【正文】 x+2． 觀察、比較①，②兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng) x 值較小時(shí)，x3＜ x2+x+2；當(dāng) x值較大時(shí)， x3＞ x2+x+2． 那么自然會(huì)想到：當(dāng) x=？時(shí)， x3=x2+x+2 呢？如果這個(gè)方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點(diǎn)”．為此，設(shè) x3=x2＋ x＋ 2，則 34 x3x2x2＝ 0， (x3x22x)＋ (x2)=0， (x2)(x2+x+1)=0． 因?yàn)?x＞ 0，所以 x2+x+1＞ 0，所以 x2=0，所以 x=2．這樣 (1)當(dāng)x=2 時(shí)， x3=x2+x+2； (2)當(dāng) 0＜ x＜ 2時(shí)，因?yàn)? x2＜ 0， x2+x+2＞ 0， 所以 (x2)(x2＋ x+2)＜ 0， x3(x2＋ x+2)＜ 0， 所以 x3＜ x2＋ x＋ 2.(3)當(dāng) x＞ 2時(shí)，因?yàn)? x2＞ 0， x2+x+2＞ 0， 所以 (x2)(x2+x+2)＞ 0，即 35 即 x3(x2＋ x＋ 2)＞ 0， 所以 x3＞ x2＋ x＋ 2． 綜合歸納 (1)， (2)， (3)，就得到本題的解答．練習(xí)七 1．試證明例 7中： 2．平面上有 n 條直線，其中沒有兩條直線互相平行 (即每?jī)蓷l直線都相交 )，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點(diǎn)．試求： (1)這 n條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？ (2)這 n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？ 然后做出證明 .) 3．求適合 x5=656356768 的整數(shù) x． (提示：顯然 x 不易直接求出，但可注意其取值范圍： 505＜656356768＜ 605，所以 502＜ x＜ 602． ) 第五章生活中的數(shù)學(xué)（儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)與納稅） 36 儲(chǔ)蓄、保 險(xiǎn)、納稅是最常見的有關(guān)理財(cái)方面的數(shù)學(xué)問題，幾乎人人都會(huì)遇到，因此，我們?cè)谶@一講舉例介紹有關(guān)這方面的知識(shí)，以增強(qiáng)理財(cái)?shù)淖晕冶Ｗo(hù)意識(shí)和處理簡(jiǎn)單財(cái)務(wù)問題的數(shù)學(xué)能力． 1．儲(chǔ)蓄 銀行對(duì)存款人付給利息，這叫儲(chǔ)蓄．存入的錢叫本金．一定存期 (年、月或日 )內(nèi)的利息對(duì)本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和． 利息 =本金利率存期，本利和 =本金 (1+利率經(jīng)存期 )． 如果用 p， r， n， i， s 分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有 i=prn， s=p(1+rn)． 例 1設(shè)年利率為 ，某人存入銀行 2021 元， 3 年后得到利息多少元？本利和為多少元？ 解 i=20213=(元 )． s=2021(1+3)=(元 )． 答某人得到利息 ，本利和為 ． 37 以上計(jì)算利息的方法叫單利法，單利法的特點(diǎn)是無論存款多少年，利息都不加入本金．相對(duì)地，如果存款年限較長(zhǎng)，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復(fù)利法，即利息再生利息．目前我國(guó)銀行存款多數(shù)實(shí)行的是單利法．不過規(guī)定存款的年限越長(zhǎng)利率也越高．例如，1998年 3月我國(guó)銀行公布的定期儲(chǔ)蓄人民幣的年利率如表 22． 1所示． 用復(fù)利法計(jì)算本利和，如果設(shè)本金是 p 元，年利率是 r,存期是 n年，那么若第 1 年到第 n年的本利和分別是 s1， s2,?， sn，則 s1=p(1+r)， s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2， s3＝ s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3， ??， sn=p(1+r)n． 例 2小李有 20210元，想存入銀行儲(chǔ)蓄 5年，可有幾種儲(chǔ)蓄方案，哪種方案獲利最多？ 解按表 22． 1的利率計(jì)算． (1)連續(xù)存五個(gè) 1年期，則 5年期滿的本利和為 3820210(1+)5≈ 25794(元 )． (2)先存一個(gè) 2年期，再連續(xù)存三個(gè) 1年期，則 5年后本利和為 20210(1+2)(1+)3≈ 25898(元 )． (3)先連續(xù)存二個(gè) 2年期，再存一個(gè) 1年期，則 5年后本利和為 20210(1+2)2(1+)≈ 26003(元 )． (4)先存一個(gè) 3年期，再轉(zhuǎn)存一個(gè) 2年期，則 5年后的本利和為 20210(1＋ 3)(1+2)≈ 26374(元 )． (5)先存一個(gè) 3年期，然后再連續(xù)存二個(gè) 1年期，則 5 年后本利和為 20210(1+3)(1+)2≈ 26268(元 )． (6)存一個(gè) 5年期，則到期后本利和為 20210(1+5)≈ 26660(元 )． 