【導(dǎo)讀】1逾滲是統(tǒng)計(jì)物理中的基礎(chǔ)理論，在廣泛的體系中得到應(yīng)用。然而，除了極少的。規(guī)則點(diǎn)陣，大多數(shù)結(jié)構(gòu)的逾滲閾值都是依賴計(jì)算機(jī)模擬獲得的。滲研究尤其薄弱。近年來，提出了計(jì)算機(jī)模擬新算法，并應(yīng)用于正方形。擬多晶材料等無序不規(guī)則胞狀結(jié)構(gòu)；該模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)完整易用。研究RCP-LV模型的基本問題。探討提高Pc精度的方法。津大報(bào)，2020，36:1—2.需的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，完成查找和連接等算法模塊，對逾滲現(xiàn)象作模擬研究。驗(yàn)，由于還沒有相關(guān)的報(bào)道，這使得這次試驗(yàn)更有意義。值，平均集團(tuán)大小，以及各種應(yīng)用?；趜iff的算法本試驗(yàn)給出了適于LV模型。在PC上完成整個(gè)模擬試驗(yàn)。并在最后分析了不同占據(jù)概率下最大集團(tuán)在

　　

【正文】 法的復(fù)雜度就較高，相應(yīng)的對于工程計(jì)算來說，成本太高，不但不利于計(jì)算，也天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 23 不利于以后程序的優(yōu)化。該實(shí)驗(yàn)中所有的數(shù)據(jù)計(jì)算都是在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的機(jī)器上完成，該機(jī)器的配置是 CPU:P4 ,內(nèi)存是 1G。所需具體時(shí)間由一下兩個(gè)表給出： 表 3－ 3 2D 逾滲模型計(jì)算時(shí)間 N Elapsed time（ s） 1024 +003 2048 +003 4096 +003 8192 +004 16384 +004 表 3－ 4 3D 逾滲模型計(jì)算時(shí)間 N Elapsed time（ s） 1024 +003 2048 +003 4096 +003 8192 +004 16384 +004 以上各個(gè)規(guī)模下的逾滲值數(shù)據(jù) 都是在每個(gè)規(guī)模下進(jìn)行了一萬次逾滲值的計(jì)算， 所用時(shí)間 在表 3－ 3 和 3－ 4 中記錄下來。當(dāng)然這和機(jī)器的配置有很大的關(guān)系，在用酷睿 2 的處 理器以及 2G內(nèi)存的機(jī)器上進(jìn)行同樣地試驗(yàn)大約可以節(jié)約一半的時(shí)間。 圖 3－ 7 2D 逾滲值計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 24 圖 3－ 8 3D 逾滲值計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度 圖 3－ 7 和 3－ 8 分別是 2D 和 3D 下的時(shí)間復(fù)雜度的圖形，其中橫坐標(biāo)是所用 lv 模型的的規(guī)模，即系統(tǒng)共包含多少個(gè)胞，縱坐標(biāo)表示所用時(shí)間，從圖中可以看出 2D 模型在時(shí)間上隨著規(guī)模變成二倍所用時(shí)間也變成了二倍，基本上呈線性關(guān)系，所以本文可以計(jì)算較大規(guī)模的逾滲值而不用擔(dān)心因規(guī)模的增大而時(shí)間呈現(xiàn)幾何級增長。在 3D 的時(shí)間復(fù)雜度的圖中，發(fā)現(xiàn)所用時(shí)間上也是線性關(guān)系，并且系數(shù)是 ，這說明隨著規(guī)模的增大，時(shí)間上增加的很少，這給本文在計(jì)算大規(guī)模的 LV 圖逾滲值時(shí)帶來很大的便利。 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 25 第 四 章 非正則下逾滲值的估算 微正則與正則規(guī)則的解釋 本文所要測量的逾滲值是在每個(gè)座以概率為 p 被占據(jù)時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)，即當(dāng)座以 pc 被占據(jù)時(shí)恰好形成逾滲通路，而當(dāng)座的占據(jù)概率小于 pc 時(shí)不形成逾滲通路。