【正文】 ? (3)如何減小回路間的關(guān)聯(lián) (耦合 )。 相對(duì)增益與相對(duì)增益矩陣 關(guān)聯(lián)情況可以通過(guò)傳遞函數(shù)矩陣來(lái)分析 ,同時(shí)我們將引入相對(duì)增益矩陣(Bristol 矩陣 ) [18]這個(gè)概念 ,通過(guò)計(jì)算相對(duì)增益 ,可以確定過(guò)程中每個(gè)被調(diào)量相對(duì)每個(gè)調(diào) 節(jié)量的響應(yīng) ,并以此為依據(jù)去構(gòu)成控制系統(tǒng) 。 另外 ,相對(duì)增益還可以指出過(guò)程關(guān)聯(lián)的程度和類型 ,以及對(duì)回路控制性能的影響 。 相對(duì)增益的定義 相對(duì)增益是一個(gè)尺度 ,用來(lái)衡量一個(gè)預(yù)先選定的調(diào)節(jié)量 ju 對(duì)一個(gè)特定的被調(diào)量 iy 的影響 。 當(dāng)然它是相對(duì)于過(guò)程中其它調(diào)節(jié)量對(duì)該被調(diào)量 iy 的影響而言的 。 顯然 ,只計(jì)算在所有其它調(diào)節(jié)都固定不變的情況下的開(kāi)環(huán)增益是不夠的 ,因?yàn)樵陉P(guān)聯(lián)過(guò)程中 ,每個(gè)調(diào)節(jié)量不只影響一個(gè)被調(diào)量 。 因此 ,特定的被調(diào)量 iy 對(duì)選定的調(diào)節(jié)量的響應(yīng)將取決于其它調(diào)節(jié)量外于何種狀況 。 對(duì)于一個(gè)多變量系統(tǒng) ,假設(shè) y 是包含系統(tǒng)所有被調(diào)量 iy 的列向量 , u 是包含所有調(diào)節(jié)時(shí) ju 的列向量 。 為了衡量系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)性質(zhì)首先在所有其它回路均為開(kāi)環(huán) ,即所有其 它調(diào)節(jié)量都保持不變的情況下 ,得到一個(gè)開(kāi)環(huán)增益矩陣 P 。 這里記作 y Pu? (21) 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 14 頁(yè) 其中 ,矩陣 P 的元素 ijP的靜態(tài)值稱為ju到 iy 通道的第一放大系數(shù) 。 它是 指調(diào)節(jié)量ju改變了一個(gè) u? 時(shí) ,其它調(diào)節(jié)量 ()ru r j? 均不變的情況下 , ju到 iy 之間通道的開(kāi)環(huán)增益 。 顯然它就是除ju到 iy 通道以外 ,其它通道全部斷開(kāi)時(shí)所得到的ju到 iy 通道的靜態(tài)增益 ,可表為 ii j rjyPuu??? (22) 然后 ,在所有其它回路均閉合 ,即保持其它被調(diào)量都不變的情況下 ,找出各通道的開(kāi)環(huán)增益 ,記作矩陣 Q 。 它的元素 ijq 的靜態(tài)值稱為 ju 到 iy 通道的第二放大系數(shù) 。 它是指利用閉合回路固定其它被調(diào)量時(shí) , ju 到 iy 的開(kāi)環(huán)增益 。 ijq 可以表示為 ii j rjyqyu??? (23) 有了矩陣 P 和 Q ,取它們相應(yīng)元素的比值構(gòu)成新的矩陣 ? 。 元素 ij? 可以寫(xiě)作 irjijijij irjy uuPq y yu??????? (24) 上式即為 ju 到 iy 的相對(duì)增益 ,矩陣 ? 則稱為相對(duì)增益矩陣 。 相對(duì)增益的求取 以二輸入 — 二輸出系統(tǒng)為例 1 1 1 1 2 12 2 1 2 2 2( ) ( ) G ( s ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) G ( s ) ( )Y s G s U sY s G s U sY s G s U s? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (25) 如果傳遞函數(shù) 12()Gs和 21()Gs都等于零 ,兩條調(diào)節(jié)通道各自獨(dú)立 ,不存在關(guān)聯(lián) ,系統(tǒng)間無(wú)耦合 。 如果 12()Gs和 21()Gs中有一個(gè)等于零 ,則系統(tǒng)是半耦合的 。 如果12()Gs和 21()Gs都不等于零 ,則稱系統(tǒng)是耦合的 。 在系統(tǒng)無(wú)耦合的情況 ,一個(gè)控制回路是處于開(kāi)環(huán)或閉環(huán)狀態(tài) ,對(duì)另一個(gè)回路不起影響 。 但在系統(tǒng)間存在耦合時(shí) ,情況就不同了 。 例如 ,在系統(tǒng) 2 開(kāi)環(huán)時(shí) , 11uy? 