【導(dǎo)讀】的傳染病模型，由于隔離和接種是行之有效的控制傳染病蔓延的極為重要的措施，本文主要討論的是帶有隔離。的SIQS傳染病模型。首先根據(jù)易感人群，染病人群和已經(jīng)染病并且被隔離的人群。接著對(duì)所建立的模型中的偏微分方程組。轉(zhuǎn)化成方差方程組，然后求出該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，根據(jù)平衡點(diǎn)得到雅可比矩陣。根據(jù)得到的雅可比矩陣依據(jù)定理和推論說(shuō)明平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。的復(fù)蘇，均構(gòu)成了對(duì)人類健康的巨大威脅。計(jì)民生的重大問(wèn)題，對(duì)疾病流行規(guī)律的定量研究是防制工作的重要依據(jù)。

　　

【正文】 nS ， nI ， nQ 在 nN 所占比例的差分方程模型。 令模型中 nS 表示易感人群 在總?cè)巳褐械谋壤?nI 為已經(jīng)感染的人群在總?cè)巳旱谋壤?nQ為已經(jīng)染病并且被隔離的人群在總?cè)巳褐械谋壤? 則模型變換為 ? ?? ?111n n n n n n nn n n n nn n n nS b d S S I I Q SI S I d I IQ I d Q Q? ? ?? ? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 又因?yàn)? 1 n n nS I Q? ? ? 則 1n n nQ S I? ? ? 代 入 原模型變換為 ? ?? ?111n n n n n n n nn n n n nS b d S S I I S I SI S I d I I? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ??? 所以該模型的平衡點(diǎn)是 1 ,0bX d ??? ?????????和 ? ? ? ? ? ?? ?2 ,b d ddX d? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ??? 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 2020 屆 本科生 畢業(yè)論文 21 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 則對(duì)于 ? ?2 ,X S I? ? ?? 的雅可比矩陣是 ? ?1 1d I SJ I S d? ? ? ? ?? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ??? 則 ? ? ? ? ? ? ? ?d e t 1 1J d I S d S I? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 將 ? ? ? ? ? ?? ?2 ,b d ddX d? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?代 入 ? ?11Sd? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 01S? ? ? ?? ? ? ? ? 則 det 0J? 20trJ d I???? ? ? ? ? 1 det 2trJ J? ? ? 根據(jù)定理假設(shè) ? ? ? ?, , 0g n y o y y??。如果線性系統(tǒng)的零解是一致漸近穩(wěn)定的，那么非線性系統(tǒng)的零解是成指數(shù)穩(wěn)定的。則我們就可 以稱平衡點(diǎn) 2X? 是漸近穩(wěn)定的。 則根據(jù)平衡點(diǎn)1 ,0bX d ??? ?????????的雅可比矩陣。 ? ?101bddJb dd?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??????? ? ? ? ???? 則 J 的特征值為 1 1 d??? ? ? 和 ? ?2 1b dd ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? 因?yàn)槲覀冎绤?shù)都是大于零小于一的。 則 1 1?? 當(dāng) b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí) 2 1?? 則根據(jù)定理如果 ? ? 1A? ? ? ? ? ?,0g x o x x??則方程的零解不是穩(wěn)定的。 當(dāng) b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí) 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 2020 屆 本科生 畢業(yè)論文 22 2 1?? 則根據(jù)定理如果 ? ? 1A? ? ，系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的。 當(dāng) b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí) 2 1?? 則系統(tǒng)不確定是否穩(wěn)定。 所以在平衡點(diǎn) 2X? 是漸近穩(wěn)定的。 而平衡點(diǎn) 1X? ，在 b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí) 是不 穩(wěn)定的 ，在 b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí)是漸近穩(wěn)定的 。在 b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí) 不能確定它是否穩(wěn)定。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 2020 屆 本科生 畢業(yè)論文 23 結(jié) 論 按照傳染病傳播的一般規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的方法研究這個(gè)模型，進(jìn)而提出有效的預(yù)防傳染病蔓延的手段是當(dāng)今傳染病研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文主要對(duì)一個(gè)模型進(jìn)行了定性分析。 