【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 必要的． 2）由引理也是必要的．證畢． 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 子群 定理 一個(gè)群 G的一個(gè)非空子集 H構(gòu)成一個(gè)子群的充分必要條件是：對(duì)于任意 a， b?H，有 ab?1?H． 證明 我們證明這個(gè)條件和定理 一致的，即和定理 ． 先證明由定理 1的兩個(gè)條件可推出這個(gè)條件． a，b?H，有 b?1?H，則 ab?1?H． 反過(guò)來(lái)，這個(gè)條件可推出定理 1的兩個(gè)條件． 由 a?H，有 aa?1 = e?H，于是 ea?1 = a?1?H． 又由 a， b?H，（參照上一行，）有 b?1?H，于是a(b?1) ?1 = ab?H．證畢． 在判定子群時(shí)，此定理經(jīng)常用到 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 子群 定理 一個(gè)群 G的一個(gè)非空有限子集 H構(gòu)成一個(gè)子群的充分必要條件是：對(duì)于任意 a， b?H，有 ab?H． 證明 H是有限集合，我們證明 H滿足 3的 3個(gè)條件． H顯然滿足封閉性；結(jié)合律在 G中滿足，在 H中自然滿足；消去律在 G中滿足，在 H中自然滿足． 故 H是一個(gè)群． 定理 3表明一個(gè)群的一個(gè)非空有限子集是一個(gè)群的充分必要條件是：只要它滿足封閉性． 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 子群 例 例 mZ是 Z的子群，現(xiàn)在我們用定理 mZ是 Z的子群． 設(shè) a， b?mZ，則有 t1， t2?Z，使 a = mt1， b = mt2． b在 Z中的加法逆元是 ?b，于是 a+(?b) = mt1+(?mt2) = m(t1?t2) 由于 t3 = t1?t2?Z，所以 a+(?b) = mt3?mZ 則 mZ是子群 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 子群 例 3 復(fù)數(shù)域上的 8次方程 z8?1=0的根集合 { ， k=0， 1， 2， … ， 7} 是一個(gè)乘法群．由定理 3可驗(yàn)證其中的子集 { ， k=0， 1， 2， 3}是一個(gè)子群 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 定義 1 一個(gè)集合 A到另一個(gè)集合 B的映射 f是? a?A，都有一個(gè)確定的 b = f(a)?B 與之對(duì)應(yīng)． b稱為 a在 f下的 像 ，而 a稱為 b在 f下的一個(gè) 逆 像（原像） ． 同構(gòu)與同態(tài) —— 映射 A f a b B 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 映射 ? a， b?A，如果 a ? b，就有 f(a) ? f(b)， 則稱 f為 單射 ． ? b?B，總有 a?A，使 f(a) = b， 則稱 f為 滿射 ．既是滿射又是單射的映射稱為 一一映射 ． 單射的含義就是 A中的每個(gè)元素在 B中有不同的像，滿射是 B中的每個(gè)元素都成為 A中元素的一個(gè)像，一一映射是 A中的元素與 B中的元素一一對(duì)應(yīng)． 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 例 設(shè) A={1， 2， 3}， B={2， 4， 6}． 下圖中的映射 f是一個(gè)單射，又是一個(gè)滿射，它是一一映射． 例 設(shè) ={1， 2， 3}， ={2， 4， 6}． 下圖中的映射 f是一個(gè)單射，又是一個(gè)滿射，它是一一映射． 例 設(shè) ， ， ， ， ， ．是一個(gè)單射，又是一個(gè)滿射，例 設(shè) ， ， ， ， ， ．下圖中的映射 是一個(gè)單射，又是一個(gè)滿射，它是一一映射．例 設(shè) ， ， ， ， ， ．是一個(gè)單射，又是一個(gè)滿射，映射 例 設(shè) ， ， ， ， ， ．