2-2-2第2課時(編輯修改稿)
2024-12-23 07:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＝x 1 ＋ x 22＝4 （ 2 k2－ k ）4 k2＋ 1. 解得 k ＝－12， 兩式相減，得 (x12－ x22)＋ 4(y12－ y22)＝ 0， 即 (x1＋ x2)(x1－ x2)＋ 4(y1＋ y2)(y1－ y2)＝ 0. ∴y 1 － y 2x 1 － x 2＝－（ x 1 ＋ x 2 ）4 （ y 1 ＋ y 2 ）＝－12， 即 k AB ＝－12. ∴ 所求直線方程為 y － 1 ＝－12( x － 2 ) ，即 x ＋ 2 y － 4 ＝ 0. 法三 設(shè)所求直線與橢圓的一交點為 A(x， y)， 則另一交點為 B(4－ x， 2－ y)． ∵ A、 B在橢圓上， ∴ x2＋ 4y2＝ 16， ① (4－ x)2＋ 4(2－ y)2＝ 16， ② 從而 A、 B在方程 ① － ② 的圖形 x＋ 2y－ 4＝ 0上，而過 A、 B的直線只有一條， ∴ 所求直線的方程為 x＋ 2y－ 4＝ 0. (1)若點 P的坐標為 (0， 1)，求橢圓 C的標準方程； (2)若點 P的坐標為 (0， t)，求 t的取值范圍． 題型 二 橢圓的綜合問題 【 例 2】 如圖，點 A 是橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝1 ( a b 0 ) 的短軸位于 y 軸下方的端點，過點 A 且斜率為 1 的直線交橢圓于點 B ，若 P 在 y 軸上，且 BP ∥x 軸， AB→ AP→＝ 9. [ 思路探索 ] 解答第 ( 1 ) 問的關(guān)鍵是由已知條件準確分析出 |AB→|與| AP→|的關(guān)系，再由向量的數(shù)量積得 |AP→|，從而用待定系數(shù)法求出橢圓 C 的方程，解答第 ( 2 ) 問的關(guān)鍵是利用 a2 b20 ，構(gòu)造 t 的不等式解出 t 的范圍 ． 解 ∵ 直線 AB 的斜率為 1 ， ∴∠ BAP ＝ 45 176。 ， 即 △ BAP 是等腰直角三 角形， |AB→|＝ 2 | AP→|. ∵ AB→ AP→＝ 9 ， ∴ |AB→|| AP→|c os 45 176。 ＝ 2 | AP→|2c os 45 176。 ＝ 9 ， ∴ |AP→|＝ 3. (2)由點 P的坐標為 (0， t)及點 A位于 x軸下方，得點 A的坐標為 (0， t－ 3)， ∴ t－ 3＝－ b，即 b＝ 3－ t. 顯然點 B的坐標是 (3， t)，將它代入橢圓方程得： ( 1 ) ∵ P ( 0 ， 1 ) ， ∴ |OP→|＝ 1 ， | OA→|＝ 2 ， 即 b ＝ 2 ，且 B ( 3 ， 1 ) ． ∵ B 在橢圓上， ∴9a2 ＋14＝ 1 ，得 a2＝ 12 ， ∴ 橢圓 C 的標準方程為x212＋y24＝ 1. 規(guī)律方法 解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問題等．解決這類問題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想．其中應(yīng)用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式．這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件． 9a2 ＋t2（ 3 － t）2＝ 1 ，解得 a2＝3 （ 3 － t）23 － 2 t. ∵ a2 b20 ， ∴3 （ 3 － t）23 － 2 t ( 3 － t )2 0. ∴33 － 2 t1 ，即33 － 2 t－ 1
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