【導讀】MATLAB是MATrixLABoratory的縮寫，它是MathWorks公司研制開發(fā)的，功能強大的科學。MATLAB是一個交互式的、以矩陣計算為基礎(chǔ)的數(shù)值計算軟件，將數(shù)值計算、可視化圖形處理和編程設(shè)計等功能集成在一個非常便于使用的環(huán)境中。MATLAB不但具有以矩陣。MATLAB語言有不同于其他高級語言的特點，它被稱為第四代計算機語言。主要特點有以下幾點。序猶如在演算紙上排列出公式與求解問題。由于編寫簡單，所以編程效率高，易學易懂。連接和運行的全過程。語言及語意錯誤，從而加快了用戶編寫、修改和調(diào)試程序的速度。數(shù)，以便提高MATLAB使用效率和擴充其功能。行混合編程，在該文件中調(diào)用有關(guān)的FORTRAN、C語言子程序。表示與下一行同屬一條語句）。MATLAB有結(jié)構(gòu)化的分支語句和循環(huán)語句，能編寫出較為復雜的用。MATLAB語言中最基本、最重要的成分是函數(shù)，其一般調(diào)用形式為：。這不僅使MATLAB的庫函數(shù)功能更豐富，而且使得MATLAB編寫的M文。的設(shè)計是通用的編程語言所不及的。始]→[程序]→[MATLAB]→進入系統(tǒng)環(huán)境界面窗口。項的主要內(nèi)容介紹如表所示。

　　

【正文】 p1=1 4 3 2 2． 特征多項式輸入法 函數(shù) poly(A)可以將矩陣 A轉(zhuǎn)換成 A的 特征多項式（ |xEA|=0）的系數(shù)。 【 例 】 創(chuàng)建矩陣???????????087654321A 的特征多項式 Y。 A=[1 2 3。4 5 6。7 8 0] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 0 p=poly(A) p = Y=poly2sym(p) Y =x^6*x^272*x27 3． 由根矢量創(chuàng)建多項式 函數(shù) poly(r)可以通過根矢量 r 求得原多項式 (p[x]=0）的系數(shù)。 說明 ： (1) 如果想創(chuàng)建實系數(shù)多項式，根矢量中的復數(shù)必須共軛成對。 (2) 由復數(shù)根矢量創(chuàng)建的實系數(shù)多項式中 有可能 帶有很小的虛部，此時用函數(shù) real 可以濾掉虛部。 【 例 】 創(chuàng)建根為 ][ iir ?????? 的實系數(shù)多項式 y。 r=[ +.4i ] r = + p=poly(r) p = p1=real(p) 數(shù)學建模實驗教材 20 p1 = y=poly2sym(p1) y =x^3+11/10*x^2+11/20*x+1/8 4． 提取一個符號多項式的系數(shù) (sym2poly) 函數(shù) sym2poly(y)可以提取符號多項式 y 的系數(shù)。 【 例 】 syms y x %定義符號變量 x,y y=x^3+11/10*x^2+11/20*x+1/8 %創(chuàng)建符號多項式 y y =x^3+11/10*x^2+11/20*x+1/8 p=sym2poly(y) p = 5． 多項式的加減和數(shù)乘運算 【 例 】 已知兩個多項式 2435 2341 ????? xxxxy 和 352 232 ???? xxxy ， 計算 21 yyy ?? 和 213 yyy ?? 的多項式系數(shù)。 p1=[1 5 3 4 2] p1 = 1 5 3 4 2 p2=[1 2 5 3] p2 = 1 2 5 3 y1=poly2sym(p1) y1 =x^45*x^3+3*x^24*x+2 y2=poly2sym(p2) y2 =x^3+2*x^25*x+3 y=2*y1+*y2 y = 2*x^417/2*x^3+9*x^231/2*x+17/2 p=sym2poly(y) p = y3=y1*y2 y3 =(x^45*x^3+3*x^24*x+2)*(x^3+2*x^25*x+3) p3=sym2poly(y3) p3 = 1 3 12 30 36 33 22 6 expand(y3) %將 y3 中的括號展開 ans =x^73*x^612*x^5+30*x^436*x^3+33*x^222*x+6 通過多項式的系數(shù) p 進行多項式運算 1． 求多項式的值 (1) y=polyval(p,x) 表示求系數(shù) p 所對應的多項式在點 x處的值，其中 x可以是向量； (2) y=polyvalm(p,x) 表示求系數(shù) p 所對應的多項式在點 x處的值，其中 x為方陣； 【 例 】 求多項式 3x^2+2x+1 在 7 和 9 處的值 y。 p=[3 2 1] p = 3 2 1 x=[5 7 9] MATLAB 程序設(shè)計與優(yōu)化函數(shù)的應用 _講稿 21 x = 5 7 9 y=polyval(p,x) y = 86 162 262 【 例 】 求多項式 3x^2+2x+1 在矩陣 ?????? 97 52及標量 5 處的值。 p=[3 2 1] p = 3 2 1 x=[2 5。7 9] x = 2 5 7 9 y=polyvalm(p,x) %y=3x^2+2x+1E y= 122 175 245 367 y1=polyvalm(p,5) y1 = 86 2． 求多項式的根 (1) 根據(jù)多項式系數(shù) p 通過函數(shù) roots 求出該多項式的根； (2) 根據(jù)多項式系數(shù) p 通過函數(shù) pan 求出該多項式的伴隨矩陣 S， 再由函數(shù) eig求出 S 的特征根此即為該多項式系數(shù) p 所對應的多項式的根。 【 例 】分別用兩種方法求多項式 y=x^55x^4+3x^36x^2+4x10 的根。 