模型為 ? ?? ?S b N d S S I I QI S I d IQ I d Q? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 通過(guò)對(duì)這個(gè)帶有隔離項(xiàng)的模型研究，本文證明了模型的平衡點(diǎn)的存在性和它的漸近穩(wěn)定性。 當(dāng)然對(duì)于傳染病值得研究的內(nèi)容還很多。本文僅僅考慮了一類簡(jiǎn)單的傳染病模型。在實(shí)際生活中，影響傳染病傳播的因素很多，比如不同 形式的傳染率，多個(gè)區(qū)域同時(shí)傳播等等，因而傳染病模型的研究具有很重要的現(xiàn)實(shí)意義，因?yàn)閭魅静∨c人類的生存息息相關(guān)，所以傳染病的研究前景和意義都是不可估量的，本人還需要更多的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)的技巧，以便能夠綜合運(yùn)用傳染病動(dòng)力學(xué)知識(shí)，更好地來(lái)研究更多更復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 2020 屆 本科生 畢業(yè)論文 24 參考文獻(xiàn) [1]Hethcote H W. The mathematics of infectious disease [J].SIAM 。42:599653 [2]Feng Z,Thieme H outbreaks of childhood disease impact of isolation[J].Math Biosci,1995。128:93130 [3]Wu L I,Feng bifurcation in an SIQR model for childhood disease[J].J Differential Equations,2020。168:150167 [4]Feng Z,Thieme H R. Endemic models with arbitrarily distributed periods of infection. Ⅰ :General theory [J].SIAM J Appl Math,2020。61:803833 [5]劉輝，李海。 Maple 符號(hào)處理及應(yīng)用 [M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社， 2020 [6]馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)地，靳禎．傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究 [M]．北京：科學(xué)出版社， [7]馬知恩種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究 [M]合肥 ,安徽教育出版社， 1996 [8]余賀，龍振洲．醫(yī)學(xué)微生物學(xué) [M]．北京：人民衛(wèi)生出版社， 1985； 106108 [9]Allen L J S, Jones M A, Martin C discretetime model with vaccination for a measles epidemic [J]. Mathematical Biosciences,1991,105:111131 [10] Allen L J S. Thrasher D B. The effects of vaccination in an agedependent model for varicella and herpes zoster [J]. IEEE Transactions on Automatic Control,:779789 [11]陳蘭蓀，陳鍵。非線性生物動(dòng)力系統(tǒng) [M].北京：科學(xué)出版社， 1993 [12]Gao Shujing ,Chen Lansun. Dynamic plexities in a singlespecies discrete population model with stage structure and birth pulses [J].Chaos Solitons＆ .Ftactals,2020,23:519527 [13] Gao Shujing ,Chen Lansun. Dynamic plexities in a singlespecies discrete population model with stage structure and birth pulses [J].Chaos Solitons＆ .Ftactals,2020,24:10131023 [14]李建全，馬知恩。一類帶有接種的流行病模型的全局的穩(wěn)定性 [J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2020， 26A（ 1）： 2130 [15]Lu Zhonghua , Chi Xuebin , Chen Lansu. The effect of constant and pulse vaccination on SIR epidemic model [J]. Mathematical and Computer Modeling,2020,31:207215 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 2020 屆 本科生 畢業(yè)論文 25 致 謝 在本文即將成文之際，我要由衷地感謝在我畢 業(yè)論文階段，幫助和支持過(guò)我的老師和同學(xué)！ 首先衷心地感謝我的導(dǎo)師呂曉靜副教授！在這十幾周里，呂老師一直對(duì)我悉心指導(dǎo)，在學(xué)習(xí)和科研方面給了我大量的輔導(dǎo) ， 文中的每一步都傾注著 呂 老師無(wú)微不至的關(guān)懷、教導(dǎo)和鼓勵(lì) .經(jīng)過(guò)這一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，我不僅學(xué)到了知識(shí)，掌握了研究此類問(wèn)題的方法，也獲得了實(shí)踐鍛煉的機(jī)會(huì)，這為我以后的學(xué)習(xí)生涯提供了寶貴的經(jīng)驗(yàn)。 此外，我要感謝與我一起生活和學(xué)習(xí)的各位同學(xué)，成文期間許多同學(xué)為我的論文提供了寶貴的建議。 最后，衷心地感謝在百忙之中抽出時(shí)間審閱本論文的各位專家教授。