【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 測(cè)試儀設(shè)計(jì) 第 8 頁(yè) 共 27 頁(yè) 在式 (32)中取，NTnt?，則 nkTjkNTnTjktj eeenxNTnxtx ??? 22),()( ?? ?????????? () 由以上結(jié)論式 (33)可變?yōu)椋? nkNfNkNTnNjk enxTenxTkX ?? 2102 )(1)(1)( ????? ??? () 式中 k=0， 1， 2， 3? 又由于 ??? )(2 nknNjke ? ?? 22 fnkNjk ee ?? = nkNjke ?2? ，所以離散頻譜 x(足 )也是以 N個(gè)離散點(diǎn)為周期，由此可以引出離散傅立葉變換。 由于 X(k)具有周期性，我們只取 X(k)其中一個(gè)周期的序列，即 0～ N1的采 樣值，這時(shí) X(k)為： ??? ?? 10 2)()(X Nk nkTfenxk ? k=0,1,2,3...N1 () 離散傅立葉變換在信號(hào)處 k理 =0領(lǐng)域具 有及其重要的意義，主要體現(xiàn)在：由于計(jì)算機(jī)硬件限制，同時(shí)也沒必要無限長(zhǎng)地對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行采樣，因此，實(shí)際采樣所得到的離散時(shí)間序列是有限長(zhǎng)的離散時(shí)間序列。這時(shí)，可構(gòu)造一個(gè)周期性的離散時(shí)間序列，使其在每個(gè)周期內(nèi)的離散時(shí)間序列都和有限長(zhǎng)的離散時(shí)間序列相同。采用離散傅立葉變換原理，只取周期性的離散時(shí)間序列其中的一個(gè)周期序列的采樣值進(jìn)行分析即可。 對(duì)于本分析儀，假設(shè)對(duì)信號(hào)進(jìn)行 N次采樣，采樣率是 fs ，采樣信號(hào)的時(shí)域表示為 x(n)其中 0≤ n≤N1， (注： x(n)代表電壓信號(hào)材 u(n)或電流信號(hào) i (n)，為分析方便，一律用 x(n)表示。 )則相鄰采樣間隔為sf1t?? ，對(duì)這 N個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行離散傅立葉變換， 極坐標(biāo)形式的表達(dá)式： ??? ?????? ? ???? 101010 2 /)(}2s i n2){ c os()()(X Nk knNNkNk nkNf wnxnkNjnkNnxenxk ??? () 其中： k=0， 1?2?N1， NjN eW /2??? 。 輸出的結(jié)果 X(k)就是 x(n)的頻域顯示。與時(shí)域中之間的時(shí)間間隔 t? 類似，在頻域中相鄰采樣點(diǎn)間也存在頻率 間隔： tNNff s ???? 1 () 長(zhǎng)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于 LabVIEW 虛擬儀器的諧波測(cè)試儀設(shè)計(jì) 第 9 頁(yè) 共 27 頁(yè) 它是頻域顯示的相鄰譜線之間的頻率間隔，也稱為分辨率。 在這里簡(jiǎn)要分析一下． f的取值： 根據(jù)采樣定理，為避免信號(hào)在采樣后各次諧波頻譜彼此不重疊，必須使采樣頻率 sf 至少是原模擬信號(hào)頻譜中最高頻率 hf 的二倍， hf 被稱為奈奎斯特頻率 ]10[ 。 在本諧波測(cè)試儀中，只考慮 150諧波，因此頻率高于 50*50Hz的諧波可用低通濾波器將其過濾掉。由于不可能制造出截止特性非常陡銳的低通濾波器，所以在 ksk fff ?與 之間要有一個(gè)保護(hù)帶，因?yàn)楫?dāng)頻率稍高于五時(shí)仍有小部分信號(hào)分量存在，這時(shí)，如果只取 sf =2kf 以則在所產(chǎn)生的副瓣頻譜將有 一小部分和有用信號(hào)頻帶重疊引起失真。因此，采 樣率必須稍大于理想的最小值。 快速傅立葉變換 (FFT)計(jì)算原理 上述計(jì)算屬于直接計(jì)算離散傅立葉變換 (DFT)，按 (36)式計(jì)算某個(gè) x(k)值需要 N次 x(n) knNW 形式的復(fù)數(shù)乘法及 N1次的復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算。 