【文章內容簡介】 測試儀設計 第 8 頁 共 27 頁 在式 (32)中取，NTnt?，則 nkTjkNTnTjktj eeenxNTnxtx ??? 22),()( ?? ?????????? () 由以上結論式 (33)可變?yōu)椋? nkNfNkNTnNjk enxTenxTkX ?? 2102 )(1)(1)( ????? ??? () 式中 k=0， 1， 2， 3? 又由于 ??? )(2 nknNjke ? ?? 22 fnkNjk ee ?? = nkNjke ?2? ，所以離散頻譜 x(足 )也是以 N個離散點為周期，由此可以引出離散傅立葉變換。 由于 X(k)具有周期性，我們只取 X(k)其中一個周期的序列，即 0～ N1的采 樣值，這時 X(k)為： ??? ?? 10 2)()(X Nk nkTfenxk ? k=0,1,2,3...N1 () 離散傅立葉變換在信號處 k理 =0領域具 有及其重要的意義，主要體現(xiàn)在：由于計算機硬件限制，同時也沒必要無限長地對輸入信號進行采樣，因此，實際采樣所得到的離散時間序列是有限長的離散時間序列。這時，可構造一個周期性的離散時間序列，使其在每個周期內的離散時間序列都和有限長的離散時間序列相同。采用離散傅立葉變換原理，只取周期性的離散時間序列其中的一個周期序列的采樣值進行分析即可。 對于本分析儀，假設對信號進行 N次采樣，采樣率是 fs ，采樣信號的時域表示為 x(n)其中 0≤ n≤N1， (注： x(n)代表電壓信號材 u(n)或電流信號 i (n)，為分析方便，一律用 x(n)表示。 )則相鄰采樣間隔為sf1t?? ，對這 N個采樣點進行離散傅立葉變換， 極坐標形式的表達式： ??? ?????? ? ???? 101010 2 /)(}2s i n2){ c os()()(X Nk knNNkNk nkNf wnxnkNjnkNnxenxk ??? () 其中： k=0， 1?2?N1， NjN eW /2??? 。 輸出的結果 X(k)就是 x(n)的頻域顯示。與時域中之間的時間間隔 t? 類似，在頻域中相鄰采樣點間也存在頻率 間隔： tNNff s ???? 1 () 長江師范學院本科畢業(yè)設計基于 LabVIEW 虛擬儀器的諧波測試儀設計 第 9 頁 共 27 頁 它是頻域顯示的相鄰譜線之間的頻率間隔，也稱為分辨率。 在這里簡要分析一下． f的取值： 根據采樣定理，為避免信號在采樣后各次諧波頻譜彼此不重疊，必須使采樣頻率 sf 至少是原模擬信號頻譜中最高頻率 hf 的二倍， hf 被稱為奈奎斯特頻率 ]10[ 。 在本諧波測試儀中，只考慮 150諧波，因此頻率高于 50*50Hz的諧波可用低通濾波器將其過濾掉。由于不可能制造出截止特性非常陡銳的低通濾波器，所以在 ksk fff ?與 之間要有一個保護帶，因為當頻率稍高于五時仍有小部分信號分量存在，這時，如果只取 sf =2kf 以則在所產生的副瓣頻譜將有 一小部分和有用信號頻帶重疊引起失真。因此，采 樣率必須稍大于理想的最小值。 快速傅立葉變換 (FFT)計算原理 上述計算屬于直接計算離散傅立葉變換 (DFT)，按 (36)式計算某個 x(k)值需要 N次 x(n) knNW 形式的復數(shù)乘法及 N1次的復數(shù)加法的運算。 x(k)共有 N個點 (K從 0取到 N1)，所以完成 DFT的總計算量則為 2N次復數(shù)相乘及 N(N一 1)次復數(shù)相加。當 N很大時，所需的運算工作量非常可觀。本測試系統(tǒng)中，若 N=1000，則需要 1000， 000即一百萬次的復乘 運算，顯然不滿足諧波在線監(jiān)測對時間的要求，因此，在本監(jiān)測系統(tǒng)中采用按時間抽取的 FFT算法。 FFT算法要求采樣點數(shù) N必須是 2的整數(shù)幕，即 n2N? ， n為整數(shù)。如果不滿足此條件，可以人為加上若干零值點來達到。本監(jiān)測系統(tǒng)中 N=1000，可以加上 24個零值點使得 1000+24=1024= 102 ，這種 N為 2的整數(shù)冪的 FFT也稱為“基 2FFT”。由 ()式定義，將輸入信號序列戈 (胛 )按 n的奇偶分成兩個子序列： )()12()()2(x 21 rxrxrxr ??? 和 r=0,1,2,3... 12?N () 則式 ()可化為 : X(k)=? ??????1N010 )()(kNkknNknN WnxWnx n為偶數(shù) n為奇數(shù) =???1202)2(NkrkNWrx +?????120)12()12(NkkrNWrx =???12021 ))((NkrkNWrx +???12022 ))((NkrkNWrx () 長江師范學院本科畢業(yè)設計基于 LabVIEW 虛擬儀器的諧波測試儀設計 第 10 頁 共 27 頁 由于2222WNNfN We ??? ? ，則上式可變?yōu)椋? X(k)= rkwNNkWrx )(20 1??+ rkwNNkrkN WrxW )(20 22 ??