【文章內容簡介】 式中系數陣 Nbb 為滿秩，即 R(Nbb)=t , ^x 有唯一解，上式稱為間接平差的法方程 。解之，得 WNx bb 1^ ?? （ 9） 或 ^x =(BTPB)1BTPl (10) 將解出的 ^x 代入誤差方程 (6)，即可求得改正數 V, 從而平差結果為： 測量 控制網平差系統(tǒng) 設計 10 VLL ??^ ， ^0^ xXX ?? 特別地，當 P 為對稱陣時，即觀測值間互獨立，則法方程 (8)的純量形式為 ? ? ? ? ? ? ? ?palxpatxpabxpaa t ???? ^2^1^ ... ? ? ? ? ? ? ? ?pblxpbtxpbbxpab t ???? ^2^1^ ... ……………………………………… .. ? ? ? ? ? ? ? ?pt lxpt txpbtxpat t ???? ^2^1^ ... 按間接平差法求平差值得計算步驟 （ 1） .根據平差問題的性質，選擇 t 個獨立量作為參數； （ 2） .將每一個觀測量的平差值分別表達成所選參數的函數，若函數非線性要將其現性化，列出誤差方程； （ 3） .由誤差方程系數 B 和自由項 l 組成法方程，法方程個數等于參數的個數 t； （ 4） . 解算法方程，求出參數 ^x ，計算參數的平差值 ^0^ xXX ?? ； （ 5） .由誤差方程計算，求出觀測量平差值 VLL ??^ 高斯約當法 矩陣求逆采用全選主元高斯－約當（ GaussJordan）消去法。高斯－約當（全選主元）求逆的步驟如下。 首先，對于 k 從 0 到 n1 作如下幾步： a) 從第 k 行、第 k 列開始的右下角子陣中選取絕對值最大的元素，并記住此元素所在的行列號，再通過行交換和列交換將它交換到主元素位置上。這一步稱為全選主元。 b) kkaa?/1 c) kjinjiaaa jkkkj ??????? ,。1,1,0, d) kjinjiaaaa ijkjikij ???????? ,。1,1,0, e) kjiniaaa ijkkik ???????? ,。1,1,0, 最后，根據在全選主元過程所記錄的行、列交換信息進行 恢復，恢復原則如下： 在全選主元過程中，先交換的行、列后進行恢復；原來的行（列）交換用列（行）交換來恢復。 測量 控制網平差系統(tǒng) 設計 11 矩陣的行列式值也是用全選主元高斯－約當（ GaussJordan）消去法。先將矩陣變?yōu)樯先蔷仃?，通過計算對角線元素的乘積可得。 矩陣的其它計算比較簡單，在這里不再說明。 高斯投影及換帶計算 高斯投影的主要內容就是導出高斯平面坐標（ x,y）與大地坐標（ L， B）的相互關系 式。關系式分兩類：第一類稱高斯投影正算公式，亦即由 L， B求 x,y；第二類稱高 斯投影反算公式，亦即由 x,y 求 L， B。 ㈠ .高斯投影坐標正算公式 高斯投影必須滿足以下三個條件： ⑴中央子午線投影后為直線； ⑵中央子午線投影后長度不變； ⑶投影具有正形性質，即正形投影條件。 由第一個條件可知，由于地球橢球體是一個旋轉體，所以高斯投影必然有這樣一個性質，即中央子午線東西兩側的投影必然對稱于中央子午線。具體地說，比如在橢球面上有對稱于中央子午線的兩點 P1， P2 ，它們的大地坐標分別為（ l， B）及（ l，B），式中 l為橢球面上有對稱于中央子午線的經度與中央子午線的經差， P 點在中央子午線之東， l 為正，在西則為負，則投影后 的平面坐標一定為 P1′（ x,y）和 P2′（ x,y）。這就是說，在所求的投影公式中，當 B=常數， l 以 l代替時， x值不變號，而 y 值則變號。 又由于高斯投影是按帶投影的，在每帶內經差 l 是不大的， l/ρ是一個微小量，所以可將式中的函數展開為經差 l的冪級數，它可以寫成如下形式： x=m0+ m2l2+m4l4+?? y=m1+m3l3+m5l5 ?? （ 1） 式中 m0， m1， m2，??是待定系數，它們都是緯度 B 的函數。 由第三個條件： ,//// qylxqxly ??????????? 和將式 （ 1） 分別對 l和 q求偏導數代入，得 測量 控制網平差系統(tǒng) 設計 12 m1+3m3l2+5m5l4+?? =dm0/dq+dm2/dq*l2+dm4/dq*l4+?? 2m2l+4m4l3+?? =dm1/dq*ldm/dq*l3?? （ 2） 為使上面兩式兩邊相等，其必要而充實的條件是 l的同次冪的系數相等，因而有 m1=dm0/dq m2=1/2dm1/dq （ 3） m3=1/3dm2/dq 為要最終的求出待定系數??，顯示矛盾的焦點在于求得導數 dm0/dq。為此，首先要確定 m0的表達式。 由第二條件可知，位于中央子午線上的點，投影后的縱坐標 x 應該等于投影前從赤道量至該點的子午線弧長，即在 （ 1） 第一式中，當 l=0 時， x=m0=X （ 4） 式中 X為自赤道量起的子午線弧長。 