的傳遞函數(shù)是 11()Gs； 在系統(tǒng) 2 閉環(huán)時(shí) , 11uy? 除有上述直接效應(yīng)外 ,通過(guò) 2y ,經(jīng)控制器 2 和輸出 2u 而對(duì) 1y 有間接影響 。 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 15 頁(yè) GC 1( s )GC 2( s ) G2 2( s )G1 2( s )G1 1( s )G2 1( s )R1R2U1U2Y1Y2 圖 23 二輸入 二輸出系統(tǒng) 對(duì)照系統(tǒng)的框圖 (圖 23),如果此時(shí)系統(tǒng) 2 閉環(huán)后的運(yùn)行狀態(tài)接近理想 , 2( ) 0Ys? ,即 1 1 1 2 112 1 2 2 2( ) G ( s ) ( )() ( ) G ( s ) ( ) 0 G s U sYs G s U s? ? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? (26) 由上式的第二個(gè)方程 2 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0G s U s G s U s?? (27) 得知 : 212 2 222()( ) ( )()GsU s G sGs?? (28) 代入第一個(gè)方程 12 211 11 1 12 2 11 12211 22 12 2111 111 22( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )G s G sY s G s U s G s U s G s U sGsG s G s G s G sG s U sG s G s??? ? ? ??????? ?????? (29) 為簡(jiǎn)便起見(jiàn) ,我們只考慮穩(wěn)態(tài)部分 ,此時(shí) 1 1 1 1 2 12 1 2 222 y k k ukkyu? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? (210) 式中字母上的短劃線表示穩(wěn)態(tài) , 11k 表示第 j 個(gè)輸入變量作用于第 i 個(gè)輸出變量的放大系數(shù) 。 系統(tǒng) 2開(kāi)環(huán)時(shí) , 11uy? 的放大系數(shù)是 11k ； 而系統(tǒng) 2閉環(huán)且滿足無(wú)靜差要求時(shí) , 11uy? 通道的放大 系數(shù)之比為 ij? ,稱為相對(duì)增益 ,則 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 16 頁(yè) ()i j uij i j yyuyu? ??? ?? (211) 上式分子項(xiàng)括號(hào)外的下標(biāo) u 表示除了ju以外 ,其他 u 都保持恒定 ,即都為開(kāi)環(huán) ；分母項(xiàng)括號(hào)外的下標(biāo) y 表示除了 iy 以外 ,其它 y 都保持恒定 ,即其他系統(tǒng)都為閉環(huán)狀態(tài) 。 對(duì)于二輸入 二輸出系統(tǒng) ,顯然可知 11 2211 2211 22 12 2112 2112 2111 22 12 21kkk k k kkkk k k k????????? ???????? ? (212) 把它寫(xiě)成矩陣形式 11 1221 22 ??? ????????? (213) 就稱為 Bristol 矩陣 ,或相對(duì)增益矩陣 。 相對(duì) 增益的性質(zhì) 由式 (1)可以得出相對(duì)增益的一個(gè)很重要的性質(zhì) ,即 : 11 1221 2211 2112 221111??????????????????????? (214) 可見(jiàn) ,一個(gè)雙變量系統(tǒng) , ? 矩陣中每行相對(duì)增益之和為 1,同列相對(duì)增益之各也為 1。 對(duì)于 n 維過(guò)程的多變量系統(tǒng) ,按照相對(duì)增益定義 ()i j uij i j yyuyu? ??? ??,同樣可得n 維系統(tǒng)中 ,第一行相對(duì)增益之各或每列相對(duì)而言增益之和均為 1。 相對(duì)增益的這個(gè)重要性質(zhì)不但揭示了相對(duì)增益中各元素之間具有一定的組合關(guān)系 ,同時(shí)運(yùn)用這種關(guān)系可大大減少計(jì)算的工作量。 相對(duì)增益與耦合特性 不同的相對(duì)增益反映了系統(tǒng)中不同的耦合程度 ,這一點(diǎn)可以通過(guò)圖 23所示的雙變量系統(tǒng)來(lái)加以說(shuō)明 。 從式 (212)可知 ,系統(tǒng) 11uy? 之間的相對(duì)增益為 11 221111 22 12 21kkk k k k? ? ? (215) 其中 12K 和 21K 分別代表 21uy? 和 12uy? 的耦合通道靜態(tài)增益 。 