=X1 (k)+W )(2 kXkN () 式（ 310）中的 )(1kX 和 )(2kX 是 )(1rX 和2N)(2 的rXDFT。它表明了一個 N點的 DFT被分解為兩個2N點的 DFT，由 W系數(shù)的周期性，即： WrkN2= W ???????2N2krN可得 ： X )2(1 kN?= )2(2120 1)( KNrNNrWrx???= rKNNrWrx2120 1)(??? () 即： )(2 11 kXkNX ??????? ? () 同理得： )(2 22 kXkNX ??????? ? () 式 ()與式 ()說明后半部分 k值所對應的 )(1kX ， )(2 kX 則是完全重復了前半 部分 k值所對應的)(1kX 和 )(2 kX 值。 另外又考慮到 knW 的對稱性 kNkNNNkNN WWWW ???? *2)2( （ ） 將式 ()()()代入式 ()中，就可將 )(kX 表達成前后兩部分： K=0 12 ??N 的前半部分： X(k)=X )()( 21 kXWk kN? k=0,1,2,3… 12?N () K= ?2N 12?N 的后半部分： X )()(222 2)2(1221 kXWkXkNXWkNXkN kNNkNN ?? ???????? ???????? ???????? ? K=0,1,2… 12?N () 長江師范學院本科畢業(yè)設計基于 LabVIEW 虛擬儀器的諧波測試儀設計 第 11 頁 共 27 頁 由上述分析可見只要求出 (0到 N/21)區(qū)間內的各個整數(shù) k值所對應的 )(1kX 、 )(2 kX 值，即可求出（ 0到 N1)區(qū)間內的全部 )(kX 值，這就是 FFT能 夠大量節(jié)省計算的關鍵所在。經驗證 ， FFT算法較直接計算 DFT的計算量減少一、二個數(shù)量級，而且隨著 N的增大，優(yōu)點更加突出 ]1211[ ? 。 諧波分析理論 諧波定義 國際上公認的諧波含義為 ]13[ ：諧波是一個周期性電器量的正弦波分量，其頻率為基波頻率的整數(shù)倍。由于諧波的頻率是基波頻率的整數(shù)倍數(shù)，我們也常稱之為高次諧波。在國際電工標準中 (IEC5552，1982)、國際大電網會議 (CIGI冱 )的文獻中對諧波也有了明確的定義：諧波分量為周期量的傅里葉級數(shù)中大于 1的 n次分量； IEEE標準中的定義為：諧波為一周期波形量的正弦波分量，其頻率為基波頻率的整數(shù)倍 ]14[ 以上定義明確了有關諧波性質的下列幾個問題： 諧波次數(shù) n必須是一個正整數(shù)。例如，我國的電力系統(tǒng)額定頻率為 50Hz，則其基波為 50Hz，二次諧波為 100Hz，三次諧波為 150Hz。 n不能為非整數(shù)，因此也不能有非整數(shù)諧波： 必須嚴格區(qū)別諧波現(xiàn)象和暫態(tài)現(xiàn)象．為了區(qū)分諧波和暫態(tài)現(xiàn)象，根據傅立葉級數(shù)的基本理論，被變換的波形必須是周期性的。雖然實際上很難完全做到，因為電力系 統(tǒng)負荷是變動的，而負荷的變動會影響系統(tǒng)中諧波含量，但在實際分析中只要被分析的現(xiàn)象或情況持續(xù)一段適當?shù)臅r間，就可以應用傅里葉變換。因此，需要區(qū)分清楚什么是諧波現(xiàn)象 (波形保持不變 )和什么是暫態(tài)現(xiàn)象 (每周的波形都發(fā)生變化 )。 諧波分析原理 有關諧波的數(shù)學分析在 13世紀和 19世紀就已奠定了良好的基礎，傅立葉等人提出的諧波分析方法至今仍被廣泛應用。 目前，諧波測量最常用的方法為離散傅里葉變換 (DFT)和快速傅里葉變換 (FFT)。離散傅里葉變換的計算量與變換區(qū)間的長度 N的平方成正比。諧波分析時，為保證計算精度 ， N取值較大，因此計算量很大?？焖俑道锶~變換是離散傅里葉變換的快速算法，它能使 DFT的運算效率提高 1． 2個數(shù)量級，因此在諧波分析中廣泛采用。 對電力系統(tǒng)諧波分析的主要目的是測量電力系統(tǒng)中高次諧波的含量 [15]：包括各次諧波的頻率、幅值和相位，畸變波形的周期電壓、電流有效值，諧波相對基波的幅值比例 (常稱為總諧波畸變率 THD)，基波信號相對噪聲 (或諧波信號 )的均方值比例 (即 SINAD)，當然基波的頻率和幅值也長江師范學院本科畢業(yè)設計基于 LabVIEW 虛擬儀器的諧波測試儀設計 第 12 頁 共 27 頁 是諧波分析必然要測量的。進一步還可以包括有功功率、功功率、視在功率、功率因數(shù)。由于電力系統(tǒng)的諧波分析重點在 于測量周期信號波形的畸變情況，所以，諧波分析還經常被稱作波形畸變分析。 為了定量表示電力系統(tǒng)波形偏離程度，采用以各次諧波含量和諧波總量大小來表示下列波形畸變指標。 第 k次諧波電壓的含有率： HRU %1001 ?? UUkk （ ） 第 k次諧波電流的含有率： HRU %1001 ?? IIkn () 總的諧波畸變率 (Total Harmonc Distortion THD