【文章內(nèi)容簡介】 D在△ ABC的 BC邊上，點(diǎn) E在AC邊上，故直線 DE在△ ABC上。 ? (2)一直線通過平面上的一點(diǎn)，且平行于平面上的另一條直線，則此直線必位于該平面上。 ? 直線 BG通過平面△ ABC上的一點(diǎn) B，且平行于 AC，故直線 BG在△ ABC上 ? 【 例 68】 過點(diǎn) A在已知△ ABC上，如圖 620(a)所示，作一正平線。 ? 作法如下： ? (1)過 a作一平行于 OX軸的直線與 bc相交于d，自 d向上引垂線交 b′c′于 d′ ? (2)連接 a′d′，則 ad與 a′d′即為所求 d d′ ? (二 )平面上的點(diǎn) ? 如果一點(diǎn)在直線上，直線在平面上，則點(diǎn)必位于平面上 ? 點(diǎn) F在直線 DE上， ? 而 DE在平面 ABC上， ? 因此，點(diǎn) F在平面 ABC上 ? 【 例 69】 已知△ ABC及其上一點(diǎn) M的水平投影 m，如圖 6 22(a)所示，求作 M的正面投影 m′。 ? 作法如下： ? (1)連接 am并延長交 bc于 d,自 d向上引垂線交 b′c′于 d′ ? (2)連接 a′d′，自 m向上引垂線交 a′d′于 m′，則 m′即為所求 d d′ m′ ? 【 例 610】 已知四邊形 ABCD的水平投影和 AB、 AD兩邊的正面投影，完成四邊形ABCD的正面投影。 ? 作法如下： ? (1)連接 ac、 bd交于 e，過 e向上引垂線與b′d′相交于 e′ ? (2)過 c向上引垂線與 a′e′的延長線相交于 c′，連接 b′c′、 c′d′即為所求，如圖 6 23(c)所示 e e′ c′ 第七章 基本體的投影 第一節(jié) 平面體的投影 ? 一、棱柱體和棱錐體的投影 ? (一 )棱柱體的投影 ? 1 棱柱體的形成 ? 上下底面為兩個(gè)全等三角形平面且互相平行；側(cè)面均為四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行。由這些平面組成的基本幾何體為棱柱體，當(dāng)?shù)酌鏋?n邊形時(shí)所組成的棱柱為 n棱柱 ? 2 投影分析 ? 在水平面上正三棱柱的投影為一個(gè)三角形線框。 ? 在正立面上正三棱柱的投影為兩個(gè)并排的矩形線框。 ? 在側(cè)立面上正三棱柱的投影為一個(gè)矩形線框， 該線框?yàn)樯舷碌酌嫱队暗闹睾希曳从硨?shí)形。三條邊分別是三個(gè)側(cè)面的積聚投影。三個(gè)頂點(diǎn)分別為三條側(cè)棱的積聚投影 兩個(gè)矩形的外圍 (即輪廓矩形 )是左右側(cè)面與后側(cè)面投影的重合。三條鉛垂線是三條側(cè)棱的投影，并反映實(shí)長。兩條水平線是上下底面的積聚投影 兩條鉛垂線分別為后側(cè)面的積聚投影及左右側(cè)面的交線的投影。兩條水平線是上下底面的積聚投影 3 投影特性 棱柱的三面投影，在一個(gè)投影面上是多邊形，在另兩 個(gè)投影面上分別是一個(gè)或者是若干個(gè)矩形。 ? (二 )棱錐體的投影 ? 1 棱柱體的形成 ? 它的底面為三角形，側(cè)面均為具有公共頂點(diǎn)的三角形。由這些平面組成的基本幾何體為棱錐體，當(dāng)?shù)酌鏋?n邊形時(shí)所組成的棱錐為 n棱錐 ? 2 投影分析 ? 在水平面上正三棱錐的投影為由三個(gè)三角形線框圍成的大三角形線框。 ? 在正立面上正三棱錐的投影為三角形線框。 ? 在側(cè)立面上正三棱錐的投影為三角形線框。 外形三角形線框是底面的投影，反映實(shí)形。