20xx年中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克冬令營賽前培訓(xùn)測(cè)試題a解答(王建偉供題)-資料下載頁
2025-08-13 11:06本頁面
【導(dǎo)讀】中，a+c=3b,內(nèi)心為I，內(nèi)切圓在AB，BC邊上的切點(diǎn)分別。為D，E,設(shè)K是D關(guān)于點(diǎn)I的對(duì)稱點(diǎn)，L是E關(guān)于點(diǎn)I的對(duì)稱點(diǎn).的外接圓點(diǎn)P，易知P是AC的中點(diǎn)。設(shè)P在直線DI的射影為N. 時(shí)，可改寫為：????特別地，對(duì)任意0x?，能否把1到n的正整數(shù)擺在一個(gè)圓周上，使得我們沿著順時(shí)。針方向移動(dòng)時(shí)，每一個(gè)數(shù)都能按如下的法則由前一個(gè)數(shù)得到：或者把它加上17，或者加上28，如果必要的話，它可以減去n？假設(shè)存在合乎要求的擺法。將a按題述“運(yùn)算”變?yōu)閎，筒記為：ab?題中運(yùn)算是指取模n的最小正剩余。，則不可能有：1117kk????否則圓周出現(xiàn)重復(fù)的數(shù)，故必有；1128kk????時(shí)，對(duì)ab、，作同一種運(yùn)算。由于在任何12個(gè)相連放在圓周上的數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)模11同余，，由前所述易知所作運(yùn)算以s. 取一個(gè)周期，將所有s個(gè)加數(shù)相加的和記為m，則1728100sms???則經(jīng)nsm次運(yùn)算后，所得數(shù)與開始時(shí)的數(shù)相同，但nsm<n，矛盾！
【正文】 ? ? 否則圓周出現(xiàn)重復(fù)的數(shù)，故必有； 1 1 ( 1 1) 2 8kk? ? ? ? 進(jìn)而 1 1 ( 1 1 ) 2 8 , k i k i i N? ? ? ? ? ? 若 17ll?? ，類上知必有 1 1 ( 1 1 ) 1 7 , l i l i i N? ? ? ? ? ? 這表明：當(dāng) ? ?mod11ab? 時(shí)，對(duì) ab、 ，作同一種運(yùn)算。 由于在任何 12 個(gè)相連放在圓周上的數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)模 11 同余， 設(shè) ? ?mod11ab? ，從 a 到 b 作了 s 次運(yùn)算 ? ?1 11s?? ，由前所述易知所作運(yùn)算以 s為周期 取一個(gè)周期，將所有 s 個(gè)加數(shù)相加 的和 記為 m ，則 17 28 100s m s? ? ? 故 m ︱ n 則經(jīng) nsm 次運(yùn)算后，所得數(shù)與開始時(shí)的數(shù)相同，但 nsm n ，矛盾！
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