顯然，第六種方案，獲利最多，可見國(guó)家所規(guī)定的年利率已經(jīng)充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的． 2．保險(xiǎn) 39 保險(xiǎn)是現(xiàn)代社會(huì)必不可少的一種生活、生命和財(cái)產(chǎn)保護(hù)的金融事業(yè)．例如，火災(zāi)保險(xiǎn)就是由于火災(zāi)所引起損失的保險(xiǎn)，人壽保險(xiǎn)是由于人身意外傷害或養(yǎng)老的保險(xiǎn)，等等．下面舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例． 例 3假設(shè)一個(gè)小城鎮(zhèn)過去 10年中，發(fā)生火災(zāi)情況如表 22． 2所示． 試問： (1)設(shè)想平均每年在 1000家中燒掉幾家？ (2)如果保戶投保 30 萬元的火災(zāi)保險(xiǎn)，最低限度要交多少保險(xiǎn)費(fèi)保險(xiǎn)公司才不虧本？ 解 (1)因?yàn)? 1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家 )， 365+371+385+395+412+418+430+435+440＋ 445=4096(家 )． 11247。 4096≈ ． (2)300000=780(元 )． 答 (1)每年在 1000家中，大約燒掉 家． (2)投保 30萬元的保險(xiǎn)費(fèi)，至少需交 780元的保險(xiǎn)費(fèi)． 40 例 4財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是常見的保險(xiǎn)．假定 A 種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是每投保 1000元財(cái)產(chǎn)，要交 3 元保險(xiǎn)費(fèi)，保險(xiǎn)期為 1 年，期滿后不退保險(xiǎn)費(fèi)，續(xù)保需重新交費(fèi)． B 種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)是按儲(chǔ)蓄方式，每 1000 元財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)交儲(chǔ)蓄金25 元，保險(xiǎn)一年．期滿后不論是否得到賠款均全額退還儲(chǔ)蓄金，以利息作為保險(xiǎn)費(fèi)．今有兄弟二人，哥哥投保 8 萬元 A 種保險(xiǎn)一年，弟弟投保 8 萬元 B 種保險(xiǎn)一年．試問兄弟二人誰投的保險(xiǎn)更合算些？ (假定定期存款 1 年期利率為 ％ ) 解哥哥投保 8萬元 A種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，需交保險(xiǎn)費(fèi) 80000247。 10003=803=240(元 )． 弟弟投保 8 萬元 B 種財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，按每 1000元交 25 元保險(xiǎn)儲(chǔ)蓄金算，共交 80000247。 100025=2021(元 )， 而 2021元一年的利息為 2021=(元 )． 兄弟二人相比較，弟弟少花了保險(xiǎn)費(fèi)約 =(元 )． 因此，弟弟投的保險(xiǎn)更合算些． 413．納稅 納稅是每個(gè)公民的義務(wù)，對(duì)于每個(gè)工作人員來說，除 了工資部分按國(guó)家規(guī)定納稅外，個(gè)人勞務(wù)增收也應(yīng)納稅．現(xiàn)行勞務(wù)報(bào)酬納稅辦法有三種： (1)每次取得勞務(wù)報(bào)酬不超過 1000 元的 (包括 1000元 )，預(yù)扣率為3％，全額計(jì)稅． (2)每次取得勞務(wù)報(bào)酬 1000 元以上、 4000 元以下，減除費(fèi)用 800元后的余額，依照 20％的比例稅率，計(jì)算應(yīng)納稅額． (3)每次取得勞務(wù)報(bào)酬 4000 元以上的，減除 20％的費(fèi)用后，依照20％的比例稅率，計(jì)算應(yīng)納稅額． 每次取得勞務(wù)報(bào)酬超過 20210元的 (暫略 )． 由 (1)， (2)， (3)的規(guī)定，我們?nèi)绻O(shè)個(gè) 人每次勞務(wù)報(bào)酬為 x 元，y 為相應(yīng)的納稅金額 (元 )，那么，我們可以寫出關(guān)于勞務(wù)報(bào)酬納稅的分段函數(shù)： 例 5 小王和小張兩人一次共取得勞務(wù)報(bào)酬 10000 元，已知小王的報(bào)酬是小張的 2倍多，兩人共繳納個(gè)人所得稅 1560 元，問小王和小張各得勞務(wù)報(bào)酬多少元？ 42 解根據(jù)勞務(wù)報(bào)酬所得稅計(jì)算方法 (見函數(shù)① )，從已知條件分析可知小王的收入超過 4000 元，而小張的收入在 1000～ 4000 之間，如果設(shè)小王的收入為 x元，小張的收入為 y元，則有方程組： 由①得 y=10000x，將之代入②得 x(120％ )20％ +(10000x800)20％ =1560， 化簡(jiǎn)、整理得 +1840=1560， 所以 =280， x=7000(元 )． 則 y=100007000=3000(元 )． 所以 答小王收入 7000元，小張收入 3000元． 例 6 如果對(duì)寫文章、出版圖書所獲稿費(fèi)的納稅計(jì)算方法是 43 其中 y(x)表示稿費(fèi)為 x元應(yīng)繳納的稅額． 那么若小紅的爸爸取得一筆稿費(fèi)，繳納個(gè)人所得稅 后，得到 6216元，問這筆稿費(fèi)是多少元？ 