頂點(diǎn)的投影 S在三角形中心，它與三個(gè)角點(diǎn)的連線是三條側(cè)棱的投影。三個(gè)小三角形是三個(gè)側(cè)面的投影。 水平線是底面的積聚投影；兩條斜邊和中間鉛垂線是三條側(cè)棱的投影。三角形線框內(nèi)的小三角形分別為左右側(cè)面的投影，外形三角形線框?yàn)楹髠?cè)面的投影。 水平線是底面的積聚投影，斜邊分別為后側(cè)面的積聚投影及側(cè)棱的投影。三角形線框是左右兩個(gè)側(cè)面的重合投影。 3 投影特性 : 一個(gè)投影的外輪廓線為多邊形， 另兩個(gè)投影為一個(gè)或若干個(gè)具有公共頂點(diǎn)的三角形。 ? 綜合上面兩個(gè)例子，可知平面體的投影特點(diǎn)： ? 1)求平面體的投影，實(shí)質(zhì)上就是求點(diǎn)、直線和平面的投影。 ? 2)投影圖中的線段可以僅表示側(cè)棱的投影，也可能是側(cè)面的積聚投影。 ? 3)投影圖中線段的交點(diǎn)，可以僅表示為一點(diǎn)的投影，也可能是側(cè)棱的積聚投影。 ? 4)投影圖中的線框代表的是一個(gè)平面。 ? 5)當(dāng)向某投影面作投影時(shí)，凡看得見的側(cè)棱用實(shí)線表示，看不見的側(cè)棱用虛線表示，當(dāng)兩條側(cè)棱的投影重合時(shí)，仍用實(shí)線表示。 ? 二、平面體投影圖的畫法 ? (1)已知四棱柱的底面及柱高，作四棱柱的投影圖 ? (a)畫基準(zhǔn)線及反映底面實(shí)形的水平投影； ? (b)按投影關(guān)系及柱高，作出正面投影和側(cè)面投影； ? (c)檢查整理底圖，加深圖線 ? (2)已知六棱錐的底面及柱高，作六棱錐的投影圖 ? (a)畫基準(zhǔn)線及反映底面實(shí)形的水平投影； ? (b)按投影關(guān)系及柱高，作出正面投影和側(cè)面投影； ? (c)檢查整理底圖，加深圖線 ? ? 三、平面圖投影的尺寸標(biāo)注 ? 須標(biāo)注出形體的長、寬、高，尺寸要齊全，避免重復(fù)。 ? 長、寬尺寸應(yīng)注寫在反映實(shí)形的投影圖上，高度尺寸盡量注寫在正面和側(cè)面投影圖之間 ? 四、平面體表面上的點(diǎn)和直線 ? (一 )棱柱體表面上的點(diǎn)和直線 ? 在四棱柱體側(cè)面 ABFE上有一點(diǎn) M，在側(cè)面DCGH上有一點(diǎn) N。 ? 側(cè)面 ABFE為鉛垂面，其水平投影積聚為一直線，其正面投影、側(cè)面投影為矩形線框。 ? 點(diǎn) M的水平投影 m在側(cè)面 ABFE的積聚水平投影上，根據(jù) m、 m′，可求得 m″。同理，可求得 n 、 n″。 m n ? 在三棱柱體側(cè)面 ABED上有一直線 MN。 ? 其側(cè)面 ABED為鉛垂面，其水平投影積聚成一直線，正面投影和側(cè)面投影分別為一矩形，直線 MN的水平投影 mn在三棱柱側(cè)面ABED的水平投影上，即在側(cè)面 ABED的積聚線上 ? 正面投影 m′n′和側(cè)面投影 m″n″分別在側(cè)面ABED的正面投影和側(cè)面投影內(nèi)。 ? 因三棱柱側(cè)面 ABED與 ADFC的側(cè)面投影重合，側(cè)面 ABED的側(cè)面投影不可見，所以直線 MN的投影 m″n″用虛線表示。 n m ? （二 )棱錐體表面上的點(diǎn)和直線 ? 棱錐體表面上點(diǎn)和直線投影的求解采用 輔助線法 ? 