處理操作時，可以使用軟閾值處理方法或硬閾值處理方法，硬閾值處理只保留較大的小波系數(shù)并將較小的小波系數(shù)置零： { ,0),( tww twH