【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 由此AX0185。0，即線性方程組AX=0僅有零解，所以r(A)=n，即A是列滿秩矩陣． TTT方法二因?yàn)锳A 是正定矩陣，故r(AA)=n，由于 TTn163。r(ATA)163。r(A)163。n所以r(A)=n． 即A是列滿秩矩陣．再證充分性：因A是列滿秩矩陣，故線性方程組僅有零解，X185。0，X為實(shí)向量，有AX185。0．因此XT(ATA)X=(AX)T(AX)=(AX,AX)0顯然AA 是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以AA 是正定矩陣．21．設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱陣，且滿足A6A+4E=0，：設(shè)l為A的任意特征值，ξ為A的屬于特征值l的特征向量，故ξ185。0，則2TTAξ=lξ,2A2ξ=l2ξ由A6A+4E=0有Aξ6Aξ+4ξ=02(l26l+4)ξ=0 2由ξ185。0，故l6l+4==3177。5，．設(shè)三階實(shí)對(duì)稱陣A的特征值為1,2,3，其中1,2對(duì)應(yīng)的特征向量分別為ξ1=(1,0,0)T,ξ2=(0,1,1)T，求一正交變換X=PY，將二次型f=：設(shè)ξ3=(x1,x2,x3)T為A的屬于特征值3的特征向量，由于A是實(shí)對(duì)稱矩陣，故ξ1,ξ2,ξ3滿足正交條件236。1x1+0x2+0x3=0 237。0x+1x+1x=023238。1解之可取ξ3=(0,1,1)，將其單位化有 11411T11T,),P3=(0，)2222230。246。231。100247。231。247。11247。231。令P=(P1,P2,P3)=231。0.247。22247。231。11247。231。0231。247。22248。232。則在正交變換X=PY下，將f化成標(biāo)準(zhǔn)形為 P1=(1,0,0)T,P2=(0,22 f=XTAX=YT(PTAP)Y=y12+2y2+3y323．設(shè)230。122246。231。247。A=231。24a247。231。2a4247。232。248。2二次型f=XTAX經(jīng)正交變換X=PY化成標(biāo)準(zhǔn)形f=9y3，：由f的標(biāo)準(zhǔn)形為f=9y3，故A的特征值為l1=l2=0,l3=|lEA|=22a=l2(l9)l42221l4a2令l=0，則2解之a(chǎn)==0 2a4230。122246。231。247。由此A=231。244247。231。244247。232。248。對(duì)于l1=l2=0有230。122246。230。122246。231。247。231。247。0EA=231。244247。174。231。000247。231。244247。231。000247。232。248。232。248?？傻肁的兩個(gè)正交的特征向量230。2246。230。2246。231。247。231。247。ξ1=231。2247。,ξ2=231。1247。231。1247。231。2247。232。248。232。248。115230。1246。231。247。對(duì)于l3=9，可得A的特征向量為231。2247。231。2247。232。248。將特征向量單位化得230。2246。230。2246。230。1246。1231。247。1231。247。1231。247。P1=231。2247。,P2=231。1247。,P3=231。2247。3231。247。3231。247。3231。247。12232。248。232。248。232。2248。230。221246。1231。247。則P=(P1,P2,P3)=231。212247。為正交矩陣，3231。247。232。122248。230。221246。1231。247。正交變換X=PY為X=231。212247。247。232。122248。注：因特征向量選擇的不同，24．已知二次型f=x1+2x2+(1k)x3+2kx1x2+2x1x3正定，：二次型的表示矩陣1246。230。1k231。247。A=231。k20247。231。101k247。232。248。236。1k2236。0239。239。k20由A正定， 237。k2，|A|0238。k(kk2)0238。解之1k25．試問(wèn)：三元方程3x1+3x2+3x3+2x1x2+2x1x3+2x2x3x1x2x3=0，解：記f=3x1+3x2+3x3+2x1x2+2x1x3+2x2x3x1x2x3230。311246。230。x1246。230。x1246。231。247。231。247。231。247。則f=(x1,x2,x3)231。131247。231。x2247。+(1,1,1)231。x2247。231。113247。231。x247。231。x247。232。248。232。3248。232。3248。230。311246。231。247。設(shè)A=231。131247。.231。113247。232。248。2則|lEA|=(l2)(l5).故A的特征值為l1=l2=2,l3=5. 116對(duì)于l1=l2=2，求得特征向量為230。1246。231。247。ξ1=231。1247。,231。0247。232。248。由Schmidt正交化得230。1246。231。247。ξ2=231。0247。.231。1247。232。248。230。1246。231。247。β1=231。1247。,231。0247。232。248。230。1246。231。2247。231。247。1β2=231。247。.231。2247。231。247。1231。247。231。247。232。248。230。1246。231。247。對(duì)于l3=5得特征向量ξ3=231。1247。，標(biāo)準(zhǔn)化得231。1247。232。248。230。1246。230。1246。