20xx屆天津市部分區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查(一)數(shù)學(xué)試題(含解析)-資料下載頁
2025-04-03 03:25本頁面
【正文】 立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中，，，（1），故，故.（2），.平面的法向量為，而，設(shè)平面的法向量為，由可得，取，則，故，故.因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殇J角，故其余弦值為.（3）設(shè)，故，故，解得.故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為得到，而線面垂直又可以由面面垂直得到，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.19．已知橢圓的短半軸長為1，離心率為.（1）求的方程；（2）設(shè)的上?下頂點(diǎn)分別為?，動(dòng)點(diǎn)(橫坐標(biāo)不為0)在直線上，直線交于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)短半軸長和離心率求出，可得橢圓的方程；（2）設(shè)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式求出和，再相乘可得結(jié)果.【詳解】（1）依題意可知，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意可知，設(shè)，則，直線：，令，得，即，，所以.20．已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增（3）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果；（2）求導(dǎo)后，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得結(jié)果；（3）不妨設(shè)，由求出，將不等式化為，令，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證不等式成立.【詳解】（1）因?yàn)椋?，依題意可得，得.（2），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，在上遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增.（3）因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，即在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，所以，所以，所以，要證，即證，因?yàn)?，所以，所以，所以只需證，即要證，令，因?yàn)椋?，所以只需證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（3）問中，求出是第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，將所證不等式轉(zhuǎn)化為是第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).17
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