【導(dǎo)讀】喬治·波利亞是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家．在解題方?；蛘咚欠癫怀浞?把條件的各個(gè)部分分開．你能否把它們寫下來?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道一個(gè)可能用得上的定理?它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素?你能不能重新敘述這個(gè)問題?想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題?一個(gè)更普遍的問題?僅僅保持條件的一部分而舍去其。余部分．這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度?據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?含在問題中的必要的概念?你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?下面是實(shí)踐波利亞解題表的一個(gè)示例，能夠展示波利亞解題風(fēng)格的心路歷程，娓娓道來，由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)告訴我們，問題5．怎樣才能求得x？這就將一個(gè)幾何問題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解．解方程②，便可由a、b、h表示x,

　　

【正文】 了 ?對(duì)數(shù)學(xué)問題解決全過程的探索可能比解題表所簡(jiǎn)潔描述的復(fù)雜得多． 數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代復(fù)興及其所取得的成功，無論怎樣評(píng)價(jià)都不算過分，但啟發(fā)法能不能看成影響問題解決能力的惟一要素 ?“知識(shí) +啟 發(fā)法 ”之外可能還有更多的因素需要重視(如 “元認(rèn)知調(diào)節(jié) ”、 “觀念 ”等 )， “好念頭 ”的出現(xiàn)可能也需要從方法論的角度做出更為自覺的分析． 波利亞從數(shù)學(xué)內(nèi)部研究數(shù)學(xué)問題解決并強(qiáng)調(diào)解題實(shí)踐是一個(gè)值得繼承的研究方向 (與那些連數(shù)學(xué)題都沒有出現(xiàn)的解題研究形成鮮明對(duì)照，也與那些對(duì)中學(xué)教材作業(yè)題都不那么過關(guān)的研究者形成鮮明對(duì)照 )，但局限于 “解題 ”、專注于技能技巧是不是狹窄了點(diǎn) ?至少 “問題發(fā)現(xiàn) (提出 )”、 “實(shí)際應(yīng)用 ”都與解決問題有同樣的重要性． ４．２ 發(fā)展 近十幾年來，通過反思和對(duì)解題實(shí)踐活動(dòng)的深入考察 ，數(shù)學(xué)教育界已經(jīng)在 “問題解決 ”的全過程和 “高級(jí)數(shù)學(xué)思維 ”的內(nèi)外部機(jī)制等研究方面取得了新的進(jìn)展，中國(guó)式的 “問題解決 ”也初成特色，這些都構(gòu)成了對(duì)波利亞的超越． （１）美國(guó)學(xué)者舍費(fèi)爾德在名著《數(shù)學(xué)解題》一書中，提出了一個(gè)新的理論框架，描述了復(fù)雜的智力活動(dòng)的四個(gè)不同性質(zhì)的方面． ① 認(rèn)識(shí)的資源．即解題者所已掌握的事實(shí)和算法； ② 啟發(fā)法．即在困難的情況下借以取得進(jìn)展的 “常識(shí)性的法則 ”； ③ 調(diào)節(jié)．它所涉及的是解題者運(yùn)用已有知識(shí)的有效性 (即現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)中所說的元認(rèn)知 )； ④ 信息系統(tǒng)．即解題者 對(duì)于學(xué)科的性質(zhì)和應(yīng)當(dāng)如何去從事工作的看法． （２）中國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來重視解題訓(xùn)練、中國(guó)的數(shù)學(xué)教師歷來重視解題研究， 20 世紀(jì) 80 年代，隨著美國(guó) “問題解決 ”口號(hào)傳入中國(guó)，波利亞的解題理論受到了重視也得到了發(fā)展． 早在 20 世紀(jì) 40 年代，波利亞的《怎樣解題》就曾有過中譯本 (周佐嚴(yán)譯，中華書局出版 )，到 60 年代曾有人翻譯《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》但由于種種原因未能完成（見江澤涵．關(guān)于波利亞的《怎樣解題》和《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》的一些往事．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) (皖 )， 1983， 2，Ｐ．４）．８０年代以來，波利亞的三部著作都已翻譯發(fā)行， 其中的解題觀點(diǎn)已成為許多同行研究解題的指導(dǎo)思想，國(guó)內(nèi)一些學(xué)者多次召開了波利亞數(shù)學(xué)思想的討論會(huì)，徐利治教授還提出研究波利亞的兩項(xiàng)重要任務(wù)：一是培養(yǎng)和造就一批波利亞型的數(shù)學(xué)工作者，二是按照波利亞的思想改革數(shù)學(xué)教材和教學(xué)方法 (后來有 “MM教育方式 ”的理論與實(shí)踐，見文［８］ )． 20 世紀(jì) 90 年代，張奠宙教授組織 “數(shù)學(xué)教育高級(jí)研討班 ”，提出 “提倡問題解決 ”作為進(jìn)一步改革中國(guó)數(shù)學(xué)教育 “突破口 ”的設(shè)計(jì)（數(shù)學(xué)素質(zhì)教育設(shè)計(jì)．