復變函數華中科技大學-資料下載頁
2025-05-15 01:34本頁面
【正文】 u=0 2 4 6 8 u v 10 10 ?10 ?10 如果函數 (映射 ) w=f (z) 與它的反函數 (逆映射 ) z =j (w)都是單值的 , 則稱函數 (映射 ) w =f (z)是一一的 . 此時 , 我們也稱集合 D與集合 G是一一對應的 . 舉例 ： 曲線在映射下的像 例題 1 ?8: 122 ???? ???? ? zwyxC11z x iyw u iv? ? ? ?? 22 vuivu???2222 , vuvyvuux??????81: 22 ???? vu?: 2 ???? ??? ?? bzwRzC例題 2 Rbwzbw 2:2 ??????例題 3 ?)2(: 2 ??? ???? ? zwtizC22 )43(])2[( titiw ???? uv34: ???例題 4 ?: ??? ??? ? izwxyC)( ixxiw ?? ixx ??? uv ???? :167。 復變函數的極限和連續(xù)性 定義 設函數 w = f (z)定義在 z0的去心鄰域 0|z?z0|r內 , 如果有一確定的數 A存在 , 對于任意給定的 e 0, 相應地必有一正數 d (e) (0 d ?r), 使得當 0 |z?z0|d 時有| f (z)?A |e ,則稱 A為 f (z)當 z趨向于 z0時的 極限 , 記作 Azfzz??)(lim0或記作當 z?z0 時 , f (z)?A. 幾何意義 : x y O z0 d z O u v A e f(z) 0l im ( )zzA f z?? 意味著：0 ()zz f z當 從平面上任一方向、沿任何路徑、以任意方式趨近于 時， 均以A 為極限。等價定義 ： 設 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 則 0000000l im ( , )l im ( ) .l im ( , )xxyyzzxxyyu x y uf z Av x y v??????????? ?????運算性質 ： )(l i m)(l i m))()((l i m)1(000zgzfzgzf zzzzzz ??? ???)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzf zzzzzz ??? ??????? ??????0)(lim)(lim)(lim)()(lim)3(0000zgzgzfzgzfzzzzzzzz當 z?0 時的極限不存在 例 1 證明函數 R e ( )()||zfzz?[證 ] 令 z = x + i y, 則 22( ) ,xfzxy??由此得 22( , ) , ( , ) 0 .xu x y v x yxy???讓 z 沿直線 y = k x 趨于零 , 我們有 2200( ) ( )l im ( , ) l imxxy k x y k xxu x yxy???????2 2 201l im .( 1 ) 1xxk x k?????故極限不存在 . 2. 函數的連續(xù)性 定義 )()(l i m 00zfzfzz ??如果 則說 f (z)在 z0 處 連續(xù) . 如果 f (z) 在區(qū)域 D內處處連續(xù) , 我們說 f (z) 在 D內連續(xù) . 函數 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0處連續(xù)的充要條件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)處連續(xù) . 性質： (1)連續(xù)函數的四則運算仍然連續(xù)； (2)連續(xù)函數的復合函數仍然連續(xù)； (3)連續(xù)函數的模也連續(xù)； (4)有界閉區(qū)域 D上的連續(xù)函數必有界 ， 且其模 在 D上取到最大值與最小值 。 (5)有界閉區(qū)域 D上的連續(xù)函數必一致連續(xù) . 例題 1 討論 zzf a rg)( ?的連續(xù)性。 x 0 0 2p2p2p?2p?pp??a r ga r gzzpp? ? ?在區(qū)域內連續(xù)，a r g z p?在負實軸上不連續(xù)。例 2 討論 22Im( ) ( 0 )zzf z zz???? ?irez解： ?2s i n)( rzf ?0)(l i m0???zfz0)0( ?f補充定義 ( ) 0f z z?? 在 連續(xù).的連續(xù)性。
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