【文章內(nèi)容簡介】 第二章 濾波器的特性 9 第二章 濾波器的特性 實際的濾波器是按上述它對頻率成分的過濾特性和設(shè)計濾波器時所用的函數(shù)形式的組合情形來區(qū)分和命名的，且其中的函數(shù)形式名稱大都采用了某個數(shù)學(xué)家的名字。例如，所用函數(shù)形式為巴特沃思函數(shù)的低通濾波器就稱為巴特沃思型低通濾波器，所用函數(shù)為切比雪夫函數(shù)的低通濾波器就稱為切比雪夫型低通濾波器等，而所用函數(shù)為橢圓函數(shù)的高通（或其他）濾波器則直接稱為橢圓函 數(shù)型高通（或其他）濾波器。也就是說，濾波器的名稱一般包括函數(shù)名稱和過濾特性兩部分。 理想濾波器的特性 [3] 下面介紹具有理想過濾特性的濾波器對信號的過濾作用。雖然理想濾波器實際上是做不出來的，但只要能盡可能地接近理想特性，它就是好濾波器。 理想低通濾波器的特性如圖 所示。它能夠讓從零頻（即直流）到截止頻率 ?c之間的所有信號都沒有任何損失地通過，而讓高于截止頻率 ?c的所有信號毫無遺留地喪失殆盡。 理想高通濾波器的特性如圖 所示。它正好與理想低通濾波器相反，是讓高于截止頻率 ?c的所 有信號毫無損失地通過，而讓低于截止頻率的 ?c所有信號毫無遺留地喪失殆盡。 理想帶通濾波器的特性如圖 所示，它是讓中心頻率 ?c附近某一頻率范圍內(nèi)的所有信號都毫無損失地通過，而讓該頻率范圍以外的任何信號毫無遺留地喪失殆盡。 理想帶阻濾波器的特性如圖 所示，它正好與理想帶通濾波器相反。帶阻濾波器有時也被稱為帶陷器（ Band Elimination Filter,BEF）或陷波器（ Notch Filter)。 LC 帶通濾波器的設(shè)計與性能仿真 10 圖 理想低通濾波器的特性 圖 理想高通濾波器的特性 第二章 濾波器的特性 11 圖 理想帶通濾波器的特性 圖 理想帶阻濾波器的特性 在文章中以后說到各種濾波器時，可能會使用表 （英文符號）。 表 按通帶特性分類的濾波器名稱和英文簡稱 LC 帶通濾波器的設(shè)計與性能仿真 12 實際濾波器的特性 實際當中所設(shè)計出的濾波器，其特性不可能達到圖 所示的理想特性，一般都是圖 所示的情形。也就是說，實際濾波器對信號的衰減 t 是以截止頻率?c。為分界線而緩慢變化的。并且，圖 所示特性還只是個設(shè)計特性，也就是說，這個特性是在所使用的電容器和電感線圈都具有 理想特性的前提下得到的。而實際上，按照這個設(shè)計特性用實際電容器和實際電感線圈所制作出來的濾波器，有可能連圖 的特性也得不到，而只能得到圖 所示的特性。于是，便有了根據(jù)各種不同應(yīng)用目的而形成的不同類型的濾波器。 圖 理想低通濾波器的特性 圖 實際可設(shè)計的 LPF（巴特沃斯型） 第二章 濾波器的特性 13 圖 實際制作出來的 LPF的特性 由于理想濾波器的特性難以實現(xiàn)，因而設(shè)計當中都是按某個函數(shù)形式來設(shè)計的，所以稱其為函數(shù)型濾波器。這些函數(shù)形式都是某種低通、高通或帶通濾波器名稱中的一部分，它決定 著實際濾波器的特性。由這些函數(shù)所決定的實際濾波特性各有其突出特點，有的衰減特性在截止區(qū)很陡峭，有的相位特性（即延時特性）較為規(guī)律，應(yīng)用當中可以根據(jù)實際需要來選用。 巴特沃斯特性 巴特沃斯特性也叫最平坦型特性，是低通濾波器等濾波器中使用最多的特性。它的特征是通過區(qū)域中沒有增益的起伏，衰減區(qū)域的傾斜就是截止頻率附近開始的。它的振幅頻率特性是沒有凸峰的巴特沃斯特性。在相位的角頻率微分特性，即群延時特性方面的波動。巴特沃斯濾波器的衰減特性和相位特性都相當好，對構(gòu)成濾波器的器件的要求也不甚嚴格，易于 得到符合設(shè)計值的特性。因此在最初設(shè)計或者不知道使用哪種函數(shù)型合適的情況下，可以選取巴特沃思型濾波器。 切比雪夫特性 切比雪夫特性濾波器在通過區(qū)域允許的波動下其截止特性有非常大的傾斜。假定在通過區(qū)域的波動相等，那么對于給定的通過區(qū)域的波動來說，能夠在截止頻率附近獲得最大傾斜的截止特性的就是切比雪夫特性。波動越大，得到的截止特性越陡峭。如果只對衰減特性有要求，可以選取切比雪夫型濾波器。