x(k)共有 N個(gè)點(diǎn) (K從 0取到 N1)，所以完成 DFT的總計(jì)算量則為 2N次復(fù)數(shù)相乘及 N(N一 1)次復(fù)數(shù)相加。當(dāng) N很大時(shí)，所需的運(yùn)算工作量非?？捎^。本測(cè)試系統(tǒng)中，若 N=1000，則需要 1000， 000即一百萬次的復(fù)乘 運(yùn)算，顯然不滿足諧波在線監(jiān)測(cè)對(duì)時(shí)間的要求，因此，在本監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中采用按時(shí)間抽取的 FFT算法。 FFT算法要求采樣點(diǎn)數(shù) N必須是 2的整數(shù)幕，即 n2N? ， n為整數(shù)。如果不滿足此條件，可以人為加上若干零值點(diǎn)來達(dá)到。本監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中 N=1000，可以加上 24個(gè)零值點(diǎn)使得 1000+24=1024= 102 ，這種 N為 2的整數(shù)冪的 FFT也稱為“基 2FFT”。由 ()式定義，將輸入信號(hào)序列戈 (胛 )按 n的奇偶分成兩個(gè)子序列： )()12()()2(x 21 rxrxrxr ??? 和 r=0,1,2,3... 12?N () 則式 ()可化為 : X(k)=? ??????1N010 )()(kNkknNknN WnxWnx n為偶數(shù) n為奇數(shù) =???1202)2(NkrkNWrx +?????120)12()12(NkkrNWrx =???12021 ))((NkrkNWrx +???12022 ))((NkrkNWrx () 長(zhǎng)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于 LabVIEW 虛擬儀器的諧波測(cè)試儀設(shè)計(jì) 第 10 頁(yè) 共 27 頁(yè) 由于2222WNNfN We ??? ? ，則上式可變?yōu)椋? X(k)= rkwNNkWrx )(20 1??+ rkwNNkrkN WrxW )(20 22 ??=X1 (k)+W )(2 kXkN () 式（ 310）中的 )(1kX 和 )(2kX 是 )(1rX 和2N)(2 的rXDFT。它表明了一個(gè) N點(diǎn)的 DFT被分解為兩個(gè)2N點(diǎn)的 DFT，由 W系數(shù)的周期性，即： WrkN2= W ???????2N2krN可得 ： X )2(1 kN?= )2(2120 1)( KNrNNrWrx???= rKNNrWrx2120 1)(??? () 即： )(2 11 kXkNX ??????? ? () 同理得： )(2 22 kXkNX ??????? ? () 式 ()與式 ()說明后半部分 k值所對(duì)應(yīng)的 )(1kX ， )(2 kX 則是完全重復(fù)了前半 部分 k值所對(duì)應(yīng)的)(1kX 和 )(2 kX 值。 另外又考慮到 knW 的對(duì)稱性 kNkNNNkNN WWWW ???? *2)2( （ ） 將式 ()()()代入式 ()中，就可將 )(kX 表達(dá)成前后兩部分： K=0 12 ??N 的前半部分： X(k)=X )()( 21 kXWk kN? k=0,1,2,3… 12?N () K= ?2N 12?N 的后半部分： X )()(222 2)2(1221 kXWkXkNXWkNXkN kNNkNN ?? ???????? ???????? ???????? ? K=0,1,2… 12?N () 長(zhǎng)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于 LabVIEW 虛擬儀器的諧波測(cè)試儀設(shè)計(jì) 第 11 頁(yè) 共 27 頁(yè) 由上述分析可見只要求出 (0到 N/21)區(qū)間內(nèi)的各個(gè)整數(shù) k值所對(duì)應(yīng)的 )(1kX 、 )(2 kX 值，即可求出（ 0到 N1)區(qū)間內(nèi)的全部 )(kX 值，這就是 FFT能 夠大量節(jié)省計(jì)算的關(guān)鍵所在。