在第四章開始部分僅僅是讓座一個(gè)一個(gè)的占據(jù)直到形成逾滲通路時(shí)記錄下共有多少個(gè)座被占據(jù)，并用這些座的總數(shù)除以系統(tǒng)的總的座數(shù)，記錄下來以此來作為系統(tǒng)的逾滲值。這實(shí)際上并不能代表系統(tǒng)的逾滲值， 因?yàn)樵囼?yàn)需要的每個(gè)座都以pc 概率占據(jù)時(shí)形成逾滲集團(tuán)才認(rèn)為此時(shí)的 pc 才是逾滲值，而本文的做法是否有失偏頗呢？事實(shí)并非如此，本文做的正是在求微正則下的逾滲值，當(dāng)系統(tǒng)足夠大時(shí)可以認(rèn)為二者相等，但實(shí)驗(yàn)中是用有限的集團(tuán)大小來推算無窮大小的系統(tǒng)逾滲值，如果僅僅是通過不停的使用更大規(guī)模的系統(tǒng)來仿真，那不僅僅是浪費(fèi)資源，而且是毫無意義的。如果還沒能理解其中的區(qū)別，給出一個(gè)簡單的例子，比如系統(tǒng)僅有四個(gè)座，每個(gè)座以 的概率被占據(jù)，最后占據(jù)的個(gè)數(shù)未必是 2，而是 0到 4 的任意數(shù)值，只是被占據(jù)的座數(shù)是 2 的概率較大而已。為了解決這個(gè) 問題，引入微正則與正則的概念，這樣可以將這個(gè)問題很好的解決。 方法是用在感興趣的范圍內(nèi)用占據(jù)的座或者鍵數(shù) n來測量感興趣的量 Q。 Ziff將用精確的占據(jù)的座的狀態(tài)整體稱為 ―微規(guī)則的逾滲整體（ microcanonical percolation ensemble） ‖[13]。數(shù)量 n扮演著熱統(tǒng)計(jì)物理中能量的角色。通常的情況下是用占據(jù)概率 P來描述的稱為規(guī)則整體（ canonical ensemble）。以座逾滲為例，格子上 n個(gè)座精確作為一個(gè)規(guī)則整體，用二項(xiàng)分布給出 ()( , , ) (1 )n N nNB N n p p pn ????????? （ 41） 因此如果本文在所有的 n值下能測出所求各值，給出一個(gè)測量值 Qn的數(shù)集，在規(guī)則整體下的值由下式給出 00( ) ( , , ) ( 1 )n N nnnnnNQ p B N n p Q p p Qn ?????? ? ??????? （ 42） 因此本文只需要在所有的 n值下測量 Qn，一共有 N+1個(gè)值，以便來求得所有 P值下的 Q（ p） 。關(guān)于該式的具體使用，本文將在后面章節(jié)中給出。 4． 2 Rl(p)和 Rl(n)的定義 Rl（ p） 定義如下 ，對于座的占據(jù)概率為 p的晶格存在一個(gè)貫通整個(gè)系統(tǒng)的集團(tuán)。有許多集團(tuán)貫通發(fā)生的可能的方式，對于不同的 Rl有許多不同的定義。 （ 1） Rl（ h） （ p） 和 Rl（ v） （ p） 是分別指在集團(tuán)的水平和垂直方向上存在貫天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 26 通通路的概率。很明顯，對于正方形格子這兩個(gè)相等。 （ 2） Rl（ e） （ p） 是指在水平或者垂直方向或者兩個(gè)方向都存在貫通通路的概率。 （ 3） Rl（ b） （ p） 是指在水平和垂直方向都有貫通通路的概率。注意到這種情況在許多拓?fù)渖嫌泻芏鄥^(qū)別。其中有兩種，有十字形的構(gòu)造和螺旋形的構(gòu)造。 Rl（ b） （ p） 定義包括這兩 種以及其它可能的在兩個(gè)軸上可能的環(huán)繞方式。 （ 4） RL（ 1） （ p） 是指在某一特定的軸上而不是另一個(gè)軸上存在貫通集團(tuán)，同樣像 Rl（ h） （ p） 一樣，對于所研究的正方形系統(tǒng)，選擇哪個(gè)軸都一樣。 以上四個(gè)定義都是二維下的定義，當(dāng)然在三維空間下也會有這些定義，但三維的定義會更豐富些，不僅包含上述 Rl（ p） 的定義，還包括一個(gè) Rl（ p） 的定義方式，即 Rl（ 2） （ p） ，存在一個(gè)在特定的兩個(gè)方向上貫通而不在第三個(gè)軸向上發(fā)生貫通的概率 [13]。 而 Rl(n)定義為在 n個(gè)座被占據(jù)時(shí)存在一個(gè)貫通整個(gè)系統(tǒng)的概率，而這兩個(gè)的區(qū)別 正是正則與微正則之間的關(guān)系，在式（ 2）中， Rl（ n） 代替 Q（ n） 而 Rl（ p）代替 Q（ p） ,這樣本文就可以解決兩種規(guī)則之間的轉(zhuǎn)換，在這里本文具體來說明那個(gè)二項(xiàng)式的使用，這里的 p是自變量，取值從 0到 1，本試驗(yàn)中將 p從 0到 1每間隔，間隔越小做出的圖會越平滑，當(dāng)然用時(shí)也會成倍的增加。 