不過切比LC 帶通濾波器的設(shè)計與性能仿真 14 雪夫型濾波器的相位特性不好，要注意它對非正弦波信號會產(chǎn)生波形失真影響的問題。因而，當切比雪夫型濾波器作 為 AD/DA 變換器的前置或后置濾波器，或者作為數(shù)字信號的濾波器來使用時，就不光考慮其截止特性是否滿足使用要求，而是還要考慮它是否滿足實際輸入信號所允許波形失真范圍的要求。 貝塞爾特性 貝塞爾濾波器的特征是群延遲特性沒有波動，因此對方波的階躍響應(yīng)過程中不產(chǎn)生上沖和波動。與階數(shù)相同的其他濾波器相比，階躍響應(yīng)達到最終穩(wěn)定值的速度更快。但是，它的衰減特性很差，阻帶衰減非常緩慢。這種濾波器的相位特性好，因而對于要求輸出信號波形不能失真（即不能有相位失真）的場合非常有用。 橢圓特性 橢圓函數(shù)型濾波器的特點則是通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)都有等波紋起伏。在切比雪夫特性的衰減區(qū)域插入陷波，使衰減特性進一步陡峭的就是橢圓特性。它能夠得到更加陡峭的衰減特性。但是，它會發(fā)生頻率特性的反彈，使最大衰減量受到限制，而且陷波的頻率越接近截止頻率，頻率的反彈就越大，使最大衰減量變小。當用于除去信號中含有的高的固定頻率的噪聲時，如果使陷波對噪聲頻率調(diào)諧，就可以以少的階數(shù)實現(xiàn)有效的濾波。 圖 至圖 就是巴特沃思型、切比雪夫型、橢圓函數(shù)型及貝塞爾型的低通濾波器特性示例。 第二章 濾波器的特性 15 圖 巴特沃思型 LPF特性示 例 圖 切比雪夫型 LPF特性示例 圖 橢圓函數(shù)型 LPF特性示例 LC 帶通濾波器的設(shè)計與性能仿真 16 圖 貝塞爾型 LPF特性示例 第三章 LC 帶通濾波器的設(shè)計 17 第三章 LC 帶通濾波器的設(shè)計 濾波器的設(shè)計是構(gòu)造電子電路的過程，設(shè)計出的電路滿足給定的技術(shù)指標。設(shè)計從技術(shù)指標開始，找出適合的函數(shù)來逼近，然后在該函數(shù)模型下進行歸一化低通濾波器的元件值的計算，再把計算出的歸一化低通原型通過頻率變換得到歸一化的所需原型（如帶通，高通等），再根據(jù)特征阻抗計算出最終濾波器的元件值。 本文主要研究具有切比雪夫響應(yīng)的 LC 帶通濾波器，因此只對切比雪夫帶通濾波器的設(shè)計過程進行說明，如果想進行其他類型濾波器的設(shè)計，可以參見其他經(jīng)典的濾波器設(shè)計書籍。 歸一化切比雪夫低通濾波器 切比雪夫濾波器 一個適當?shù)臑V波器幅度平方函數(shù)是 2 221| ( ) | ( 3 1 )1 ( )nHj T? ????? 式 式中 ε是一個獨立的參數(shù)，它決定了波紋幅度。利用 εTn(ω)的平方，可使 |H(jω)|2的分子和分母均為 ω2的多項式，且具有正值。具有 式 (31)所給出的幅度平方函數(shù)的濾波器稱為 n 階歸一化低 通切比雪夫濾波器，簡稱切比雪夫濾波器。 根據(jù)式 (31)和切比雪夫多項式的性質(zhì)， n 階歸一化低通切比雪夫濾波器具有下列基本特征 [4]： 切比雪夫特性 (一 )：對于 |ω|≤1， |H(jω)|2在 1/(1+ε2)和 1 之間波動。在 0≤ω≤1內(nèi)總共有 n 個極點，在這些點上 |H(jω)|2或為其最大值 1 或為其最小值 1/(1+ε2)。這就是切比雪夫濾波器又成為等波紋濾波器的原因。 切比雪夫特性 (二 )：當 ω≥1時， |H(jω)|2單調(diào)下降到零。高頻降落是每十倍頻程 20dB。 LC 帶通濾波器的設(shè)計與性能仿真 18 切比雪夫特性 (三 )： n 階切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù) 滿足 222221| ( 1 ) | ( 3 2)1| ( 0) | 11| ( 0) |1HjH j nH j n????????式當 為 奇 數(shù) 式 (33)和當 為 偶 數(shù) 式 (34) 給定一組通帶和阻帶條件，就可以確定波紋參數(shù) ε和切比雪夫濾波器的階數(shù) n。通常是給出通帶的最大波紋衰減 Ap 來代替 ε，這里 221( ) 1 0 l g 1 0 l g ( 1 ) ( 3 5 )1pA d B ??? ? ? ? ?? 