經(jīng)驗(yàn)證 ， FFT算法較直接計(jì)算 DFT的計(jì)算量減少一、二個(gè)數(shù)量級(jí)，而且隨著 N的增大，優(yōu)點(diǎn)更加突出 ]1211[ ? 。 諧波分析理論 諧波定義 國(guó)際上公認(rèn)的諧波含義為 ]13[ ：諧波是一個(gè)周期性電器量的正弦波分量，其頻率為基波頻率的整數(shù)倍。由于諧波的頻率是基波頻率的整數(shù)倍數(shù)，我們也常稱之為高次諧波。在國(guó)際電工標(biāo)準(zhǔn)中 (IEC5552，1982)、國(guó)際大電網(wǎng)會(huì)議 (CIGI冱 )的文獻(xiàn)中對(duì)諧波也有了明確的定義：諧波分量為周期量的傅里葉級(jí)數(shù)中大于 1的 n次分量； IEEE標(biāo)準(zhǔn)中的定義為：諧波為一周期波形量的正弦波分量，其頻率為基波頻率的整數(shù)倍 ]14[ 以上定義明確了有關(guān)諧波性質(zhì)的下列幾個(gè)問題： 諧波次數(shù) n必須是一個(gè)正整數(shù)。例如，我國(guó)的電力系統(tǒng)額定頻率為 50Hz，則其基波為 50Hz，二次諧波為 100Hz，三次諧波為 150Hz。 n不能為非整數(shù)，因此也不能有非整數(shù)諧波： 必須嚴(yán)格區(qū)別諧波現(xiàn)象和暫態(tài)現(xiàn)象．為了區(qū)分諧波和暫態(tài)現(xiàn)象，根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)的基本理論，被變換的波形必須是周期性的。雖然實(shí)際上很難完全做到，因?yàn)殡娏ο?統(tǒng)負(fù)荷是變動(dòng)的，而負(fù)荷的變動(dòng)會(huì)影響系統(tǒng)中諧波含量，但在實(shí)際分析中只要被分析的現(xiàn)象或情況持續(xù)一段適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，就可以應(yīng)用傅里葉變換。因此，需要區(qū)分清楚什么是諧波現(xiàn)象 (波形保持不變 )和什么是暫態(tài)現(xiàn)象 (每周的波形都發(fā)生變化 )。 諧波分析原理 有關(guān)諧波的數(shù)學(xué)分析在 13世紀(jì)和 19世紀(jì)就已奠定了良好的基礎(chǔ)，傅立葉等人提出的諧波分析方法至今仍被廣泛應(yīng)用。 目前，諧波測(cè)量最常用的方法為離散傅里葉變換 (DFT)和快速傅里葉變換 (FFT)。離散傅里葉變換的計(jì)算量與變換區(qū)間的長(zhǎng)度 N的平方成正比。諧波分析時(shí)，為保證計(jì)算精度 ， N取值較大，因此計(jì)算量很大?？焖俑道锶~變換是離散傅里葉變換的快速算法，它能使 DFT的運(yùn)算效率提高 1． 2個(gè)數(shù)量級(jí)，因此在諧波分析中廣泛采用。 對(duì)電力系統(tǒng)諧波分析的主要目的是測(cè)量電力系統(tǒng)中高次諧波的含量 [15]：包括各次諧波的頻率、幅值和相位，畸變波形的周期電壓、電流有效值，諧波相對(duì)基波的幅值比例 (常稱為總諧波畸變率 THD)，基波信號(hào)相對(duì)噪聲 (或諧波信號(hào) )的均方值比例 (即 SINAD)，當(dāng)然基波的頻率和幅值也長(zhǎng)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)基于 LabVIEW 虛擬儀器的諧波測(cè)試儀設(shè)計(jì) 第 12 頁(yè) 共 27 頁(yè) 是諧波分析必然要測(cè)量的。進(jìn)一步還可以包括有功功率、功功率、視在功率、功率因數(shù)。由于電力系統(tǒng)的諧波分析重點(diǎn)在 于測(cè)量周期信號(hào)波形的畸變情況，所以，諧波分析還經(jīng)常被稱作波形畸變分析。 為了定量表示電力系統(tǒng)波形偏離程度，采用以各次諧波含量和諧波總量大小來表示下列波形畸變指標(biāo)。 第 k次諧波電壓的含有率： HRU %1001 ?? UUkk （ ） 第 k次諧波電流的含有率： HRU %1001 ?? IIkn () 總的諧波畸變率 (Total Harmonc Distortion THD