顧及中子午線弧長微分公式 dX/dB=M 和式 dB/dq=NcosB/M，于是得 dm0/dq=dm0/dB*dB/dq=dX/dB*NcosB/M=M*NcosB/M=NcosB （ 5） 故 m1= NcosB=c/VcosB （ 6） 其次求 dm1/dq，由上式對 q求偏導數得 dm1/dq= dm1/dB*dB/dq= d/dB（ c/VcosB） dB/dq =（ c/V2 dV/dBcosB c/VsinB） 顧及 dV/dB=1/Vη 2t 測量 控制網平差系統(tǒng) 設計 13 于是得出 dm1/dq=[c/V2（ 1/Vη 2t） cosB c/VsinB]* c/VcosB/ c/V3 =[ c/V3sinB（η 2 t2） ] V2cosB= c/VsinBcosB 于是 m2=N/2sinBcosB （ 7） 依次求導，并依次代入 （ 3） 式右可得 m3 ， m4，??各值： m3= N/bcos3B(1 t2+η 2) m4=N/24sinBcos3B(5t2+9η 2) （ 8） m5= N/120cos5B(5 18t2+ t4) ?? 將上面已經求出的各個確定系數 m5，帶入 （ 1） 式，并略去η 2l5及 l6以上各項，最后得出高斯投影坐標正算公式如下： x=X+N/2ρ″ 2* sinBcosB l″ 2 + N/24ρ″ 4sinBcos3B(5 t2+9η 2) *l″ 4 （ 9） y= N/ρ″ cosB l″ + N/6ρ″ 3cos3B(1 t2+η 2) l″ 3 + N/120ρ″ 5cos5B(5 18t2+ t4) l″ 5 當 l〈 176。時，公式換算的 精度為177。 m。欲要換算精確至 m 的坐標公式，可將上式繼續(xù)擴充，現直接寫出如下： x=X+N/2ρ″ 2* sinBcosB l″ 2+ N/24ρ″ 4sinBcos3B(5 t2+9η 2+4η 4) *l″ 4+ N/720ρ″ 6* sinBcos5B（ 61 58t2+ t4） l″ 6 （ 10） 測量 控制網平差系統(tǒng) 設計 14 y= N/ρ″ cosB l″ + N/6ρ″ 3cos3B(1 t2+η 2) l″ 3+ N/120ρ″5cos5B(5 18t2+ t4+14η 258η 2 t2) l″ 5 （ 9），（ 10） 兩式即為高斯投影坐標正算公式，他們就是式中的 F1和 F2的具體形式。 ㈡ .高斯投影坐標反算公式 高斯投影反算時，原面是高斯面，投影面是橢球面，相應地可以寫出如下投影方程： B=φ 1（ x,y） l=φ 2（ x,y） （ 11） 同正算一樣，對投影函數φ 1，φ 2提出以下三個條件： ⑴ x坐標軸投影成中央子午線，是投影對稱軸； ⑵ x軸上的長度投影保持不變； ⑶正形投影條件，即高斯面上的角度投影到橢球面上后角度沒有變形，仍然相等。 反算公式的 推導方法和正算公式相類似，它的基本思想是，首先根據 x 計算縱坐標在橢球面上的投影的垂足緯度 Bf,接著按 Bf計算（ BfB）及經差 l，最后得到 B=Bf（ BfB） L=L0+l （ 12） 為了簡化差值（ BfB）及 l的計算公式的推導，我們還是借助于等量緯度 q。 由于高斯投影區(qū)域不大，其中 y值和橢球半徑相比也是不大的，因此可將（ q， l）展開為的冪級數。顧及到上述第一個條件，即投影對軸子午線對稱的要求， q 應是 y的奇函數，因此 q= n0+ n2y2+n4y4+?? l= n1+ n3y3+n5y5+?? (13) 由第三個條件： ,//,// yqxlylxq ??????????? 將（ 13）式分別對 x 和 y 求偏導數；并考慮到上述第二個條件，當 y=0 時，點處在中央子午線上，亦即 l=0,x=X,φ 1(x)=qf測量 控制網平差系統(tǒng) 設計 15 于是可求出待定點系數 n，把它們代入上式，則得 q= qfy2 （ d2q/ d X2） f+ y4/24（ d4q/ d X4） f?? l= y（ dq/ d X） f y3/6（ d3q/ d X3） f+?? （ 14） 式中 qf和（ dq/ d X） f均是對應于垂足緯度 Bf的數值。 至此還只是求得了等量緯度 q，為最終求得大地緯度 B，還需進一步化算。由式可知， q和 B必有固定的函數關系，今設 B=f（ q）， Bf= f（ qf） （ 15） B=f（ q） = f（ qf+ dq） （ 16） dq=q qf 式中 按臺勞級數展開則有 B= f（ qf） + （ dB/dq） dq+1/2（ d2B/dq2） +1/6（ d3B/dq3） dq3+?? 因此 （ 17） （ BfB） = B Bf=（ dB/dq）（ q qf） +1/2（ d2B/dq2）（ q qf） 2 +1/6（ d3B/dq3）（ q qf） 3+?? （ 18） 為了求得高斯坐標的實用反算公式，我們必須求出 （ 14） 式和 （ 18） 式中的各階導數值 dnq/ d Xn和