本實(shí)驗(yàn)中，在 2D下本文分別紀(jì)錄了當(dāng) x方向第一次發(fā)生逾滲時(shí)的座的占據(jù)百分?jǐn)?shù)以及兩個(gè)方向都發(fā)生逾滲時(shí)的座占據(jù)概率。而在 3D下，本文記錄了在 x， y軸向上均發(fā)生逾滲時(shí)的座占據(jù)概率以及在三個(gè)方向上都發(fā)生逾滲的概率，以此來畫出 Rl（ n） 和 Rl（ p） 的圖形并進(jìn)一步計(jì)算正則下的逾滲值。 利用 Rl(p)計(jì)算精確 逾滲值（即 正則下 逾滲值） 首先 先 介紹 2D 下的計(jì)算過程，試驗(yàn)將記錄的 當(dāng) x 方向第一次發(fā)生逾滲時(shí)的座的占據(jù)百分?jǐn)?shù)以及兩個(gè)方向都發(fā)生逾滲時(shí)的座占據(jù)概率分別存入兩個(gè)數(shù)組中，這時(shí)可以畫出 Rl（ n） 的圖形并記錄下，在不同個(gè)座被占據(jù)時(shí)的 Rl（ n） 值，以便利用公式來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，畫出 Rl（ p） 的圖形，并以此來求出逾滲值。 Rl（ p）在 2D下有四種定義，本文選擇第四中方式來求逾滲值。事實(shí)上每種方式都可以用來求逾滲值，圖 4－ 1是 Ziff作出的四種 Rl（ p）圖形，其中虛線與圖形的交線就是正則下的逾滲值，由圖中可以看到一個(gè)有趣的現(xiàn)象，就是前三個(gè)圖都是單調(diào)遞增的，而只有第四幅圖是存在一個(gè)峰值，而這個(gè)值所對應(yīng)的橫坐標(biāo)正是本文所要求的正則下的逾滲值。前三幅圖的的虛線 Rl∞（ pc） 是由 Pinson計(jì)算給出 ,而這只是適用于正方形晶格下的仿真，本文采用第四種方式的優(yōu)點(diǎn)就是避開了這個(gè) Rl∞（ pc） ，因?yàn)樵诒疚乃玫?LV圖中沒有這樣一個(gè) Rl∞（ pc） 的精確值來與 Rl（ p） 的圖形相交來求出 pc值，事實(shí)上，這個(gè)精確值只是在正方形的晶格中天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 27 給出，因此 Martins等人在計(jì)算六 邊形的逾滲值時(shí)也都是采用了第四中 Rl(p)的定義方式。 如果本文僅僅進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)的話， Rl（ p） 的圖形因該是一個(gè)有兩個(gè)階梯的階梯函數(shù)，如圖 42所示： 圖 4－ 1 作出的 4 種 Rl（ p） 圖形 [8] 圖 4－ 2 一次試驗(yàn)的 Rl（ p） 圖形 在圖 4－ 3 中，本文給出了胞數(shù)是 1024 時(shí)的 Rl（ n） 的圖形，可以看到這時(shí)圖形還不夠光滑，不僅存在突出的部分而且在峰頂附近有個(gè)很高的點(diǎn)。 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 28 圖 4－ 3 胞數(shù)是 1024 下的 Rl（ n） 圖形 在圖 4－ 4中給出了 Rl（ p） 的圖形，可以看出經(jīng)過轉(zhuǎn)換之 后得到了一個(gè)更加平滑的圖形，利用該圖形的特性，峰值所對應(yīng)的橫坐標(biāo)就是該規(guī)模下的逾滲值，本文利用 matlab自帶的 max函數(shù)就可以找到對應(yīng)的最大值的橫坐標(biāo)的位置。經(jīng)計(jì)算這個(gè)規(guī)模下的逾滲值是 (5)。 需要指出的是，這種轉(zhuǎn)換并非是容易做到的，這里存在一個(gè)問題，看式（ 2）可知，在 p較小且 n較大時(shí)總有 pn或者 （ 1－ p） N－ n會非常非常小，以致于超過了matlab中的數(shù)值的極限，所有的編程軟件中取值都有一個(gè)范圍， matlab中當(dāng)數(shù)據(jù)溢出時(shí)，比如當(dāng)數(shù)非常小時(shí)， matlab認(rèn)為這個(gè)數(shù)是 0，而大于上限時(shí)則認(rèn)為這個(gè)數(shù)是空，這給本文的運(yùn)算帶來了麻煩。 