【正文】 ∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的運用，主要考核了學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)．解題時注意：問題（2）也可以運用三角形外角性質(zhì)來解決．已知直線AB∥CD．（1）如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關(guān)系是　 ?。?）如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）如圖3，點E在直線BD的右側(cè)，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，請直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關(guān)系　 ?。敬鸢浮浚?）∠ABE+∠CDE=∠BED．（2）∠BFD=∠BED．理由見解析；（3）2∠BFD+∠BED=360176。．【解析】試題分析：（1）點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)易證得∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，則可得∠ABE+∠CDE=∠BED；（2）∠BFD=∠BED，已知BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，所以∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE），由（1）的結(jié)論可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），∠BED=∠ABE+∠CDE，所以∠BFD=∠BED；（3過點E作EG∥CD，根據(jù)平行公理可得AB∥CD∥EG，根據(jù)平行線的性質(zhì)易證∠ABE+∠CDE+∠BED=360176。，再由（1）的方法可得∠BFD=∠ABF+∠CDF；已知BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，所以∠BFD=（∠ABE+∠CDE），即2∠BFD+∠BED=360176。．試題解析：（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．理由：如圖1，作EF∥AB，∵直線AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，即∠ABE+∠CDE=∠BED．故答案為∠ABE+∠CDE=∠BED．（2）∠BFD=∠BED．理由：如圖2，∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE），由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠BFD=∠BED．（3）2∠BFD+∠BED=360176。．理由：如圖3，過點E作EG∥CD，∵AB∥CD，EG∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠ABE+∠BEG=180176。，∠CDE+∠DEG=180176。，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360176。，由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，又∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠BFD=（∠ABE+∠CDE），∴2∠BFD+∠BED=360176。．故答案為2∠BFD+∠BED=360176。．點睛：本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130176。，∠PCD=120176。，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為______度；(2)問題遷移：如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB=α，∠PCD=β，當(dāng)點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(3)在(2)的條件下，如果點P在B、D兩點外側(cè)運動時(點P與點O、B、D三點不重合)，請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）110176。．（2）∠APC=∠α+∠β，（3）當(dāng)P在BD延長線上時，∠CPA=∠α﹣∠β；當(dāng)P在DB延長線上時，∠CPA=∠β﹣∠α．【解析】【分析】（1）過點P作PE∥AB，則有PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到∠A+∠APE=180176。，∠C+∠CPE=180176。，再根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE和已知∠APE和∠CPE度數(shù)即可求出∠APC的角度。（2）過P作PE∥AB交AC于E，則有AB∥PE∥CD，進(jìn)而得到∠α=∠APE，∠β=∠CPE，再根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE，即可用α、β來表示∠APC的度數(shù)；（3）根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)P在BD延長線上時，P作PE∥AB交AC于E，則有AB∥PE∥CD，可得到∠CPA=∠β﹣∠α，當(dāng)如圖所示，當(dāng)P在DB延長線上時，P作PE∥AB交AC于E，則有AB∥PE∥CD，可得到∠CPA=∠β﹣∠α；【詳解】（1）解：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180176。，∠C+∠CPE=180176。，∵∠PAB=130176。，∠PCD=120176。，∴∠APE=50176。，∠CPE=60176。，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110176。．（2）∠APC=∠α+∠β，理由：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如圖所示，當(dāng)P在BD延長線上時，∠CPA=∠α﹣∠β；如圖所示，當(dāng)P在DB延長線上時，∠CPA=∠β﹣∠α．如圖1，點是直線、之間的一點，連接、.（1）探究猜想：①若，則 .②若，則 .③猜想圖1中、的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）拓展應(yīng)用：如圖2，線段把這個封閉區(qū)域分為I、II兩部分（不含邊界），點是位于這兩個區(qū)域內(nèi)的任意一點，請直接寫出、的關(guān)系. 【答案】（1）①70176。，② 65176。 ，③∠AEC=+；（2）如果點E在I區(qū)域內(nèi)++=360176。，如果點E在II區(qū)域內(nèi)，=+；【解析】【分析】（1）①過點E作EF∥AB，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②③根據(jù)①的過程可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】如圖所示，①過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠EAB=20176。，∠ECD=50176。，∴∠AEF=∠EAB=20176。，∠CEF=∠ECD=50176。，∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=70176。；②過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠EAB=25176。，∠ECD=40176。，∴∠AEF=∠EAB=25176。，∠CEF=∠ECD=40176。，∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=65176。；③過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠AEF=∠EAB，∠CEF=∠ECD，∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=+；（2）如果點E在I區(qū)域內(nèi)++=360176。，如果點E在II區(qū)域內(nèi)，=+；【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．