230。1246。231。247。231。247。231。247。632231。247。231。247。231。247。231。1247。231。1247。231。1247。P1=231。,P=,P=23231。247。231。247。 247。26247。231。231。3247。231。247。231。2247。231。1247。231。0247。231。247。231。247。231。247。232。248。232。6248。232。3248。11246。230。1231。247。263231。247。11247。231。1令P=(P1,P2,P3)=231。247。63247。231。221247。231。0231。247。63248。232。則在正交變換X=PY下22f=2y12+2y2+5y33y3于是f=0為22y12+2y2+5(y3323)= ．求出二次型f=(2x1+x2+x3)+(x12x2+x3)+(x1+x22x3)：將括號(hào)展開，合并同類項(xiàng)有117222222f=4x1+x2+x34x1x24x1x3+2x2x3+x12+4x2+x34x1x2+2x1x34 2x3x222+x1+x2+4x3+2x1x24x1x34x2x322222=6x1+6x2+6x36x1x26x1x36x2x3=6(x12+x2+x3x1x2x1x3x2x3)1132323119x2x3)2+x2+x3x2x3]=6(x1x2x3)2+(x2x3)2 2244222211236。y=xx239。11222x3239。令237。y2=x2x3239。y=x3239。3238。11246。230。1230。y1246。231。22247。230。x1246。247。231。247。231。247。231。11即y2=231。0247。231。x2247。 231。247。231。y247。231。001247。231。x3247。232。3248。231。232。248。247。232。248。=6[(x1則可逆變換為230。1230。x1246。231。231。247。231。231。x2247。=231。0231。x247。231。0232。3248。231。232。在此可逆線性變換下f的標(biāo)準(zhǔn)形為1246。12247。230。y1246。247。231。247。11247。231。y2247。 01247。231。y3247。232。248。247。=6y12+27．用初等變換和配方法分別將二次型222（1）f1=x13x2+2x4+4x1x24x1x4+2x2x4（2）f2=2x1x26x2x3+2x1x3化成標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，：先用配方法求解（1）f1=(x1+4x1x24x1x4)3x2+2x4+2x2x4=(x12x2+2x4)+x2+6x46x2x4=(x12x2+2x4)+(x23x4)3x4 222222222236。y1=x12x2+2x4239。y=x3x239。224令237。即y=x3239。3239。238。y4=x4236。x1=y1+2y2+4y4239。x=y+3y239。224 237。x=y3239。3239。238。x4=y4 118230。1204246。231。247。0103247。令P=231。231。0010247。231。231。0001247。247。232。248。則二次型f經(jīng)可逆線性變換x=Py化成標(biāo)準(zhǔn)形 f1=y12+y23y4236。y1=z1236。z1=y1239。y=z239。z=y22239。2239。239。2若再令 237。即 237。y3=z3 z=y3239。239。3239。y=3z239。z=3y238。4444239。3238。230。1246。231。247。1231。247。247。令Q=231。1231。247。3247。231。231。247。3248。232。222則原二次型f1經(jīng)可逆線性變換x=PQz化成規(guī)范形f1=y1.+y2y4236。x1=y1+y2239。（2）先線性變換237。x2=y1y2239。x=y3238。3原二次型化成2222f2=2(y1y2)6y1y3+6y2y3+2y1y3+2y2y3=2y12y24y1y3+8y2y3222=2(y1y3)22y2 =2(y1y3)22(y22y3)2+6y3+8y2y32y3236。z1=y1y3236。y1=z1+z3230。110246。230。101246。239。239。231。247。231。247。令237。z2=y22y3，即237。y2=z2+=231。110247。，P2=231。012247。239。z=y239。y=z231。001247。231。001247。232。248。232。248。33238。3238。3則原二次型f2經(jīng)可逆線性變換x=P1P2z化成標(biāo)準(zhǔn)形 f2=2z122z2+6z3236。239。z1=236。w1=2z1239。239。239。239。239。若再令237。w2=2z2即 237。z2=239。239。w=6z3239。239。238。3239。z3=239。238。2w122w2 26w36119230。2246。231。247。2231。247。231。247。2令Q=231。247。2231。247。231。6247。231。247。231。247。6232。248。則原二次型f2經(jīng)可逆線性變換x=P1P2Qw化成規(guī)范形=w12w2+w3用初等變換法求解230。12231。23231。（1）設(shè)A=231。00231。231。21232。230。12231。23231。(AME4)=231。00231。231。21232。02246。247。01247。00247。247。02247。248。***02010002000***00246。230。1247。231。0247。r2+2180。r1231。0190。190。190。174。0247。c2+2180。