【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 , )Fxy 代表圖像的信息 (如灰度值， RGB 分量值等 )，表示圖像的二元函數(shù)有其特殊性，這就是相關(guān)性。在圖像被數(shù)字化之后， ( , )Z F x y? 則相當(dāng)于一個(gè)矩陣，其元素所在的行與列對(duì)應(yīng)于白變量取值，元素本身代表圖像信息，離散化的數(shù)字圖像相應(yīng)于元素之間有相關(guān)性的一類特別的矩陣。矩陣的初等變換可以將圖像轉(zhuǎn)換為另一幅圖像，但其置亂作用較差，非線性變換則有可能增強(qiáng)置亂作用。 我們知道，關(guān)于一個(gè)二維圖形的幾何變換主要有平移、旋轉(zhuǎn)、比例和錯(cuò)切，這些變換都可以相應(yīng)地作用于原圖像上。但是平移和旋轉(zhuǎn)變換都不會(huì)改變像素 間 的相對(duì)關(guān)系，由它們所生成的圖像沒有結(jié)構(gòu)上的變化；而比例和錯(cuò)切變換一般都會(huì)改變圖像在像素平面上所占據(jù)的位置，使原始圖像中的像素點(diǎn)跑到圖像以外的區(qū)域，因此，僅僅由這四種幾何變換中的一種無法構(gòu)造出我們要求的排列變換來，需要考慮同時(shí)使用其中的兩種甚至四種幾何變換。 針對(duì)圖像矩陣變換的技術(shù)，就是將一些經(jīng)基于 Arnold 置亂的數(shù)字圖像加密算法的研究與實(shí)現(xiàn) 7 典的數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到表示圖像的矩陣變換 ，從而起到對(duì)圖 像加密的目的。 定義 ： 設(shè) (1)1 ()ij n nAa?? ， (2)2 ()ij n nAa?? 是兩個(gè) nn? 的拉丁方，如若 矩陣 (1) (2)(( , ))ij ij n naa ?中的 2n 個(gè)數(shù)偶， (1) (2)(( , ))ij ij n naa ?互不相同， , 1,2,...,i j n? ，則稱 1A 和 2A 正交或 1A 和 2A 是互相正交的拉丁方。 例：如1123231312A?????????，2132213321A?????????都是 33? 的拉丁方，則由 1A 和 2A 構(gòu)成的 33? 的偶對(duì)方陣 (1, 1) ( 2 , 3 ) (3 , 2 )( 2 , 2 ) (3 ,1) (1, 3 )(3 , 3 ) (1, 2 ) ( 2 ,1)??????中沒有相同元素，故 1A 和 2A 是三階正交拉丁方。 定理 互相正交的 n 階拉丁方的個(gè)數(shù)不超過 1n? 個(gè)。即若 12, ,..., kA A A 是兩兩正交的 n 階拉丁方，則 1kn??。 定理 設(shè) 3n? ，且 anp? ， p 為一個(gè)素?cái)?shù)， a 是一個(gè)正整數(shù)，則存在 1n? 個(gè)正交的 n 階拉丁方1 2 1, ,..., nA A A ? ；且若設(shè) ()1 ()k ij n nAa?? ， 1,2,..., 1kn??； iti? ， 1,2,..., 1in?? 則 () 11k ij k i ja t t t????， , 1,2,...,i j n? ， 1,2,... 1kn??，其中 “+”和 “ ”是 ()aGFP 域的加法和乘法運(yùn)算。 設(shè)數(shù)字圖像的矩陣為 1 ()ij n nAa?? ，其中 anp? （ ? 3且 p 為素?cái)?shù)， a 為整數(shù)）。由定理 知存在有 1n? 個(gè)拉丁方的互相正交的拉丁方組 1 2 1, ,..., nA A A ? 在該組中任取兩個(gè)互相正交的拉丁方設(shè)為： ,ijAA 1 , 1i j n? ? ? ， ij? 。 構(gòu)造矩陣： ( ) ( )( , )ijij ij n nb a a ?? ， 則 B中的元素 ( ) ( )( , )ijij ijaa 遍歷 (1,1),(1,2),(1,3),…,(1,n) ,…(2,n), 因此，將 B中的元 素 ( ) ( )( , )ijij ijaa 看作數(shù)字圖像 1 ()ij n nAa?? 的坐標(biāo) ，而將其灰度值放于 (, )ij 點(diǎn)，則得變換后的數(shù)字圖像矩陣，從而達(dá)到置亂圖像的目的。 由于正交拉丁方中含有 1n? 互相正交的拉丁方，故這種圖像置亂方法有 ( 1)nn? 種，而對(duì)于三維圖像來說則有 ( 1)( 2)n n n??種。從實(shí)驗(yàn) 結(jié)果來看，其用圖像的預(yù)處理或者后處理是非常有效的。 算法的周期性： 表 ： 不同階數(shù)下的相同參數(shù)的正交拉丁方變換的周期 表 ： 相同階數(shù) r的不同參數(shù)的止交拉 J方變換的周期 基于 Arnold 置亂的數(shù)字圖像加密算法的研究與實(shí)現(xiàn) 8 表 ： 不同階數(shù)下的不同參數(shù)的正交拉丁方變換的周期 和許多置亂算法一樣，基于正交拉丁方的加密算法的周期性仍有待進(jìn)一步研究。 2． 2基于幻方的圖像置亂變換 幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，在中國(guó)古代的 “河圖洛書 ”中己有記載。