直角坐標(biāo)系的分離變量法-資料下載頁
2025-05-14 23:56本頁面
【正文】 , )l a T ??∴ ?n— 本征頻率 以本征頻率振動的駐波，稱為本征駐波 ii) u (x ,t)代表弦上實際發(fā)生的振動 u (x ,t)是各次本征駐波迭加的結(jié)果，而各次本征 駐波在實際振動中所占的比重由初始條件而定。 思考： 2 0 0 , 0( 0 , ) 0 , ( , ) 0( , 0) ( )t x xxu a u x l tu t u l tu x x?? ? ? ? ? ?????? ?? 解的形式 二、求解兩端自由的均勻細(xì)桿的縱振動，各點 初始位移為 cos(3πx/l)， 初速度為零。 定解問題： 20 0 , 0( 0 , ) 0 , ( , ) 03( , 0 ) c o s , ( , 0 ) 0tt x xxxtu a u x l tu t u l tu x x u xl??? ? ? ? ?????????????① 解：設(shè)形式解 u (x ,t)=X (x) T (t)代入①中方程及邊條件 得： ???????????0)(,0)0(0)()(lXXxXxX ? ② 和 0)()( 2 ???? tTatT ? ③ 解本征值問題② ?2,1,0c o s2????????????????nxlnXlnnn???將 ?n 代入③解 T n (t) n≠0時： 2( ) ( ) 0nnnaT t T tl????? ????????2,1s i nc os)( ??? ntl anDtl anCtT nnn ??n=0時： tDCtTtT0000)(0)(????? 迭加特解得通解： ????0)()(),(nnn tTxXtxu??? ?????? ????100 c oss i nc osnnn xlntlanDtlanCtDC ??? 代入初條件： xlxlnCCxunn?? 3c osc os)0,(10 ??? ???(a) 0c os)0,(10 ??? ???nnt xlnDlanDxu ??(b) 注： ∵ 所給初條件中的 ?(x)、 ?(x)滿足使級數(shù)絕對 收斂的條件 ∴ u t (x,0)右側(cè)級數(shù)中先逐次求導(dǎo)，再代入 t=0 分析： (a)(b)兩式的兩側(cè)都是按同一正交完備系展開的 (a)(b)兩式在整個正交區(qū)間 [0, l] 上都是成立的 所以，可以直接比較系數(shù) 3 1 , 0 ( 3 )nC C n? ? ? ??2,1,00 ?? nD n33( , ) c o s c o s 0 , 0au x t t x x l tll??? ? ? ? ?物理意義： 均勻細(xì)桿上發(fā)生的是具有與初始時刻 相同振幅分布的振動 xlxut ?3c os)0,(,0 ??t0時，兩端自由，沒有外力使振幅 加強或衰弱 33( , ) c o s c o sau x t t xll???課堂練習(xí)： 長為 l的均勻細(xì)桿，側(cè)面絕熱，左右端分別與 00和 1000的物體接觸， t＝ 0時刻，撤去右端物體，設(shè)桿右端與外界無熱交換， 求：桿上各點溫度隨時間變化？
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