p=[1 5 3 6 4 10] p =1 5 3 6 4 10 r1=roots(p) r1 = + + 方法二 S=pan(p) S = 5 3 6 4 10 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 r2=eig(S) r2 = + + 從運行結(jié)果 可以看出 ， 用兩種方法求出的根是相同的。 3． 多項式的乘除運算 (1) 多項式的乘法由函數(shù) conv(p1,p2)實現(xiàn)，其中， conv 是矢量的卷積函數(shù)。 (2) 多項式的除法由函數(shù) deconv(p1,p2)實現(xiàn)，其中，函數(shù) deconv 是 conv 的逆運算。 【 例 】 已知兩個多項式 y1=x^45x^3+3x^24x+2 和 y2=x^3+2x^25x+3 計算 y1y2的多項式系數(shù)，并用除法進行驗證。 p1=[1 5 3 4 2] p1 =1 5 3 4 2 p2=[1 2 5 3] p2 = 1 2 5 3 p=conv(p1,p2) p = 1 3 12 30 36 33 22 6 p3=deconv(p,p2) p3 = 1 5 3 4 2 p4=deconv(p,p1) 數(shù)學建模實驗教材 22 p4 = 1 2 5 3 y=poly2sym(p) y =x^73*x^612*x^5+30*x^436*x^3+33*x^222*x+6 y1=poly2sym(p1) y1 =x^45*x^3+3*x^24*x+2 y2=poly2sym(p2) y2 =x^3+2*x^25*x+3 4． 多項式的微積分運算 多項式 p 的微分運算函數(shù)為 polyder(p), 多項式 p 的積分運算函數(shù)為 polyint(p)表示從 0 到 x 的定 積分運算。 【 例 】分別計算兩個多項式 x^45x^3+3x^24x+2 和 x^3+2x^25x+3 的微分和積分。 p1=[1 5 3 4 2] p1 =1 5 3 4 2 p2=[1 2 5 3] p2 = 1 2 5 3 p11=polyder(p1) p11 = 4 15 6 4 p12=polyint(p1) p12= 0 p21=polyder(p2) p21 = 3 4 5 p22=polyint(p2) p22 = 0 5． 數(shù)組的多項式擬合 多項式擬合函數(shù)為 p=polyfit(x,y,n)返回 n階擬合多項式系數(shù) p，即用 p(x(i))擬合 y(i)， i=1,2,…,m 。 【 例 】 求誤差函數(shù)： ? ? ? ?? x t dtexer f 0 22? 在 x=[0,…,] 處的 6 階擬合多項式。 x=(0:.1:)39。 y=erf(x)。 p=polyfit(x,y,6) p= x=(0:.1:5)39。 y=erf(x)。 f=polyval(p,x)。 plot(x,y,39。o39。,x,f,39。39。) axis([0 5 0 2]) 運行結(jié)果如圖 所示。 MATLAB 程序設(shè)計與優(yōu)化函數(shù)的應用 _講稿 23 線性代數(shù) 部分 在高等代數(shù)中一個很重要的內(nèi)容就是對線性方程組求解。本節(jié)將講述 Matlab 對恰定方程組、超定方程組、欠定方程組和病態(tài)方程組的求解。 恰定方程組的求解 對于方程組 Ax=B，如果 A為 滿秩的 方陣，則稱該方程為恰定方程。解恰定方程可用方陣求逆x=inv(A)*B 或矩陣除法 x=A\B 來實現(xiàn)。 【 例 】 求恰定方程 Ax=B 的解。其中???????????????????????????????????7351,5433210111124321BA （ 1）用方陣求逆法求解： A=[1,2,3,4。2,1,1,1。1,0,1,2。3,3,4,5]。 B=[1,5,3,7]39。 x=inv(A)*B x = （ 2）用矩陣除法求解： A=[1,2,3,4。2,1,1,1。1,0,1,2。3,3,4,5]。 B=[1,5,3,7]39。 x=A\B x = 【 例 】在命令行窗口產(chǎn)生 0 到 14 之間 整數(shù) 的 3 階隨機方陣 a 和 b，計算 a\b： a=fix(15*rand(3,3)) a = 13 6 6 11 14 13 2 13 0 b=fix(15*rand(3,3)) b = 5 2 9 12 3 4 0 2 2 x=a\b x = 解超定方程組 線性方程 Ax=B。其中， A為 nm 矩陣， B 為 n1 的向量。超定方程是指方程的個數(shù) n多于自變量的個數(shù) m 的方程組。方程的解除了可用除法運算 x=A\B 以外，還可以用偽逆來求解：x=pinv(A)*B，所求的解并不 一定 滿足 Ax=B， x只是最小二乘意義 （ |AxB|最?。?的解。 數(shù)學建模實驗教材 24 【 例 】 已知 ???????????????????????????6423,428754216543BA ，求解超定方程組 Ax=B。 （方法一）用除法求解： A=[3 4 5。6 1 2。4 5 7。8 2 4]。 B=[3 2 4 6]39。 x=A\B x = （方法二）用偽逆求解 A=[3 4 5。6 1 2。4 5 7。8 2 4]。 B=[3 2 4 6]39。 x=pinv(A)*B x = A*x ans = 從 以上 運算結(jié)果可以看出 A*x的 值 顯然 不等于 B。 說明 ：當矩陣 A為可逆的方陣時， pinv(A)、 inv(A)和 A^(1)等價。 欠定方程組的求解 如果方程組 Ax=B 中 未知數(shù)的個數(shù)比方程的個數(shù)多，則稱該方程組為欠定方程組。欠定方程組的解不唯一， MATLAB 會計算一組構(gòu)成通解的基解。欠定方程組有兩種算法，即最少元素解 A\B和最小范數(shù)解 pinv(A)*B。 【 例 】 使用兩種算法求解欠定方程組 ax=b；其中， ?????????????? ?? 610,111 111 ba