【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 兩倍減去 3。 以上為各類型的標(biāo)準(zhǔn)情況，當(dāng)加測(cè)已知方向、已知邊長(zhǎng)時(shí)，還要具體情況具體分析。 而對(duì)于傳統(tǒng)的平面控制網(wǎng)，其誤差方程一般是非線性的?，F(xiàn)舉例說(shuō)明，觀測(cè)量平差值與參數(shù)間為非線性函數(shù)時(shí)組成誤差方程的方法。 圖 22 測(cè)角網(wǎng) 圖 23測(cè)邊網(wǎng) 例如在圖 22 中，不管選擇怎樣的一組參數(shù)，都將出現(xiàn)非線性形式的平差值方程。設(shè)以 D點(diǎn)坐標(biāo) DX? 和 DY? 為參數(shù)，由圖知，第 1 個(gè)平差值方程為 DADADBDBDADB XX YYXX YYL ??a rc t a n??a rc t a n??? 1 ???????? ?? (式 212) 式中， ),( AA YX , ),( BB YX 為已知點(diǎn) A 和 B 的坐標(biāo)。上式為非線性方程。 又如對(duì)圖 23 測(cè)邊交會(huì)圖形來(lái)說(shuō)，若選擇待定點(diǎn) D 的坐標(biāo)為參數(shù)，平差值為DX? 、 DY? ，由圖可列出其中第 1個(gè)平差值方程為 13 ? ? ? ?221 ??? ADAD YYXXL ???? (式 213) 它們也是非線性函數(shù)關(guān)系。 取 X? 的充分近似值 0X ， x? 是微小量，在按臺(tái)勞公式展開(kāi)時(shí)可以略去二次和二次以上的項(xiàng)，而只取至一次項(xiàng)，于是可對(duì)非線性平差值方程式線性化 ，將 ? ?12? ? ? ?,i i i i tL L V f X X X? ? ? = )?,?,?( 0202101 tti xXxXxXf ??? ? (式 214) 按臺(tái)勞公式展開(kāi)得 ? ?? ?002010202101,?????? tiittiiii XXXfLxXfxXfxXfv ?? ?????????? ???????????? ??????????? ??? (式 215) 令 01? ??????????? Xfa ii， 02? ??????????? Xfb ii，?， 0? ???????????tii Xft ? ?0 0 0 012, , ,i i i t i il L f X X X L L? ? ? ? (式 216) 式中 0iL 為相應(yīng)的函數(shù)的近似值，自由項(xiàng) il 為觀測(cè)值 iL 減去其近似值 0iL 。由此（式 215）式為 itiiii lxtxbxav ????? ??? 21 ? (式 217) 需要指出，線性化的誤差方程式是個(gè)近似式，因?yàn)樗匀チ??jx 的二次以上的各項(xiàng)。當(dāng) ?jx 很小時(shí)，略去高次項(xiàng)是不會(huì)影響計(jì)算精度的。如果由于某種原因不能求得較為精確的參數(shù) 的近似值，即 ),2,1(? txj ? 都很大，這樣，平差值之間仍然會(huì)存在不符值。此時(shí)，就要把第一次平差結(jié)果作為參數(shù)的近似值再進(jìn)行一次平差。 上面給出了非線性誤差方程的線性化一般方法，應(yīng)該說(shuō)掌握一般方法，可以對(duì)一切非線性誤差方程都可以線性化。下面結(jié)合常用的一些具體情況，來(lái)討論相應(yīng)誤差方程的線性化問(wèn)題，可以總結(jié)一些規(guī)律，便于實(shí)際應(yīng)用。 這里討論測(cè)角網(wǎng)中選擇待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值為參數(shù)時(shí)，誤差方程的線性化問(wèn)題。先介紹坐標(biāo)改正數(shù)與坐標(biāo)方位角改正數(shù)之間的關(guān)系。 圖 24方位 jk 在圖 24中， j、 k 是兩個(gè)待 定點(diǎn)，它們的近似坐標(biāo)為 0 0 0 0, , ,j j k kX Y X Y 。 14 根據(jù)這些近似坐標(biāo)可以計(jì)算 j、 k兩點(diǎn)間的近似坐標(biāo)方位角 0jka 和近似邊長(zhǎng) 0jkS 。設(shè)這兩點(diǎn)的近似坐標(biāo)改正數(shù)為 ? ? ? ?, , ,j j k kx y x y ，即 .??,????,??0000kkkkkkjjjjjjyYYxXXyYYxXX???????? 由近似坐標(biāo)改正數(shù)引起的近似坐標(biāo)方位角的改正數(shù)為 jk?? ，即 0? jk jk jk? ? ???? 式 218) 現(xiàn)求坐標(biāo)改正數(shù) ? ? ? ?, , ,j j k kx y x y 與坐標(biāo)方位角改正數(shù) jk?? 之間的線性關(guān)系。 根據(jù)圖 24可以寫(xiě)出 ? ? ? ?? ? ? ?00? ?? a r c ta n ? ?k k j jjk k k j jY y Y yX x X x?? ? ??? ? ?， 將上式右端按臺(tái)勞公式展開(kāi)，得 00000000? ? ? ?? ? ? ? ?a r c t a n ? ? ? ?k j jk jk jk jkjk j j k kkj j j k kYY x y x yXX X Y X Y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 等式中右邊第一項(xiàng)就是由近似坐標(biāo)算 得的近似坐標(biāo)方位角 0jk? ，對(duì)照（式 218）式可知 kkjkkkjkjjjkjjjkjk yYxXyYxX ????????????0000 ???????? ??????????? ??????????? ??????????? ??? ?????? (式 219) 式中 2002020000020000200000)()()()(1)(??jkjkjkjkjkjkjkjkjkjjkSYYYXXYYXXYYXXYYX??????????????????????? ? 