解設(shè)這筆稿費(fèi)為 x 元，由于 x＞ 4000，所以，根據(jù)相應(yīng)的納稅規(guī)定，有方程 x(120％ )20％ (130％ )=x6216， 化簡(jiǎn)、整理得 =x6216， 所以 =6216， 所以 x=7000(元 )． 答這筆稿費(fèi)是 7000元． 練習(xí)八 44 1．按下列三種方法，將 100 元存入銀行， 10 年后的本利和各是多少？ (設(shè) 1 年期、 3 年期、 5 年期的年利率分別為 ％， ％，％保持不變 ) (1)定期 1 年，每存滿 1 年，將本利和自動(dòng)轉(zhuǎn)存下一年，共續(xù)存10 年； (2)先連續(xù)存三個(gè) 3 年期， 9 年后將本利和轉(zhuǎn)存 1 年期，合計(jì)共存10 年； (3)連續(xù)存二個(gè) 5年期． 2．李光購(gòu)買了 25000 元某公司 5 年期的債券， 5年后得到本利和為 40000元，問這種債券的年利率是多少？ 3．王芳取得一筆稿費(fèi)，繳納個(gè)人所得稅后，得 到 2580 元，問這筆稿費(fèi)是多少元？ 4．把本金 5000元存入銀行，年利率為 ，幾年后本利和為6566 元 (單利法 )？ 第六章 中外著名數(shù)學(xué)家 45 韋達(dá)（ 15401603），法國(guó)數(shù)學(xué)家。 年青時(shí)學(xué)習(xí)法律當(dāng)過律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過議會(huì)議員，在西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根的多種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，韋達(dá)在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。 1579年，韋達(dá)出版《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》 帕斯卡（ 1623── 1662 年）是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家． 16 歲的時(shí)候就發(fā)現(xiàn)了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內(nèi)接六邊形的三組對(duì)邊 的交點(diǎn)共線”，對(duì)射影幾何學(xué)作出了重要貢獻(xiàn)． 19 歲時(shí)，發(fā)明了一種能做加法和減法運(yùn)算的計(jì)算器，這是世界上第一臺(tái)機(jī)械式的計(jì)算機(jī)．他對(duì)連續(xù)不可分量、微分三角形、面積和重心等問題的深入研究，對(duì)微積分學(xué)的建立起到了積極的作用．帕斯卡對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是創(chuàng)立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問題，帕斯卡廣泛應(yīng)用了算術(shù)三角形（即二項(xiàng)式定理系數(shù)表，西方稱帕斯卡三角，我國(guó)稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項(xiàng)展開式的系數(shù)規(guī)律以及這個(gè)三角形的構(gòu)造及其許多有趣的性質(zhì)。帕斯卡在物理學(xué)方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想錄 》和《致鄉(xiāng)人書》對(duì)法國(guó)散文的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。 在數(shù)學(xué)史上，很難再找到如此年輕而如此有創(chuàng)見的數(shù)學(xué)家。他就是出生在法國(guó)的伽羅華（ 1811—— 1832） 伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時(shí)就寫了一篇關(guān)于《五次方程代數(shù)解法》這個(gè)世界數(shù)學(xué)難題的論文，最先提出了近代數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念 46—— “群”?？墒沁@篇論文被法國(guó)科學(xué)院一位目空一切的數(shù)學(xué)家丟失了。次年，他又寫了幾篇數(shù)學(xué)論文送交法國(guó)科學(xué)院，不料主審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過兩年，他被近把自己的研究再次寫成簡(jiǎn)述，寄往法國(guó)科學(xué)， 他去信尖銳地提醒權(quán)威們：“第一，不要因?yàn)槲医匈ち_化，第二，不要因?yàn)槲沂谴髮W(xué)生，”而“預(yù)先決定我對(duì)這個(gè)問題無能為力?！痹谶@封咄咄逼人的書信面前，有兩位數(shù)學(xué)家不得不宣讀了他的研究簡(jiǎn)述，但隨即又以“完全不能理解”予以否定，其實(shí)，他們并沒有讀懂伽羅華的論文。 伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對(duì)守在旁邊的弟弟說：“不要忘了我，因?yàn)槊\(yùn)不讓我活到祖國(guó)知道我的名字的時(shí)候?！痹跊Q斗前夜，他給友人寫了著名的“科學(xué)遺囑”，其中充滿自信地說：“我一行中不只一次敢于提出我沒有把握的命題，我期待著將來總會(huì)有人認(rèn)識(shí)到：解開 這個(gè)謎對(duì)雅可比和高斯是有好處的。” 他的預(yù)