【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 第二章 濾波器的特性 9 第二章 濾波器的特性 實(shí)際的濾波器是按上述它對(duì)頻率成分的過濾特性和設(shè)計(jì)濾波器時(shí)所用的函數(shù)形式的組合情形來區(qū)分和命名的，且其中的函數(shù)形式名稱大都采用了某個(gè)數(shù)學(xué)家的名字。例如，所用函數(shù)形式為巴特沃思函數(shù)的低通濾波器就稱為巴特沃思型低通濾波器，所用函數(shù)為切比雪夫函數(shù)的低通濾波器就稱為切比雪夫型低通濾波器等，而所用函數(shù)為橢圓函數(shù)的高通（或其他）濾波器則直接稱為橢圓函 數(shù)型高通（或其他）濾波器。也就是說，濾波器的名稱一般包括函數(shù)名稱和過濾特性兩部分。 理想濾波器的特性 [3] 下面介紹具有理想過濾特性的濾波器對(duì)信號(hào)的過濾作用。雖然理想濾波器實(shí)際上是做不出來的，但只要能盡可能地接近理想特性，它就是好濾波器。 理想低通濾波器的特性如圖 所示。它能夠讓從零頻（即直流）到截止頻率 ?c之間的所有信號(hào)都沒有任何損失地通過，而讓高于截止頻率 ?c的所有信號(hào)毫無遺留地喪失殆盡。 理想高通濾波器的特性如圖 所示。它正好與理想低通濾波器相反，是讓高于截止頻率 ?c的所 有信號(hào)毫無損失地通過，而讓低于截止頻率的 ?c所有信號(hào)毫無遺留地喪失殆盡。 理想帶通濾波器的特性如圖 所示，它是讓中心頻率 ?c附近某一頻率范圍內(nèi)的所有信號(hào)都毫無損失地通過，而讓該頻率范圍以外的任何信號(hào)毫無遺留地喪失殆盡。 理想帶阻濾波器的特性如圖 所示，它正好與理想帶通濾波器相反。帶阻濾波器有時(shí)也被稱為帶陷器（ Band Elimination Filter,BEF）或陷波器（ Notch Filter)。 LC 帶通濾波器的設(shè)計(jì)與性能仿真 10 圖 理想低通濾波器的特性 圖 理想高通濾波器的特性 第二章 濾波器的特性 11 圖 理想帶通濾波器的特性 圖 理想帶阻濾波器的特性 在文章中以后說到各種濾波器時(shí)，可能會(huì)使用表 （英文符號(hào)）。 表 按通帶特性分類的濾波器名稱和英文簡(jiǎn)稱 LC 帶通濾波器的設(shè)計(jì)與性能仿真 12 實(shí)際濾波器的特性 實(shí)際當(dāng)中所設(shè)計(jì)出的濾波器，其特性不可能達(dá)到圖 所示的理想特性，一般都是圖 所示的情形。也就是說，實(shí)際濾波器對(duì)信號(hào)的衰減 t 是以截止頻率?c。為分界線而緩慢變化的。并且，圖 所示特性還只是個(gè)設(shè)計(jì)特性，也就是說，這個(gè)特性是在所使用的電容器和電感線圈都具有 理想特性的前提下得到的。而實(shí)際上，按照這個(gè)設(shè)計(jì)特性用實(shí)際電容器和實(shí)際電感線圈所制作出來的濾波器，有可能連圖 的特性也得不到，而只能得到圖 所示的特性。于是，便有了根據(jù)各種不同應(yīng)用目的而形成的不同類型的濾波器。 圖 理想低通濾波器的特性 圖 實(shí)際可設(shè)計(jì)的 LPF（巴特沃斯型） 第二章 濾波器的特性 13 圖 實(shí)際制作出來的 LPF的特性 由于理想濾波器的特性難以實(shí)現(xiàn)，因而設(shè)計(jì)當(dāng)中都是按某個(gè)函數(shù)形式來設(shè)計(jì)的，所以稱其為函數(shù)型濾波器。這些函數(shù)形式都是某種低通、高通或帶通濾波器名稱中的一部分，它決定 著實(shí)際濾波器的特性。由這些函數(shù)所決定的實(shí)際濾波特性各有其突出特點(diǎn)，有的衰減特性在截止區(qū)很陡峭，有的相位特性（即延時(shí)特性）較為規(guī)律，應(yīng)用當(dāng)中可以根據(jù)實(shí)際需要來選用。 