信息科學(xué)第五章(1)-資料下載頁(yè)
2025-05-12 05:27本頁(yè)面
【正文】 i + E3 … … … … … … 禁 用 碼 組 … ?定理 (線性碼糾錯(cuò)極限定理 )： 二元 (n,k) 線性碼能糾 2n－ k 個(gè)錯(cuò)誤圖樣。 這 2n－ k 個(gè)可糾的錯(cuò)誤圖樣，包括 0矢量在內(nèi)，即把無(wú)錯(cuò)的情況也看成一個(gè)可糾的錯(cuò)誤圖樣。 ? 陪集 ：標(biāo)準(zhǔn)陣列的每一行叫做碼的一個(gè)陪集。 ? 陪集首 ：每個(gè)陪集的第一個(gè)元素叫做陪集首。 ? 每一列包含 2n－ k 個(gè)元素，最上面的是一個(gè)碼矢，其它元素是陪集首和該碼矢之和，例如第 j 列為 ? 若發(fā)送碼矢為 Cj，信道干擾的錯(cuò)誤圖樣是陪集首，則接收矢量 R 必在 Dj 中； ? 若錯(cuò)誤圖樣不是陪集首，則接收矢量 R不在 Dj 中，則譯成其它碼字，造成錯(cuò)誤譯碼； ? 當(dāng)且僅當(dāng)錯(cuò)誤圖樣為陪集首時(shí)，譯碼才是正確的。 ? 可糾正的錯(cuò)誤圖樣 ：這 2n－ k 個(gè)陪集首稱為可糾正的錯(cuò)誤圖樣。 ? 線性碼糾錯(cuò)能力與監(jiān)督元數(shù)目的關(guān)系 ： 一個(gè)可糾 t 個(gè)錯(cuò)誤的線性碼必須滿足 上式中等式成立時(shí)的線性碼稱為 完備碼 。即 ? 定義 ： (n,k) 線性碼的所有 2n－ k 個(gè)伴隨式，在譯碼過(guò)程中若都用來(lái)糾正所有小于等于 個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤，以及部分大于 t 的錯(cuò)誤圖樣，則這種譯碼方法稱為 完備譯碼 。 ? 限定距離譯碼 ：任一個(gè) (n,k) 線性碼，能糾正 個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤，如果在譯碼時(shí)僅糾正 t’ t 個(gè)錯(cuò)誤，而當(dāng)錯(cuò)誤個(gè)數(shù)大于 t’時(shí)，譯碼器不進(jìn)行糾錯(cuò)而僅指出發(fā)生了錯(cuò)誤，稱這種方法為 限定距離譯碼 。 ? 標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼 =最小距離譯碼法 =最佳譯碼法 ? 陪集首是可糾正的錯(cuò)誤圖樣，為了使譯碼錯(cuò)誤概率最小，應(yīng)選取出現(xiàn)概率最大的錯(cuò)誤圖樣作陪集首； ? 重量較輕的錯(cuò)誤圖樣出現(xiàn)概率較大，所以在構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)陣列時(shí)是選取重量最輕的 n 重作陪集首； ? 這樣，當(dāng)錯(cuò)誤圖樣為陪集首時(shí)（可糾的錯(cuò)誤圖樣），接收矢量與原發(fā)送碼矢間的距離（等于陪集首）最小； ? 因此，選擇重量最輕的元素作陪集首，按標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼就是按最小距離譯碼； ? 所以標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼法也是最佳譯碼法。 ? 定理 ：在標(biāo)準(zhǔn)陣列中，一個(gè)陪集的所有 2k 個(gè) n 重有相同的伴隨式，不同的陪集伴隨式互不相同。 (1)不可檢錯(cuò)誤概率 pud ? 令 Ai為碼的重量分布，表示重量為 i的碼字個(gè)數(shù)，由于 僅當(dāng)錯(cuò)誤圖樣與碼矢集合中的非 0碼矢相同時(shí)，才不能檢出錯(cuò)誤 ，所以 線性分組碼的性能 (2) 譯碼錯(cuò)誤概率 pwe ? 正確譯碼概率 pwc：糾正小于等于 t個(gè)差錯(cuò)的概率 ? 譯碼錯(cuò)誤概率 pwe為 ? 漢明碼是漢明于 1950年提出的糾一個(gè)錯(cuò)誤的線性碼，也是第一個(gè)糾錯(cuò)碼。由于它編碼簡(jiǎn)單，因而是在通信系統(tǒng)和數(shù)據(jù)存儲(chǔ)系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用的一類線性碼。 ? 漢明碼的結(jié)構(gòu)參數(shù)： ? 糾一個(gè)錯(cuò)誤的線性碼，其最小距離 dmin=3 ；監(jiān)督矩陣任意兩列線性無(wú)關(guān) / H 的任兩列互不相同 ；沒(méi)有全0的列。 ? 監(jiān)督元個(gè)數(shù) n－ k=r； H 陣中每列有 r 個(gè)元素，至多可構(gòu)成 2r－ 1種互不相同的非 0列。 漢明碼 ? 漢明碼監(jiān)督矩陣構(gòu)成的兩種方式 ?構(gòu)成 H 陣的標(biāo)準(zhǔn)形式， H=[Q Im]，其中 Im 為 m 階單位子陣，子陣 Q 是構(gòu)造 Im 后剩下的列任意排列。用這種形式的 H 陣編出的漢明碼是系統(tǒng)碼。 ?按 m重表示的二進(jìn)制順序排列。按這種形式 H 陣編出的碼是非系統(tǒng)碼。當(dāng)發(fā)生可糾的單個(gè)錯(cuò)誤時(shí)，伴隨式為 H 陣中對(duì)應(yīng)的列，所以伴隨式的二進(jìn)制數(shù)值就是錯(cuò)誤位置號(hào)，有時(shí)這種碼譯碼比較方便。 (1) 研究碼限的意義 ? 研究碼的糾錯(cuò)能力，也就是分析碼的 n,k,d 之間的關(guān)系，不僅能從理論上指出哪些碼可以構(gòu)造出，哪些碼不能構(gòu)造出，而且也為工程實(shí)驗(yàn)提供了對(duì)各種碼性能估計(jì)的理論依據(jù)。 ? 研究碼的糾錯(cuò)能力始終是編碼理論中一個(gè)重要的課題。 ? 在糾錯(cuò)編碼實(shí)現(xiàn)上總希望在盡可能小的 n 和 r 條件下獲得盡可能大的 k,d 或 t。 ? 滿足碼限的碼稱為最佳碼。 線性分組碼的碼限 (2) 三個(gè)碼限 ? 普羅特金 (Plotkin)限 (P限 ) 對(duì)任意二元 (n,k,d) 碼滿足 ? 漢明限 (H限 ) 對(duì)任意二元 (n,k,2t+1) 碼滿足 ? 瓦爾沙莫夫－吉爾伯特 (VarshamovGilbert)(VG限 ) 存在某個(gè)二元 (n,k,d)碼滿足 ? 在 n 充分大時(shí)各個(gè)碼限的關(guān)系曲線如圖 。圖中以 VG 限為下限，H 限和 P 限為上限所圍的區(qū)域 (蘭色區(qū)域 )是好碼（滿足所有上述碼限的 (n,k,d)碼）。
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