是一個(gè)單射，又是一個(gè)滿射，A B 1 2 3 2 6 f 4 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 映射 顯然一個(gè)一一映射 f： A?B存在一個(gè) 逆映射 f ?1： B?A，它也是一一映射． A B 1 2 3 2 6 f 1 4 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 映射 如果 A = B，映射 f也稱為 變換 ，即一個(gè)集合到自身的映射稱為變換 如果一個(gè)集合 A到自身的映射 f定義為：對(duì)于任意 a?A， f(a) = a， 則稱映射 f為 恒等映射 ， 單位映射 或 恒等變換 ，記為 I． 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 定義 假設(shè)（ A， ）和（ B， ⊙ ）是兩個(gè)群，若存在映射 f： A→B 滿足：任意 a， b∈ A，均有 f（ a b） =f（ a） ⊙ f（ b） 則稱 f是 A到 B的一個(gè) 同態(tài)映射 或簡(jiǎn)稱 同態(tài) 。 同態(tài)映射也簡(jiǎn)稱為同態(tài)．如果 f是單射，則稱 f是單同態(tài) ，如果 f是滿射，則稱 f是 滿同態(tài) ，如果 f是一一映射，則稱 f是同構(gòu)映射． 如果 G= G’ ，同態(tài) f稱為 自同態(tài) ，同構(gòu)映射 f稱為自同構(gòu)映射 ． 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 例 假設(shè)整數(shù)集合 Z里的運(yùn)算是加法， Z通過(guò)映射 f： a?ea 產(chǎn)生一個(gè)實(shí)數(shù)集合（這里的 e是自然常數(shù)）： ｛ ea｜ a?Z｝， 我們定義這個(gè)實(shí)數(shù)集合里的運(yùn)算是乘法，于是有 f(a＋ b) = f(a)f(b)， 顯然 Z中的運(yùn)算在｛ ea｜ a?Z｝中得到了保持， f就是一個(gè)同態(tài)映射 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 如果同態(tài)映射還是一一映射，則稱為 同構(gòu)映射 ． 例 f： a?ea就是一個(gè)一一映射，所以 f為同構(gòu)映射 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 定理 假設(shè) G和 G’是兩個(gè)群，在 G 到 G’的一個(gè)同態(tài)（映射） f之下， 1） G的單位元 e的像 f(e)是 G’的單位元 e’，即 f(e) = e’． 2） G的任意元 a的逆元 a－１ 的像 f(a?1)是 f(a)的逆元，即 f(a?1) = f(a) ?1． 3） G在 f下的像的集合 {f(a)?a?G} 是 G’的子群，稱為 f的 像子群 ．當(dāng) f是滿同態(tài)時(shí)，像子群就是 G’本身． 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 證明 1）：由于 f(e)f(e) = f(e2) = f(e)， 兩邊同乘 f(e) ?1，得 f(e) = e’． 2） ? a?G有 f(a?1)f(a) = f(a ? １ a) = f(e) = e’ 所以 f(a)?1 = f(a?1) ． 3）如果 a’， b’ ?{f(a)?a?G}，設(shè) a’ = f(a)， b’ = f(b)，則 a’ b’ ?1 = f(a) f(b)?1 = f(a) f(b?1) = f(ab?1)?{f(a)?a?G}= G’ ， 由定理 ，得 {f(a)?a?G}是 G’的子群． 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 定義 設(shè) G和 G’是兩個(gè)群，如果存在一個(gè) G到G’的同構(gòu)映射，則稱 G與 G’ 同構(gòu) ，記為 G ? G’．如果 G = G’，則稱 G自同構(gòu) ． 例 整數(shù)加法群 Z和偶數(shù)加法群 E同構(gòu)． 例 實(shí)數(shù)加法群 R和正實(shí)數(shù)乘法群 R+同構(gòu)．同構(gòu)映射為 f(a) = ea． 例 任意一個(gè)二階群都與乘法群 {1， ?1}同構(gòu)． 證明 ：設(shè)一個(gè)任意二階群為 A={e， a}， e為單位元．構(gòu)造如下 A到乘法群 {1， ?1}的映射： f： e?1， b? ?1 顯然 f是同構(gòu)映射，于是 A與乘法群 {1， ?1}同構(gòu)． 電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 可以看出，群的同構(gòu)具有反身性，對(duì)稱性和傳