巴特沃斯特性 巴特沃斯特性也叫最平坦型特性，是低通濾波器等濾波器中使用最多的特性。它的特征是通過區(qū)域中沒有增益的起伏，衰減區(qū)域的傾斜就是截止頻率附近開始的。它的振幅頻率特性是沒有凸峰的巴特沃斯特性。在相位的角頻率微分特性，即群延時(shí)特性方面的波動(dòng)。巴特沃斯濾波器的衰減特性和相位特性都相當(dāng)好，對(duì)構(gòu)成濾波器的器件的要求也不甚嚴(yán)格，易于 得到符合設(shè)計(jì)值的特性。因此在最初設(shè)計(jì)或者不知道使用哪種函數(shù)型合適的情況下，可以選取巴特沃思型濾波器。 切比雪夫特性 切比雪夫特性濾波器在通過區(qū)域允許的波動(dòng)下其截止特性有非常大的傾斜。假定在通過區(qū)域的波動(dòng)相等，那么對(duì)于給定的通過區(qū)域的波動(dòng)來說，能夠在截止頻率附近獲得最大傾斜的截止特性的就是切比雪夫特性。波動(dòng)越大，得到的截止特性越陡峭。如果只對(duì)衰減特性有要求，可以選取切比雪夫型濾波器。不過切比LC 帶通濾波器的設(shè)計(jì)與性能仿真 14 雪夫型濾波器的相位特性不好，要注意它對(duì)非正弦波信號(hào)會(huì)產(chǎn)生波形失真影響的問題。因而，當(dāng)切比雪夫型濾波器作 為 AD/DA 變換器的前置或后置濾波器，或者作為數(shù)字信號(hào)的濾波器來使用時(shí)，就不光考慮其截止特性是否滿足使用要求，而是還要考慮它是否滿足實(shí)際輸入信號(hào)所允許波形失真范圍的要求。 貝塞爾特性 貝塞爾濾波器的特征是群延遲特性沒有波動(dòng)，因此對(duì)方波的階躍響應(yīng)過程中不產(chǎn)生上沖和波動(dòng)。與階數(shù)相同的其他濾波器相比，階躍響應(yīng)達(dá)到最終穩(wěn)定值的速度更快。但是，它的衰減特性很差，阻帶衰減非常緩慢。這種濾波器的相位特性好，因而對(duì)于要求輸出信號(hào)波形不能失真（即不能有相位失真）的場(chǎng)合非常有用。 橢圓特性 橢圓函數(shù)型濾波器的特點(diǎn)則是通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)都有等波紋起伏。在切比雪夫特性的衰減區(qū)域插入陷波，使衰減特性進(jìn)一步陡峭的就是橢圓特性。它能夠得到更加陡峭的衰減特性。但是，它會(huì)發(fā)生頻率特性的反彈，使最大衰減量受到限制，而且陷波的頻率越接近截止頻率，頻率的反彈就越大，使最大衰減量變小。當(dāng)用于除去信號(hào)中含有的高的固定頻率的噪聲時(shí)，如果使陷波對(duì)噪聲頻率調(diào)諧，就可以以少的階數(shù)實(shí)現(xiàn)有效的濾波。 圖 至圖 就是巴特沃思型、切比雪夫型、橢圓函數(shù)型及貝塞爾型的低通濾波器特性示例。 第二章 濾波器的特性 15 圖 巴特沃思型 LPF特性示 例 圖 切比雪夫型 LPF特性示例 圖 橢圓函數(shù)型 LPF特性示例 LC 帶通濾波器的設(shè)計(jì)與性能仿真 16 圖 貝塞爾型 LPF特性示例 第三章 LC 帶通濾波器的設(shè)計(jì) 17 第三章 LC 帶通濾波器的設(shè)計(jì) 濾波器的設(shè)計(jì)是構(gòu)造電子電路的過程，設(shè)計(jì)出的電路滿足給定的技術(shù)指標(biāo)。設(shè)計(jì)從技術(shù)指標(biāo)開始，找出適合的函數(shù)來逼近，然后在該函數(shù)模型下進(jìn)行歸一化低通濾波器的元件值的計(jì)算，再把計(jì)算出的歸一化低通原型通過頻率變換得到歸一化的所需原型（如帶通，高通等），再根據(jù)特征阻抗計(jì)算出最終濾波器的元件值。 