c1231。0247。231。231。21247。248。232。0246。230。1247。231。0247。r4+3180。r2231。0190。190。190。174。c4+3180。c2247。231。00247。231。231。01247。248。232。00246。0247。10247。0 01247。0247。3247。30247。3248。0103010002100***000***100246。247。0247。 0247。247。1247。248。0246。247。0247。 247。0247。1247。248。230。10231。r4+(2)180。r1231。01190。190。190。190。174。c4+(2)180。c1231。00231。231。03232。230。10231。1231。01180。r33174。231。00190。190。190。1180。c3231。3231。231。00232。120200001T433000246。230。10230。100246。231。247。2100231。247。231。247。2100231。247。令P1=，P2=231。0010247。231。001247。0231。247。231。247。3231。430247。231。43247。130232。248。231。247。3248。232。3222則原二次型f1經(jīng)過(guò)可逆線性變換x=P1y化成標(biāo)準(zhǔn)形f1=y1+=P2z化成規(guī)范形f1=z1+z2z4. 120222T230。011246。231。247。（2）設(shè)A=231。103247。231。130247。232。248。110246。0230。01230。0231。247。r3+(1)180。r2231。0301247。190。190。190。190。0c3+(1)180。c2174。231。1(AME3)=231。1231。13000247。1231。0232。248。232。1003360246。247。010247。 011247。248。10230。01190。190。190。r3+3180。r1c3+3180。c1174。231。010100246。231。100010247。230。21r1+r2231。c1+c2174。231。1000232。006311247。190。190。190。231。247。248。231。232。0063230。200110246。190。190。190。190。r12+(231。2)180。r1231。111247。c1174。002+(2)180。c1231。231。2220247。247。 232。006311247。248。230。231。1001120246。247。1190。190。190。190。190。2180。r1231。21,2180。c11247。2180。r2,2180。c174。231。231。010162220247。247。 6180。r23,6180。c3231。231。247。231。232。0016266247。66247。248。230。11T230。0246。247。231。110246。T231。247。令 P11247。231。221=231。231。0247。，P231。112=231。0247。247。231。22247。22247。232。311247。231。248。231。231。66247。232。2666247。248。則原二次型f2經(jīng)過(guò)可逆線性變換x=P1y化成標(biāo)準(zhǔn)形f=2y2122212y2+6y3二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換x=P2z化成規(guī)范形f2222=z1z2+z328．用三種不同方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形.（1）f2221=2x1+3x2+4x2x3+3x3（2）f22222=x1+x2+x3+x4+2x1x22x1x42x2x3+2x3x4解：先用配方法求解00246。10247。11247。 247。248。121 42522x2x3)+3x3=2x12+3(x2+x3)2+x3 333236。y1=x1236。x1=y1239。239。22239。239。令 237。y2=x2+x3即 237。x2=y2y333239。239。239。239。238。y3=x3238。x3=y3230。100246。231。247。2令P=231。01247。231。3247。231。001247。232。248。（1）f1=2x1+3(x2+22則二次型f1經(jīng)可逆線性變換x=Py化成標(biāo)準(zhǔn)形2f1=2y12+3y2+52y3 3236。2z1236。239。y1=2239。z1=2y1239。239。239。3239。239。z2若再令 237。z2=3y2即 237。y2=3239。239。15239。239。z=15y33y=z3239。239。33238。5239。238。230。2246。231。247。2231。247。231。247。3令Q=231。247。3231。247。231。15247。231。247。231。5247。232。248。原二次型f1經(jīng)可逆線性變換x=PQz化成規(guī)范形=z12+z2+z3（2）f2=(x1+2x1x22x1x4)+x2+x3+x42x2x3+2x3x4=(x1+x2x4)2+x32x2x3+2x3x4+2x2x4 2=(x1+x2x4)2+(x3x2+x4)2(x22x4)2+3x4 2222236。y1=x1+x2x4239。y=x2x239。224令237。即239。y3=x2+x3+x4239。238。y4=x4 122236。x1=y1y2y4239。x=y+2y239。224 237。239。x3=y2+y3+y4239。238。x4=y4230。11231。0101246。247。02令P=231。231。247。231。0111247。231。232。000