【正文】 己的夢(mèng)想，夢(mèng)想實(shí)現(xiàn)的方式有很多種。當(dāng)你把一代又一代孩子帶出貧窮，當(dāng)你把瑤寨的貧窮變成了瑤寨的富裕，這不也是間接是實(shí)現(xiàn)了你的夢(mèng)想嗎？一個(gè)人就像一滴水，無論再怎么光彩艷麗，也不能點(diǎn)亮夜的黑，但是，當(dāng)著一滴水融入了大海，并用自己的力量讓大海也充滿光，那么世界也將為之而變亮。舍小我，這需要放棄，這需要勇氣，這需要無與倫比的胸懷。共圓夢(mèng)，這是共樂，這是無私，這是崇高的人性所散發(fā)的光茫?！窘馕觥吭囶}分析：略（1）同題情境：如圖1,AB∥CD，∠PAB＝130176。，∠PCD＝120176。.求∠APC的度數(shù).小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作PE∥AB，∴∠APE＋∠PAB＝180176。.∴∠APE＝180176。－∠PAB＝180176。－130176。＝50176。.∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答.（2）問題遷移：請(qǐng)你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠MDP＝∠α，∠BCP＝∠β.①當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.②當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合），請(qǐng)直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)110176。(2) 詳見解析【解析】分析：（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)補(bǔ)充即可； （2）①過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案； ②畫出圖形（分兩種情況（i）點(diǎn)P在BA的延長線上，（ii）點(diǎn)P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．詳解：（1）剩余過程：∴∠CPE＋∠PCD＝1800， ∴∠CPE＝1800—1200＝600，∴∠APC＝500＋600＝1100．（2）①∠CPD=∠α+∠β．理由如下：過P作PQ∥AD ．∵AD∥BC，∴PQ∥BC ，∴，同理，∴；②（i）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β﹣∠α； （ii）當(dāng)P在AB延長線時(shí)，如圖5， 同①可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α﹣∠β．點(diǎn)睛：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，難度適中．已知：點(diǎn)、不在同一條直線上，.（1）如圖1，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，、分別為、的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的前提下，有，直接寫出的值.【答案】(1)∠ACB＝120176。；(2)2∠AQB+∠C＝180176。；(3)∠DAC：∠ACB：∠CBE＝1：2：2．【解析】【分析】（1）首先過C作AD的平行線CE，再根據(jù)平行的性質(zhì)計(jì)算即可.（2）首先過點(diǎn)Q作QM∥AD，再根據(jù)已知平行線的性質(zhì)即可，計(jì)算的2∠AQB+∠C＝180176。.（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)首先計(jì)算出∠DAC、∠ACB、∠CBE，再根據(jù)角的度數(shù)求比值.【詳解】(1)在圖①中，過點(diǎn)C作CF∥AD，則CF∥BE．∵CF∥AD∥BE，∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180176。﹣∠B，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180176。﹣(∠B﹣∠A)＝120176。．(2)在圖2中，過點(diǎn)Q作QM∥AD，則QM∥BE．∵QM∥AD，QM∥BE，∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝(∠CBE﹣∠CAD)．∵∠C＝180176。﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝180176。﹣2∠AQB，∴2∠AQB+∠C＝180176。．(3)∵AC∥QB，∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，∴∠ACB＝180176。﹣∠ACP＝180176。﹣∠CBE．∵2∠AQB+∠ACB＝180176。，∴∠CAD＝∠CBE．又∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP＝90176。，即∠CAD+∠CBE＝180176。，∴∠CAD＝60176。，∠CBE＝120176。，∴∠ACB＝180176。﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝120176。，∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60176。：120176。：120176。＝1：2：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，再結(jié)合考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于做出合理的輔助線.如圖，CD⊥AB于D，點(diǎn)F是BC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80176。．（1）試證明∠B=∠ADG；（2）求∠BCA的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BCA=80176。．【解析】【分析】（1）由CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，則CD∥EF，則∠2=∠BCD，從而證得BC∥DG，即∠B=∠ADG；(2). 由CD∥EF，則∠3=∠BCG,即可求解.【詳解】（1）∵CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴BC∥DG，∴∠B=∠ADG； （2）∵DG∥BC，∴∠3=∠BCA，∵∠3=80176。，∴∠BCA=80176。．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用.如圖1，已知，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)、在直線上，且于.（1）求證：；（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，求的度數(shù)；（3）如圖3，為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，連接，為的角平分線上一點(diǎn)，且，則、之間的數(shù)量關(guān)系是__________.【答案】（1）見解析；（2）225176。；（3）或【解析】【分析】(1) 過作EF∥a,由BC⊥AD可知，由平行可知，從而可得=+=(2)作，設(shè)，由平行線性質(zhì)和鄰補(bǔ)角定義可得，進(jìn)而計(jì)算出即可解答，（3）分兩種情況解答：I.∠NCD在∠BCD內(nèi)部，II外部，仿照（2）解答即可.【詳解】（1）證明：過作,　∴　∴　∴　∴∴（2）解：作，設(shè)，由（1）知：，，∴，∴，同理：，∴（3）結(jié)論：或，I.∠NCD在∠BCD內(nèi)部時(shí)，過I點(diǎn)作，過N點(diǎn)作，設(shè)∠IPN=∠BPN=x，=y，∴∠BCD=3y.∵a∥b，∴∴，，∴，∴，∴ ∴,如圖3（2）： 過I點(diǎn)作，過N點(diǎn)作，設(shè)∠IPN=∠BPN=x，=y，∴∠BCD=y.∵a∥b，∴IG∥a∥∴，，∴，∴，∴ ∴【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．此類題目過拐點(diǎn)作平行線是常用輔助線作法.