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)， 1993， 3）．這一切，促進(jìn)了中國(guó)特色的解題研究 (參見文［６］、［７］等 )，并初步形成了 “中國(guó) 的數(shù)學(xué)問題解決 ”特色．主要表現(xiàn)有： ① 注重研究數(shù)學(xué)解題的思維過程： ② 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法論研究； ③ 提倡數(shù)學(xué)解題策略研究； ④ 應(yīng)用問題、數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究； ⑤ 開放題、情景題的教學(xué)研究及其在考試中的大規(guī)模運(yùn)用； ⑥ 提倡探究性學(xué)習(xí)，進(jìn)行 “問題教學(xué) ”、 “情景教學(xué) ”、 “開放性教學(xué) ”． 與此相關(guān)的是兩個(gè)舉世矚目的事實(shí)： ① 1992 年， “國(guó)際教育成就評(píng)價(jià) ”IAEP發(fā)表報(bào)告，在 21 個(gè)參加數(shù)學(xué)測(cè)試和科學(xué)測(cè)試的國(guó)家和地區(qū)中，中國(guó)內(nèi)地以總平均 80 分的成績(jī)名列第一，領(lǐng)先于第二名的中國(guó)臺(tái)灣省 和韓國(guó) 7 分之多． ② 在參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的 19 年中 (1985～ 2020），中國(guó)中學(xué)生參賽 104 人次，得獎(jiǎng) 102人次 (得獎(jiǎng)率達(dá) 98%)，其中金牌 77 個(gè) (占得獎(jiǎng)牌數(shù)的 75%)、銀牌 20 個(gè) (占得獎(jiǎng)牌數(shù)的 20%)、銅牌 5 個(gè) (占得獎(jiǎng)牌數(shù)的 5%)；團(tuán)體總分 10 次獲第 1 名， 4 次獲第二名，成為公認(rèn)的競(jìng)賽強(qiáng)國(guó)． 參考文獻(xiàn) １ 波利亞．怎樣解題．閻育蘇譯．北京：科學(xué)出版社， 1982 ２ 波利亞．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn) (一、二 )．劉景麟、曹三江、鄒清譯．呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社， 1979～１９８１；歐陽絳譯． 北京：科學(xué)出版社， 1982 ３ 波利亞．?dāng)?shù)學(xué)與似真推理．楊迅文、王學(xué)沂、汪成欽譯．福州：福建人民出版社，1984；李心燦、王日爽、李志堯譯 (書名為：數(shù)學(xué)與猜想 )．北京：科學(xué)出版社， 2020 ４ 徐利治，朱梧槚，鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)方法論教程．南京：江蘇教育出版社， 1992 ５ 鄭毓信，肖柏榮，熊萍．?dāng)?shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論．成都：四川教育出版社， 2020 ６ 戴再平主編．開放題 ——數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式．上海：上海教育出版社， 2020 ７ 羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論．西安：陜西師范大學(xué)出版社， 1997 ８ 楊世明，周春荔，徐瀝泉，王光明，郭璋．ＭＭ教育方式：理論與實(shí)踐．香港：香港新聞出版社， 2020 ９ Ｇ．Ｌ .Ａ lexanderson. Gee Polya 著 .袁向東譯．?dāng)?shù)學(xué)譯林， 1986，１ １０ 過伯祥．波利亞的解題觀，中等數(shù)學(xué)， 1988， 2 １１ 楊之，勞格．波利亞的生平與事業(yè)．中等數(shù)學(xué)，１９８８，４ １２ 趙雄輝．?dāng)?shù)學(xué)教師的良師 ——波利亞．?dāng)?shù)學(xué)教師，１９８８，７ １３ 薛迪群．喬治 波利亞的數(shù)學(xué)教育思想初探．教育研究，１９８７，２ １４ 谷政． 略論波利亞教育思想與當(dāng)代數(shù)學(xué)建構(gòu)教學(xué)觀．福建中學(xué)數(shù)學(xué)， 2020，２ １５ 龐征球，陳建華，靳衛(wèi)軍．波利亞數(shù)學(xué)教育思想簡(jiǎn)略評(píng)述．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，１９９３，第２卷，第 2 期 １６ 沈南山．發(fā)掘元認(rèn)知實(shí)現(xiàn)對(duì)波利亞解題思想的超越．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2020，第10 卷，第 3 期 １７ 涂榮豹．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2020，第１１卷，第 4 期 １８ 楊騫．波利亞數(shù)學(xué)教育理論的現(xiàn)代啟示．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2020，第 11 卷，第 2期 １９ 繆雪松．用波利亞解題思想解函數(shù)應(yīng)用題的實(shí)驗(yàn)研究．中學(xué) 數(shù)學(xué)教學(xué)，2020，４ ２０ 榮國(guó)華．從波利亞的審題觀談起．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2020，１２