【正文】 ? 1．回歸系數(shù)的顯著性檢驗 ? 多元回歸中進行這一檢驗的目的主要是為了檢驗與各回歸系數(shù)對應(yīng)的自變量對因變量的影響是否顯著，以便對自變量的取舍做出正確的判斷。一般來說，當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個自變量的影響不顯著時，應(yīng)將其從模型中刪除。這樣才能夠做到以盡可能少的自變量去達到盡可能高的擬合優(yōu)度。 ? 多元模型中回歸系數(shù)的檢驗同樣采用ｔ檢驗和 P檢驗，其原理和基本步驟與一元回歸模型基本相同，這里不再贅述。下面僅給出回歸系數(shù)顯著性檢驗ｔ統(tǒng)計量的一般計算公式。 74 j=1,2,…, k ? 式中， 是回歸系數(shù)的估計值， 是的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值，其按下式計算： ? 式中， 是 (X’X)1的第 j個對角線元素， S2是隨機誤差項方差的估計值。上式的 t 統(tǒng)計量背后的原假設(shè)是Ｈ 0： βj=0，因此 t 的絕對值越大表明 βj為 0的可能性越小，即表明相應(yīng)的自變量對因變量的影響是顯著的。 jjSt j ?? ? ?? /??j??jS??jjSS j ?? ??2?jj?75 ? 2．回歸方程的顯著性檢驗 必須在方差分析的基礎(chǔ)上利用Ｆ檢驗進行。其具體的方法步驟可歸納如下： ? （ 1）假設(shè)總體回歸方程不顯著，即有 H0： β2＝ β3＝ …… ＝ βk＝ 0 ? （ 2）進行方差分析，列出回歸方差分析表（見下表） 76 回歸模型方差分析表 ? 表中， 回歸平方和的取值受ｋ個回歸系數(shù)估計值的影響，同時又要服從 的約束條件，因此其自由度是 k1。殘差平方和取決于 n個因變量的觀測值，同時又要服從 k個正規(guī)方程式的約束，因此其自由度是 nk。 回歸平方和與殘差平方和各除以自身的自由度得到的是樣本方差。 離差名稱 平 方 和 自由度 方 差 回歸平方和 SSR = ? ?2)? YYt（ k 1 SSR / ( k 1) 殘差平方和 SSE = ?2te n k SSE / ( n k) 總離差平方和 SST = ? ?2)YYt（ n 1 ? ? YnYt /?77 （ 3）根據(jù)方差分析的結(jié)果求Ｆ統(tǒng)計量，即 數(shù)學(xué)上可以證明，在隨機誤差項服從正態(tài)分布同時原假設(shè)成立的條件下，Ｆ服從于自由度為 (k1)和 (nk)的Ｆ分布。 （ 4）根據(jù)自由度和給定的顯著性水平 α，查 F分布表中的理論臨界值 Fα。當(dāng) F Fα?xí)r，拒絕原假設(shè)，即認為總體回歸函數(shù)中各自變量與因變量的線性回歸關(guān)系顯著。當(dāng) F Fα?xí)r，接受原假設(shè)，即認為總體回歸函數(shù)中，自變量與因變量的線性關(guān)系不顯著，因而所建立的回歸模型沒有意義。 /( 1 ) /( )S S R kFS S E n k???78 （三）多元線性回歸預(yù)測 ? 在通過各種檢驗的基礎(chǔ)上，多元線性回歸模型可以用于預(yù)測。多元線性回歸預(yù)測與一元線性回歸預(yù)測的原理是一致的，其基本公式如下： ? 式中， Xjf(j=2,3,…… k)是給定的 Xj在預(yù)測期的具體數(shù)值； 是已估計出的樣本回歸系數(shù)； 是 Xj給定時Ｙ 的預(yù)測值。 ? 該方程的矩陣形式為： kfkff XXY ??? ???? 221 ?????j??fY???ffY ?? X β79 式中： ? 多元線性回歸預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算公式如下： 式中， S是回歸方程估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差。 ? 多元線性回歸預(yù)測 Ｙ f的（１－ α）的置信區(qū)間可由下式給出： 式中， tα/2是顯著水平為 α的 t分布雙側(cè)臨界值。 22()11()feftXXSSn X X?? ? ???/2( 2 )nf e fY t S???????????????????kfffXX?21X???????????????k??????? 21?β80 四、復(fù)相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù) （一）復(fù)相關(guān)系數(shù) ? 樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)（以下簡稱復(fù)相關(guān)系數(shù)）的定義式如下： ? 實際計算復(fù)相關(guān)系數(shù)時，一般不直接根據(jù)其定義式，而是先計算出決定系數(shù)，然后再求決定系數(shù)的平方根。 ? 復(fù)相關(guān)系數(shù)只取正值。因此，復(fù)相關(guān)系數(shù)只是反映一個變量Y與其他多個變量 X2,X3,……,X k之間線性相關(guān)程度的指標(biāo)，而不能反映其相互之間線性相關(guān)的方向。 ? 復(fù)相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間為：０ ≤R≤１。 22?( ) ( )?( ) ( )ttttY Y Y YRY Y Y Y????????81 （二）偏相關(guān)系數(shù) 在對其他變量的影響進行控制的條件下，衡量多個變量中某兩個變量之間的線性相關(guān)程度和相關(guān)方向的指標(biāo)稱為 偏相關(guān)系數(shù) 。 