它具有美妙的特性和奇異的結(jié)構(gòu)，因而得到古今中外學(xué)者的關(guān)注和潛 心鉆研。 定義 ：對(duì)于矩陣 A， 若滿足如下條件：,1 1 1 1n n n nij ij jj j n jj i j ja a a a C?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 即矩陣 A的各行、各列、各對(duì)角線上的元素的和相等，并且有集合2{ , ( , 1 , 2 , ..., ) } {1 , 2 , ..., }ija i j n n??,則稱矩陣 A為標(biāo)準(zhǔn)幻方。 設(shè)嵌入對(duì)象是 nn? 的像素矩陣 B，我們可以將 B與 A各元素一一對(duì)應(yīng)，然后將處于 A中元素 1位置的像素移至元素 2位置處，將處于 A中元素 2位置的像素移至元素 3位置處，以此類推，最后將 2n 處的像素移至 l處。例如，對(duì)于三階幻方矩陣 A經(jīng)過一次幻方變換后結(jié)果如下： 492357816????????? 381246795???????? 8階幻方矩陣為： 幻方變換同樣具有周期性，其變換周期就是 2n 。利用幻方進(jìn)行置亂變換最大的困難就是尋找和基于 Arnold 置亂的數(shù)字圖像加密算法的研究與實(shí)現(xiàn) 9 圖像大小匹配的幻方，而且當(dāng) n比較大時(shí)，圖像恢復(fù)時(shí)所要進(jìn)行的 變換步驟大大增加，但是變換的周期有確定規(guī)律。經(jīng)過這種對(duì)圖像像素的黃換，打亂了像素在圖像中的排列位置，從而達(dá)到加密的目的．這種變換實(shí)質(zhì)上是矩陣的初等變換，并且由于幻方矩陣是一有限維矩陣，經(jīng)過 2n 次置換，又會(huì)回到原來的位置。 原始圖像中相鄰的像素經(jīng)置亂后大都仍保持空問相鄰狀態(tài)，因此這種方法的置亂效果較差，為了得到較好的置亂效果，需要多次重復(fù)上面過程，成倍地增加計(jì)算量；此外，對(duì)于非正方尺寸的圖像，上述置亂算法不能直接應(yīng)用。 基于騎士巡游的圖像置亂變換 所謂騎士巡游，就如同象棋一樣，給出一塊具有 2n 個(gè)格子的 ” nn? 棋盤，一位騎士 (knight)按國(guó)際象棋規(guī)則移動(dòng)，放在初始坐標(biāo)為 ( 00,xy)的格子里，騎士巡游問題 (Knighttour Problem)就是要求尋找一種方案使之過每個(gè)格子一次，且僅一次。該問題可以較自然地推廣到 nm? 棋盤。一個(gè) 99棋盤的騎士巡游路線如 下面的矩陣 T所示，稱其為巡游矩陣，其中 1表示騎士巡游的起點(diǎn)， (, )tij 的值表示騎士第 (, )tij 步巡游到 i 行 j 列。 騎士巡游變換：對(duì)于圖像 { ( , )}nmA a i j ?? ，用巡游矩陣 { ( , )}nmT t i j ?? 作置亂變換，得到圖像 B。其變換方法如下：將 A與 T按行列作一一 對(duì)應(yīng)，將 A中與 T中位置 1對(duì)應(yīng) (下簡(jiǎn)稱對(duì)應(yīng)位置 )的象素灰度值 (或 R、 G、 B分量值 )移到對(duì)應(yīng)位置 2，將對(duì)應(yīng)位置 2的象素灰度值移到對(duì)應(yīng)位置 3， …… 以此類推，最后將對(duì)應(yīng) nm位置的象素灰度值移到對(duì)應(yīng)位置 l，就得到了按 T置亂后的圖像 B。這種按騎士巡游路徑進(jìn)行置亂的變換，簡(jiǎn)稱為騎士巡游變換。 按騎士巡游變換對(duì)圖像作置亂，不僅可以隱藏圖像細(xì)節(jié)，而且可以使圖像總的形象保持不變，用騎士巡游變換來作圖像的隱藏，其保密度是比較高的。密鑰個(gè)數(shù)大于 Hilbert曲線、 Peano方法、 E曲線、幻方置亂變換的密鑰個(gè)數(shù)。通過騎士巡游起點(diǎn) 和終點(diǎn)的選取、巡游方向的變化以及挖洞的位置和數(shù)量的確定來構(gòu)成不同的密鑰，它既適合單密鑰體制，也適合多密鑰體制，所以，其保密度較高。 騎士巡游交換具有如下優(yōu)點(diǎn)： (1)適用于高和寬不同的圖像，而幻方變換僅適用于高和寬相同的圖像； (2)置亂方法靈活，可通過編程來控制巡游的起點(diǎn)、終點(diǎn)以及巡游的方向，還可控制一些點(diǎn)不巡游 (挖洞 )，從而得到不同的置亂方法； (3)不僅能隱藏圖像的細(xì)節(jié)，而且特別能隱藏圖像中的文字信息，也可應(yīng)用于其他計(jì)算機(jī)文件的加密。騎士巡游變換同樣具有周期性，其變換周期就是 2n 。 基于 Arnold 置亂的數(shù)字圖像加密算法的研究與實(shí)現(xiàn) 10 基于 Arnold變 換的數(shù)字圖像置亂 對(duì)于二維可逆保面積方程： 39。 (m o d )39。xxANyy? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?， 其中 abAcd???????， | | 1A ad bc? ? ?，, {0,1, 2... 1}x y N??， N為數(shù)字圖像矩陣的維數(shù)， a,