勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)(編輯修改稿)
2025-01-28 14:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 aabaaa??????????????????67131121152131173141111nnnnnnaacbbbaacbbbaacbbb???????????? 按此規(guī)律一直計算到 n 1行為止。在計算過程中，為了簡化數(shù)值運算， 可將某一行中的各系數(shù)均乘一個正數(shù) ，不會影響穩(wěn)定性結(jié)論。 3. 考察陣列表第一列元素的符號。 假若勞斯陣列表中第一列所有元素均為正數(shù)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 即特征方程所有的根均位于 S平面的左半平面。假若第一列元數(shù)有負數(shù)，則 第一列元素的符號的變化次數(shù)等于系統(tǒng)在 S平面右半平面上的根的個數(shù) 。 例 系統(tǒng)特征方程為 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 從系統(tǒng)特征方程看出，它的所有系數(shù)均為正實數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯陣列表如下 4 3 2s s s s? ? ? ? ?6 12 11 6 0 1 12 6 6 11 0 61/6 6 455/61 0 6 第一列系數(shù)均為正實數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。事實上，從因式分解可將特征方程寫為 其根為 ?2， ?3， ，均具有負實部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。 (s+2) (s+3) (s2 +s+1) = 0 ??13j220s1s2s3s4s例 系統(tǒng)特征方程為 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 從系統(tǒng)特征方程看出，它的所有系數(shù)均為正實數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯陣列表如下 s4 1 3 5 s3 2 4 0 s2 1 5 s1 6 0 s0 5 第一列系數(shù)有兩次變號（ +1到 6， 6到 +5），故系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個正實部的根。 4 3 22 3 4 5s s s s? ? ? ? ? 0例 已知系統(tǒng)特征方程式為 解 列寫勞斯陣列表 s5 1 2 5 S4 3 1 6 s3 5 9 （各系數(shù)均已乘 3） S2 11 15 （各系數(shù)均已乘 5/2） S1 174 （各系數(shù)均已乘 11） s0 15 勞斯陣列表第一列有負數(shù)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于第一列元素的符號改變了兩次 (5→－ 11→174)，所以，系統(tǒng)有兩個具有正實部的根。 5 4 3 2 0s s s s s? ? ? ? ? ?3 2 5 654321s0 4. 兩種特殊情況 在勞斯陣列表的計算過程中，如果出現(xiàn)： (1) 勞斯表中某行的第一列的元素為零，其余各列系數(shù)不為零（或沒有其余項），或不全為零 ， 這時可用一個很小的正數(shù) e來代替這個零，從而使勞斯陣列表可以繼續(xù)運算下去（否則下一行將出現(xiàn) ∞）。 第一列零元素的存在（其他元素為正） ，則說明系統(tǒng)特征方程有一對虛根，系統(tǒng)處干臨界狀態(tài)； 如果第一列元素存在符號變化，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定根的個數(shù)由符號變化次數(shù)決定。 例 設系統(tǒng)特征方程為 s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0 解 勞斯陣列表為 由于 e的上下兩個系數(shù) (2和 2)符號相同，則說明有一對虛根存在。上述特征方程可因式分解為 例 設系統(tǒng)特征方程為 解 勞斯陣列表為 s3 1 3 s2 ε 2 s1 （ 3ε2） /ε0 s0 2 S3 1 1 S2 2 2 S1 ε S0 2 2( 1 ) ( ) 0ss? ? ?20s1s2s3ss 3 +3 s + 2 = 0 (2) 若勞斯陣列表中
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