同理可得 ? ?? ?? ?020002000200?,??,??jk jkj jkjk jkk jkjk jkk jkXY SYX SXY S??????????????????????????????????? 15 將上列結(jié)果代入（式 219）式，并顧及全式的單位得 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 02 2 2 20 0 0 0? ? ? ?jk jk jk jkjk j j k kjk jk jk jkY X Y Xx y x yS S S S? ? ? ??? ?? ?? ?? ??? ? ? ??? ? ? ? ? (式 220) 或?qū)懗? kjk jkkjk jkjjk jkjjk jkjk ySxSySxS ?c os?s i n?c os?s i n00000000 ?????????? ???? (式 221) 上式就是坐標(biāo)改正數(shù)與坐標(biāo)方位角改正數(shù)間的一般關(guān)系式，稱為坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程。其中 ?? 以秒為單位。平差計(jì)算時(shí)，可按不同的情況靈活應(yīng)用上式。例如： （ 1）若某邊的兩端均為待定點(diǎn)，則坐標(biāo)改正數(shù)與坐標(biāo)方位角改正數(shù)間的關(guān)系式就是（式 221）式。此時(shí)， ?jx 與 ?kx 前的系數(shù)的絕對(duì)值相等； ?jy 與 ?ky 前的系數(shù)的絕對(duì)值 也相等； （ 2）若測(cè)站點(diǎn) j為已知點(diǎn)，則 ? ? 0jjxy??，得 kjkjkkjkjkjk yS XxS Y ?)(?)( 20 020 0 ????? ????， （式 222） 若照準(zhǔn)點(diǎn) k為已知點(diǎn)，則 0?? ?? kk yx ，得 jjkjkjjkjkjk yS XxS Y ?)( ?)( 20 020 0 ????? ????， （式 223） （ 3）若某邊的兩個(gè)端點(diǎn)均為已知點(diǎn)，則 0???? ???? kkjj yxyx ，得， 0 ?jk?? （ 4）同一邊的正反坐標(biāo)方位角的改正數(shù)相等，它們與坐標(biāo)改正數(shù)的關(guān)系式也一樣，這是因?yàn)? jjk kjjjk kjkjk kjkjk kjkj ySXxS YyS XxS Y ?)(?)(?)(?)(200200200200 ????????? ?????? 對(duì)照（式 211）式，顧及 00 kjjk YY ???? ，00 kjjk XX ???? ，得 kjjk ???? ? 。據(jù)此，實(shí)際計(jì)算時(shí)，只要對(duì)每條待定邊計(jì)算一個(gè)坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程即可。 圖 25方位角 對(duì)于角度觀測(cè)值 iL （圖 25）來(lái)說(shuō)，其觀測(cè)方程為 16 jhjkii vL ?? ?? ??? （式 223） 將 ???? ?? 0? 代入，并令 000 )( iijhjkii LLLl ????? ?? (式 224) 可得 ijhjki lv ??? ???? （式 225） 然后根據(jù)這個(gè)角的三個(gè)端點(diǎn) j、 h、 k是已知點(diǎn)還是未知點(diǎn)而靈活運(yùn)用（式 219），并以此代入（ 225）式，即得線性化后的誤差方程。例如， j、 h、 k點(diǎn)都是未知點(diǎn)時(shí)，（ 225 式） 為： ihjhjhhjhjhjjhjhjjhjhkjkjkkjkjkjjkjkjjkjkilyS XxS YyS XxS YyS XxS YyS XxS Yv??????????? ?????????????????)(?)(?)(?)(?)(?)(?)(?)(200200200200200200200200???????? 合并同類項(xiàng)最后可得 （式 226） 上式即為線性化后的觀測(cè)角度的誤差方程式，可以當(dāng)作公式使用。 綜上所述，對(duì)于角度觀測(cè)的三角網(wǎng)，采用間接平差，選擇待定點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)時(shí)，列誤差方程的步驟為： ① 計(jì)算各待定點(diǎn)的近似坐標(biāo) 00,YX ； ② 由待定點(diǎn)的近似 坐標(biāo)和已知點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算各待定邊的近似坐標(biāo)方位角 0? 和近似邊長(zhǎng) 0S ； ③ 列出各待定邊的坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程，并計(jì)算其系數(shù)； ④ 按照（式 226）、（式 224）式列出誤差方程。 3．測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程 圖 26邊長(zhǎng) jk 下面討論在測(cè)邊網(wǎng)平差中，選擇待定點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)時(shí)的誤差方程的線性化問(wèn)題。 i h jh jh h jh jh k jk jk k jk jk j jh jh jk jk j jh jh jk jk i l y S X x S Y y S X x S Y y S X S X x S Y S Y v ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?) ( ?) ( ?) ( ?) ( ?) ( ) ( ?) ( ) ( 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 ? ? ? ? ? ? 17 先討論一般情況。在圖 26 中，測(cè)得待定點(diǎn)間的邊長(zhǎng) iL ，設(shè)待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值 jX? 、 jY? 、 kX? 和 kY? 為參數(shù)，令 .??,????,??0000kkkkkkjjjjjjyYYxXXyYYxXX???????? 由圖 26可寫(xiě)出 iL? 的平差值方程為 22 )??()??(? jkjkiii YYXXvLL ?????? （式 227） 按臺(tái)勞公式展開(kāi)，得 )??()??( 00000jkjk jkjkjk jkjkii yySYxxSXSvL ????????