假如 12K 和 21K 都 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 17 頁(yè) 很小 ,表明這兩個(gè)回路之間的耦合作用很弱 。 如果 12K 和 21K 都為零 ,則兩個(gè)回路彼此獨(dú)立 ,沒(méi)有任何聯(lián)系 ,此時(shí) 11uy? 通道的相對(duì)增益 11? 就等于 1,當(dāng)然 ,此時(shí) 22? 也等于 1。 這就是說(shuō) ,當(dāng)某回路的相對(duì)增益越接近于 1,則該項(xiàng)回路受其它回路的影響越小 ,當(dāng)兩個(gè)回路之間無(wú)耦合關(guān)系時(shí) ,回路各自的相對(duì)增益都是 1,因而無(wú)耦合系統(tǒng)的相對(duì)增益矩陣必為單位矩陣 。 為便于工程應(yīng)用 ,通常將相對(duì)增益所反映的耦合特性以及要采取的 措施歸納為如下幾點(diǎn) : (1)當(dāng)通道的相對(duì)增益接近于 1,例如 ??? ,則表明其它通道對(duì)該通道的關(guān)聯(lián)作用很小 。 可不必采取特別的解耦措施 。 (2)當(dāng)相對(duì)增益小于或接近于零時(shí) ,說(shuō)明使用本通道構(gòu)成的閉環(huán)控制不能得到良好的控制效果 。 換句話說(shuō) ,這個(gè)通道的變量配對(duì)不恰當(dāng) ,應(yīng)重新選擇 。 (3)當(dāng)相對(duì)增益在 ,則表明系統(tǒng)中存在著非常嚴(yán)重的耦合 ,解耦設(shè)計(jì)是必須的 。 減少與解除耦合的途徑 結(jié)合以上的分析 ,可以找到各式各樣減少與解除耦合的途徑 [17]。 下面列舉比較常用的六種方式 : 通過(guò)被控變量與操縱變量間的正確匹配來(lái)解決 一個(gè)耦合系統(tǒng)在進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)之前 ,必須首先決定哪個(gè)被控量廣泛應(yīng)該由哪個(gè)操作量來(lái)控制 ,這就是系統(tǒng)中各變量的配對(duì)問(wèn)題 ,有時(shí)會(huì)發(fā)生這樣的情況 ,每個(gè)控制回路的設(shè)計(jì) ,調(diào)試都是正確的 ,可是當(dāng)它們都投入運(yùn)行時(shí) ,由于回路音耦合嚴(yán)重 ,系統(tǒng)不能正常工作 。 此時(shí)如將變量重新配對(duì) ,調(diào)試 ,整個(gè)系統(tǒng)就能工作了 。這說(shuō)明正確的變量配對(duì)是進(jìn)行良好控制的必要條件 。 除此以外還應(yīng)看到 ,有時(shí)系統(tǒng)之間互相耦合還可能隱藏著使系統(tǒng)不穩(wěn)定的反饋回路 。 盡管每個(gè)回路本身的控制性 能合格 ,但當(dāng)最后一個(gè)調(diào)節(jié)器投入自動(dòng)時(shí) ,系統(tǒng)可能完全失去控制 。 如果把其中的一個(gè)或同時(shí)把幾個(gè)調(diào)節(jié)器重新加以整定 ,就有可能使系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定 ,雖然這需要以降低控制性能為代價(jià) 。 下面將討論 ,根據(jù)系統(tǒng)變量間耦合的情況 ,如何應(yīng)用被調(diào)量和操作量之間的匹配和重新整定調(diào)節(jié)器的方法來(lái)克服或削弱這各耦合作用 。 以一個(gè)壓力 流量系統(tǒng) (圖 24)為例 : 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 2021 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 第 18 頁(yè) u1u2P CP TQ CD TP1P0hP2 圖 24 壓力和流量由兩個(gè)閥門(mén)來(lái)控制的系統(tǒng) 壓力 流量系統(tǒng)可以描述為 1 2 0 21 0 1 2 1 212()( ) ( ) u u P Ph u P P u P P uu ?? ? ? ? ? ? (216) 則根據(jù)相對(duì)的定義 ,我們可求得其相對(duì)矩陣為 01 120 2 0 211 1221 22 0 1120 2 0 2 PP PPP P P PPPPPP P P P?????? ????????????? ? ? ???? ?????? (217) 配對(duì)的目的就是為了使 1 00 1? ??????? (218) 此時(shí) 1P 與 2P 接近 ,說(shuō)明用閥 1 去控制流 量 ,用閥 2 去控制壓力 1P 是合適的 ,配對(duì)正確 ,耦合不嚴(yán)重 。 如果 1P 接近于 0P ,則 0 11 0? ??????? (219) 則情況就大不一樣了 ,此時(shí)應(yīng)把變量的配置顛倒一下 ,即用閥 1去控制壓力 1P ,用閥2 去控制流量 。 如果