本文采用的解決方式是將最大的 B（ N,n,p） 設(shè)為一個(gè)定值 1，而二項(xiàng)分布在 n＝ Np時(shí)取得最大值，所以，將此時(shí)的 B（ N,n,p） 設(shè)為 1，所以由不同 n下相互之間的關(guān)系可以得到， 圖 4－ 4 在胞數(shù)是 1024 下的 Rl（ p）圖形 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 29 m a xm a x1( , 1 , ) ,1( , , )11( , 1 , ) ,N n pB N n p n nnpB N n pnpB N n p n nN n p??? ??? ??? ? ??? ??? ?? （ 4－ 3） 所以此時(shí)所有的 B（ N,n,p） 都變成一個(gè)有限大小的數(shù)值，最后本文得到的 Rl（ p） 值實(shí)際上是一個(gè)相對的數(shù)值，應(yīng)該得到的是 Rl（ p） 除以 B（ N,nmax,p） 的數(shù) 值。本文對于 Rl（ p）的真實(shí)值并不關(guān)心，重要的是在整體都減小 B（ N,nmax,p）倍時(shí)并不影響圖形的形狀以及峰值的位置，本文始終關(guān)心的是峰值對應(yīng)的橫坐標(biāo)，這才是全文的核心所在。 在圖 4－ 5中本文給出了 2D下胞數(shù)分別為 1024， 2048， 4096， 8192， 16384下畫出的 Rl（ p） 圖形，隨著規(guī)模的增大，圖形變得越來越尖銳，本文推出在無窮多晶格系統(tǒng)下，應(yīng)該是個(gè)激勵(lì)函數(shù)，僅在逾滲值出有個(gè)激勵(lì)。 圖 4－ 5 不同規(guī)模下的 Rl(p)圖形 下面本文給出 3D 的 Rl（ p）圖形，二者很相似，但在原理上有一點(diǎn)區(qū)別 ：就是 2D 是 記錄的 當(dāng) x方向第一次發(fā)生逾滲時(shí)的座的占據(jù)百分?jǐn)?shù)以及兩個(gè)方向都發(fā)生逾滲時(shí)的座占據(jù)概率分別存入兩個(gè)數(shù)組中，并以此來畫出 Rl（ n） 和 Rl（ p）的圖形，而 3D 下是基于本文記錄了在 x， y 軸向上均發(fā)生逾滲時(shí)的座占據(jù)概率以及在三個(gè)方向上都發(fā)生逾滲的概率來畫出 Rl（ p） 的圖形。這事實(shí)上是兩種不同的定義 Rl 的方式?jīng)Q定的。 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 30 圖 4－ 6 3D 下不同規(guī)模的 Rl(p)圖形 有圖 4－ 6 中本文可以很清楚地看到，這個(gè)圖形與 2D 下相比較，有明顯的區(qū)別，不如 2D 下平滑，而且由于幾條曲線相交， 看的不 是很清楚，本文分別給出5 個(gè)不同 3D 規(guī)模下的 Rl（ p） 圖。 圖 4－ 7 3D1024 規(guī)模下的 Rl（ p） 圖 圖 4－ 8 3D2048 規(guī)模下的 Rl（ p）圖 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 31 圖 4－ 9 3D4096 規(guī)模下的 Rl（ p）圖 圖 4－ 10 3D8192 規(guī)模下的 Rl（ p）圖 圖 4－ 11 3D16384 規(guī)模下的 Rl（ p）圖 天津大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 32 從上述一系列圖（圖 4－ 7 到圖 4－ 11）中可以看到隨著規(guī)模的不斷增大，圖形變得更加的光滑， 3D 會發(fā)生幾個(gè)不同規(guī)模下 Rl（ p）圖形的相交，這在Martins[14]的文章中也有過同樣的情況發(fā)生，那 個(gè)是基于面心立方的圖形做出的Rl（ p）圖形，相比 LV 圖更加簡單一些。 如果本文要想得到更好的圖形，應(yīng)該適當(dāng)?shù)脑黾訄D形的規(guī)模，這是因?yàn)橄嗤?guī)模的 2D 和 3D 模型在某一方向上發(fā)生逾滲時(shí)， 3D 中被占據(jù)的座遠(yuǎn)小于 2D 中別占據(jù)的座數(shù)，這就使得 3D 的 Rl（ p）數(shù)組會有更大的方差，在圖形表現(xiàn)出更不平滑，像信號中的噪聲的影響。 使用 Rlh估算逾滲值 本文在上面講到可以用 Rlh，當(dāng)然這里需要一個(gè) Rlh∞ 估算逾滲值，這在正方形的模型下已經(jīng)由 Pinson[15]給出精確的計(jì)算公式，而在 PV圖或者 LV 圖中仍沒有精確結(jié)果，本 文也編出這種方法下的程序