本文主要研究具有切比雪夫響應(yīng)的 LC 帶通濾波器，因此只對(duì)切比雪夫帶通濾波器的設(shè)計(jì)過程進(jìn)行說明，如果想進(jìn)行其他類型濾波器的設(shè)計(jì)，可以參見其他經(jīng)典的濾波器設(shè)計(jì)書籍。 歸一化切比雪夫低通濾波器 切比雪夫?yàn)V波器 一個(gè)適當(dāng)?shù)臑V波器幅度平方函數(shù)是 2 221| ( ) | ( 3 1 )1 ( )nHj T? ????? 式 式中 ε是一個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，它決定了波紋幅度。利用 εTn(ω)的平方，可使 |H(jω)|2的分子和分母均為 ω2的多項(xiàng)式，且具有正值。具有 式 (31)所給出的幅度平方函數(shù)的濾波器稱為 n 階歸一化低 通切比雪夫?yàn)V波器，簡(jiǎn)稱切比雪夫?yàn)V波器。 根據(jù)式 (31)和切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)， n 階歸一化低通切比雪夫?yàn)V波器具有下列基本特征 [4]： 切比雪夫特性 (一 )：對(duì)于 |ω|≤1， |H(jω)|2在 1/(1+ε2)和 1 之間波動(dòng)。在 0≤ω≤1內(nèi)總共有 n 個(gè)極點(diǎn)，在這些點(diǎn)上 |H(jω)|2或?yàn)槠渥畲笾?1 或?yàn)槠渥钚≈?1/(1+ε2)。這就是切比雪夫?yàn)V波器又成為等波紋濾波器的原因。 切比雪夫特性 (二 )：當(dāng) ω≥1時(shí)， |H(jω)|2單調(diào)下降到零。高頻降落是每十倍頻程 20dB。 LC 帶通濾波器的設(shè)計(jì)與性能仿真 18 切比雪夫特性 (三 )： n 階切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù) 滿足 222221| ( 1 ) | ( 3 2)1| ( 0) | 11| ( 0) |1HjH j nH j n????????式當(dāng) 為 奇 數(shù) 式 (33)和當(dāng) 為 偶 數(shù) 式 (34) 給定一組通帶和阻帶條件，就可以確定波紋參數(shù) ε和切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù) n。通常是給出通帶的最大波紋衰減 Ap 來代替 ε，這里 221( ) 1 0 l g 1 0 l g ( 1 ) ( 3 5 )1pA d B ??? ? ? ? ?? 式 因此，波紋參數(shù)由下式確定 0 . 1210 1 ( 3 6 )1 ( 3 6 )1pA ab???? ?? ? ????式為 反 射 系 數(shù) 式 階數(shù)的決定 設(shè)定 Ω為歸一化頻率： Ω=ω/ωp， ωp 稱為截止頻率。規(guī)定在頻帶 0≤Ω≤1(0≤ω≤ωp)范圍內(nèi)，最大衰減為 Ap。另外，規(guī)定在某一頻率 Ωs1(ωsωp)上，衰減 不得不小于 As。頻率范圍 0≤Ω≤1 為通帶， Ω≥Ωs 為阻帶， 1≤Ω≤Ωs 為過渡帶。 由式 (31)及式 (36)，得 2 2 10. 12 2 10. 11110 l g[ 1 c osh ( c osh ) ] ( 3 7 )c osh ( c osh ) 10 110 1c osh c oshssssAsAsnAnn???????? ? ? ?? ? ????式或或 由此得 0 . 111c o s h ( 1 0 1 / ) ( 3 8 )c o s hsAsn ?? ? ???? 式 由式 (36)知 第三章 LC 帶通濾波器的設(shè)計(jì) 19 0 . 