式 因此，波紋參數(shù)由下式確定 0 . 1210 1 ( 3 6 )1 ( 3 6 )1pA ab???? ?? ? ????式為 反 射 系 數(shù) 式 階數(shù)的決定 設(shè)定 Ω為歸一化頻率： Ω=ω/ωp， ωp 稱為截止頻率。規(guī)定在頻帶 0≤Ω≤1(0≤ω≤ωp)范圍內(nèi)，最大衰減為 Ap。另外，規(guī)定在某一頻率 Ωs1(ωsωp)上，衰減 不得不小于 As。頻率范圍 0≤Ω≤1 為通帶， Ω≥Ωs 為阻帶， 1≤Ω≤Ωs 為過渡帶。 由式 (31)及式 (36)，得 2 2 10. 12 2 10. 11110 l g[ 1 c osh ( c osh ) ] ( 3 7 )c osh ( c osh ) 10 110 1c osh c oshssssAsAsnAnn???????? ? ? ?? ? ????式或或 由此得 0 . 111c o s h ( 1 0 1 / ) ( 3 8 )c o s hsAsn ?? ? ???? 式 由式 (36)知 第三章 LC 帶通濾波器的設(shè)計 19 0 . 11 0 1 ( 3 9 )pA? ? ? ?式 以此帶入式 (38),得 0 .10 .1110 .1121c os h ( 10 1 / 10 1)c os hc os h ( 10 1 / ( 1 ) ) ( 3 11 )c os hpssAAsAsnn ???????????????式 (310)或式 歸一化切比雪夫低通濾波器 本文 里所說的歸一化低通濾波器，是指特征阻抗為 1Ω，且截止頻率為1/(2π)Hz(約為 ）的低通濾波器。 在切比雪夫型濾波器的場合，從實用方便考慮，截止頻率沒有采用 3dB點的頻率，而是采用了“等起伏帶寬截止頻率”的概念。也就是說，把能夠得到等波紋起伏的頻帶寬度作為歸一化截止頻率 1/(2π)Hz。正如我們一再強調(diào)的那樣，這樣做的目的是為了能夠很簡便地按圖 ，從歸一化低通濾波器計算出待設(shè)計的濾波器。 也就是說，在設(shè)計切比雪夫型低通濾波器的時候，是以切比雪夫型歸一化低通濾波器的設(shè)計數(shù)據(jù)為基準濾波器，把它的等起伏帶寬截止頻率和特征阻抗的值，變換成待設(shè)計濾波器的等起伏 帶寬截止頻率和特征阻抗的值。 實現(xiàn)截止頻率變換的步驟是先求出待設(shè)計濾波器等起伏帶寬截止頻率與基準濾波器等起伏帶寬截止頻率的比值 M，并用這個 M去除基準濾波器的各元件值。 ()()()()( 3 12 )( 3 13 )( 3 14 )O L DN EWO L DN EWMLLMCCM????待 設(shè) 計 濾 波 器 的 等 起 伏 帶 寬 截 止 頻 率 式基 準 濾 波 器 的 等 起 伏 帶 寬 截 止 頻 率式式 實現(xiàn)特征阻抗變換的步驟是先求出待設(shè)計濾波器特征阻抗與基準濾波器特征阻抗的比值 K，并把經(jīng)過截止頻率變換后所得到的濾波器各電感元件值乘以 K，把LC 帶通濾波器的設(shè)計與性能仿真 20 各電容元件值除以 K。 ( ) ( )()()( 3 16)( 3 17 )N E W O L DO L DN E WKL L KCCK?? ? ???待 設(shè) 計 濾 波 器 的 特 征 阻 抗 式 (315)基 準 濾 波 器 的 特 征 阻 抗式式 圖 利用歸一化切比雪夫型 LPF設(shè)計數(shù)據(jù)來設(shè) 計濾波器時的步驟 完成了以上過程，就可以查表 [3]求出歸一化低通切比雪夫濾波器的設(shè)計數(shù)據(jù)。本文由于篇幅限制，僅列出 n=4,5 時，特征阻抗為 1Ω，且截止頻率為 1/(2π)Hz，起伏量從 的情況，如圖 所示。 歸一化切比雪夫型低通濾波器 等起伏帶寬截止頻率 特征阻抗 第三章 LC 帶通濾波器的設(shè)計 21 圖 歸一化低通切比雪夫濾波器的設(shè)計數(shù)據(jù) （左邊為 4階，右邊為 5階） 由低通到帶通的變換 因為歸一化低通濾波器是最容易實現(xiàn)的，且大多數(shù)的帶通、帶阻、高通都能夠通過一個適當?shù)淖儞Q從歸一化的低通結(jié)夠來滿足。因此要設(shè)計 LC 帶通濾波器，只要把前面設(shè)計的歸一 化低通原型通過頻率變換就能夠?qū)崿F(xiàn)