在多變量相關(guān)的場合，由于變量之間存在錯綜復(fù)雜的關(guān)系，因此偏相關(guān)系數(shù)與 單相關(guān)系數(shù) 在數(shù)值上可能相差很大，有時甚至符號都可能相反。單相關(guān)系數(shù)受其他因素的影響，反映的往往是表面的非本質(zhì)的聯(lián)系，而偏相關(guān)系數(shù)則較能說明現(xiàn)象之間真實的聯(lián)系。 例如 ，一種商品的需求既受收入水平的影響又受其價格的影響。按照經(jīng)濟學(xué)理論，在一定的收入水平下，該商品的價格越高，商品的需求量就越小。也就是說，需求與價格之間應(yīng)當(dāng)是負相關(guān)?？墒?，在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，由于收入和價格常常都有不斷提高的趨勢，如果不考慮收入對需求的影響，僅僅利用需求和價格的時間序列數(shù)據(jù)去計算單相關(guān)系數(shù)，就有可能得出價格越高需求越大的錯誤結(jié)論。 82 ? 樣本單相關(guān)系數(shù)也可定義為兩個樣本回歸系數(shù)的乘積的開方，即 : ? 上式中 r的符號應(yīng)與回歸系數(shù)的符號一致?；貧w系數(shù)為正數(shù)時， r取正值；回歸系數(shù)為負數(shù)時， r取負值。 ? 樣本偏相關(guān)系數(shù)也可以按照類似的形式來定義，即偏相關(guān)系數(shù)等于兩個相應(yīng)的偏回歸系數(shù)的幾何平均數(shù)。 ? 為簡明起見，下面舉３變量的偏相關(guān)分析為例。設(shè)有３個變量 X X2和 X3。３個變量各自以另兩個變量為自變量擬合的樣本回歸方程如下： 22? ?r ????1 2 32 1 33 1 2? ? ??? ? ??? ? ??t t tt t tt t tX X XX X XX X X? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?83 ? 利用以上偏回歸系數(shù)，３個變量之間的偏相關(guān)系數(shù)可定義如下： ? 偏相關(guān)系數(shù)的取值范圍與單相關(guān)系數(shù)一樣也是在 1至 +1之間，其符號與相應(yīng)的偏回歸系數(shù)相同。 12. 3 12. 3 21. 313. 2 13. 2 31. 223. 1 23. 1 32. 1? ?? ?? ?rrr????????????84 ? 以上偏相關(guān)系數(shù)的定義可以推廣到ｋ個變量的場合。在進行實際的客觀現(xiàn)象的定量分析時，人們所關(guān)心的通常是某一個因變量 Y 與多個自變量之間的偏相關(guān)程度。這時若令 Y為 X1，則 Y與各自變量的偏相關(guān)系數(shù)的一般形式可表現(xiàn)為： 式中， 是 Y對 Xj的偏回歸系數(shù)； 是 Xj對 Y的偏回歸系數(shù)。 表示 k個變量情況下 Y與 Xj的偏相關(guān)系數(shù)，它反映其他自變量保持不變時 Y與 Xj的凈相關(guān)程度。 1 . 2 , 3, , ( 1 ) , ( 1 ) , , 1 . 2 , 3, , ( 1 ) , ( 1 ) , , 1 . 2 , 3, , ( 1 ) , ( 1 ) , ,? ?j j j k j j j k j j j kr ??? ? ? ? ? ???2 , 3 , ,jk?kjjj ,),1(),1(,3, ?? ???kjjj ,),1(),1(,3, ?? ???kjjjr ,),1) ,(1,(,3, ?? ??85 第四節(jié) Excel在相關(guān)與回歸分析中的應(yīng)用 ? 【 例 711】 Checkers Pizza公司是美國休斯頓附近Westbury鎮(zhèn)上僅有的從事家庭比薩餅送貨業(yè)務(wù)的兩家公司之一，另一家競爭者歐文公司也提供同樣的產(chǎn)品與服務(wù)。此外，麥當(dāng)勞連鎖店提供的漢堡包等服務(wù)屬于替代性商品，同樣與公司存在競爭關(guān)系。 ? 公司的經(jīng)理安妮知道她的顧客對于價格是非常敏感的，鎮(zhèn)上的比薩餅購買者很關(guān)注她與她的競爭者的價格變化。安妮決定估計她的比薩餅經(jīng)驗需求函數(shù)。她收集了過去 24個月的有關(guān)數(shù)據(jù)（ 參見 Excel文件 ）。 注：本案例數(shù)據(jù)引自美國 Maurice和 Christopher 《 管理經(jīng)濟學(xué) 》 （第 7版）中譯本 207頁， .陳章武等譯，機械工業(yè)出版社 2021年 8月。 86 ? 要求 ： ? 1．繪制本公司比薩餅的需求量與價格的相關(guān)圖。 ? 2．估計以下線性需求模型的參數(shù)，并進行統(tǒng)計檢驗； ? 3．計算本公司比薩餅的需求量與上述模型中其他各變量的單相關(guān)系數(shù)；計算本公司比薩餅的需求量與小鎮(zhèn)居民人均收入的偏相關(guān)系數(shù)。 ? 4．假定小鎮(zhèn)居民的人均年收入為 29000美元，歐文公司和麥當(dāng)勞公司商品的價格分別為： ，本公司價格維持 ，試預(yù)測本公司比薩餅的需求量，并給出置信度為95%的預(yù)測區(qū)間。 答案見 Excel文件 1 2 3 4 5A l B M a cQ P M P P u? ? ? ? ?? ? ? ? ?