11 0 1 ( 3 9 )pA? ? ? ?式 以此帶入式 (38),得 0 .10 .1110 .1121c os h ( 10 1 / 10 1)c os hc os h ( 10 1 / ( 1 ) ) ( 3 11 )c os hpssAAsAsnn ???????????????式 (310)或式 歸一化切比雪夫低通濾波器 本文 里所說的歸一化低通濾波器，是指特征阻抗為 1Ω，且截止頻率為1/(2π)Hz(約為 ）的低通濾波器。 在切比雪夫型濾波器的場(chǎng)合，從實(shí)用方便考慮，截止頻率沒有采用 3dB點(diǎn)的頻率，而是采用了“等起伏帶寬截止頻率”的概念。也就是說，把能夠得到等波紋起伏的頻帶寬度作為歸一化截止頻率 1/(2π)Hz。正如我們一再強(qiáng)調(diào)的那樣，這樣做的目的是為了能夠很簡(jiǎn)便地按圖 ，從歸一化低通濾波器計(jì)算出待設(shè)計(jì)的濾波器。 也就是說，在設(shè)計(jì)切比雪夫型低通濾波器的時(shí)候，是以切比雪夫型歸一化低通濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)濾波器，把它的等起伏帶寬截止頻率和特征阻抗的值，變換成待設(shè)計(jì)濾波器的等起伏 帶寬截止頻率和特征阻抗的值。 實(shí)現(xiàn)截止頻率變換的步驟是先求出待設(shè)計(jì)濾波器等起伏帶寬截止頻率與基準(zhǔn)濾波器等起伏帶寬截止頻率的比值 M，并用這個(gè) M去除基準(zhǔn)濾波器的各元件值。 ()()()()( 3 12 )( 3 13 )( 3 14 )O L DN EWO L DN EWMLLMCCM????待 設(shè) 計(jì) 濾 波 器 的 等 起 伏 帶 寬 截 止 頻 率 式基 準(zhǔn) 濾 波 器 的 等 起 伏 帶 寬 截 止 頻 率式式 實(shí)現(xiàn)特征阻抗變換的步驟是先求出待設(shè)計(jì)濾波器特征阻抗與基準(zhǔn)濾波器特征阻抗的比值 K，并把經(jīng)過截止頻率變換后所得到的濾波器各電感元件值乘以 K，把LC 帶通濾波器的設(shè)計(jì)與性能仿真 20 各電容元件值除以 K。 ( ) ( )()()( 3 16)( 3 17 )N E W O L DO L DN E WKL L KCCK?? ? ???待 設(shè) 計(jì) 濾 波 器 的 特 征 阻 抗 式 (315)基 準(zhǔn) 濾 波 器 的 特 征 阻 抗式式 圖 利用歸一化切比雪夫型 LPF設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)來設(shè) 計(jì)濾波器時(shí)的步驟 完成了以上過程，就可以查表 [3]求出歸一化低通切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)。本文由于篇幅限制，僅列出 n=4,5 時(shí)，特征阻抗為 1Ω，且截止頻率為 1/(2π)Hz，起伏量從 的情況，如圖 所示。 歸一化切比雪夫型低通濾波器 等起伏帶寬截止頻率 特征阻抗 第三章 LC 帶通濾波器的設(shè)計(jì) 21 圖 歸一化低通切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù) （左邊為 4階，右邊為 5階） 由低通到帶通的變換 因?yàn)闅w一化低通濾波器是最容易實(shí)現(xiàn)的，且大多數(shù)的帶通、帶阻、高通都能夠通過一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q從歸一化的低通結(jié)夠來滿足。因此要設(shè)計(jì) LC 帶通濾波器，只要把前面設(shè)計(jì)的歸一 化低通原型通過頻率變換就能夠?qū)崿F(xiàn)