在三棱錐側(cè)面 SAB上有一點(diǎn) K，側(cè)面 SAB為一般位置平面，其三面投影為三個(gè)三角形線框。由于點(diǎn) K在側(cè)面 SAB上，因此點(diǎn) K的三面投影必定在側(cè)面 SAB上過點(diǎn) K的直線 SF上。作圖時(shí)，過點(diǎn) K作一直線 SF，點(diǎn) K在直線 SF上，則點(diǎn) K的三面投影在直線 SF的三面投影上 F k k’’ ? 在三棱錐側(cè)面 SBC上有一直線 MN ? 側(cè)面 SBC為一般位置平面，其三面投影為三個(gè)三角形線框。直線 MN的三面投影 mn、m′n′和 m″n″分別在三棱錐側(cè)面 SBC的同面投影內(nèi)，由于點(diǎn) N在側(cè)棱 SB上，點(diǎn) N可按直線上求點(diǎn)的方法求得。點(diǎn) M的投影用輔助線法可以求得。然后將 M、 N點(diǎn)的同面投影直線連接即為 MN的投影。 ? 求得投影后還需判別可見性。由于 SBC的側(cè)面投影不可見，直線 MN的側(cè)面投影m″n″亦為不可見，故用虛線表示 m ? 五、平面體的截交線 ? 平面體被一個(gè)或多個(gè)平面截割，必然在平面體表面上產(chǎn)生交線。假想用來截割平面體的平面稱為 截平面 ，截平面與平面體表面的交線稱為 截交線 ，截交線圍成的平面圖形稱為 斷面 ? R為 截平面 ， ? DE、 FD、 EF為 截交線 ， ? 平面圖形 DEF為 斷面 ? 1 棱柱上的截交線 ? 【 例 7－ 1】 已知正三棱柱被正垂面 P所截，求截交線的投影 ? 作圖作法： ? 因截平面 P為正垂面，斷面 ABC在正立面上的投影 a′b′c′即為可知；又因?yàn)槿庵谒矫嫔贤队暗姆e聚性，所以 abc可知 ? 再利用投影規(guī)律可求得 a″、 b″、 c″ ? 然后連接 a″、 b″、 c″，并判斷可見性。因?yàn)?A點(diǎn)在左棱上，可見； B點(diǎn)在前面的棱線上，可見； C點(diǎn)在右側(cè)棱上并且高于 A、 B點(diǎn)，也可見。故 a″b″c″畫為實(shí)線 a′ b′ c′ a b c a″ b″ c″ ? 1 棱錐上的截交線 ? 【 例 7— 2】 已知正四棱錐被正垂面 P所截，求截交線的投影 ? 作圖作法： ? 因?yàn)?A點(diǎn)在四棱錐的左側(cè)棱上，所以由 a′向下作豎直線交四棱錐左邊棱線的水平投影于 a；同理，由 c′可求出 c ? 由于四棱錐的前后棱線為側(cè)平線，水平投影不能直接求出，所以過 b′(d′)作一水平線交左棱線于 e′，同理則可求得水平投影 e ? 再過 e作左側(cè)前后底邊的平行線，交前、后棱的水平投影于兩點(diǎn) b、 d。連 a、 b、 c、d即為截交線的水平投影；然后判斷可見性，因?yàn)榻亟痪€所在立體表面的投影均可見，故截交線可見 a′ c′ b′(d′) e′ a c b d e 第二節(jié) 曲面體的投影 ? 一、圓柱體、圓錐體和球體的投影 ? (一 )圓柱體的投影 ? 1 圓柱體的形成 ? 一直線 AA1繞與其平行的另一直線 OO1旋轉(zhuǎn)一周后，其軌跡是一圓柱面 ? 直線 OO1為 軸 ? 直線 AA1為 母線 ? 母線在圓柱面上任意位置時(shí)稱為 素線 ? 2 投影分析 ? 水平面上圓柱體的投影是一個(gè)圓 ? 正立面上圓柱體的投影是一個(gè)矩形線框，是看得見的前半個(gè)圓柱面和看不見的后半個(gè)圓柱面投影的重合 ? 側(cè)立面上圓柱體的投影是與正立面上的投影完全相同的矩形線框，是看得見的左半個(gè)圓柱面和看不見的右半個(gè)圓柱面投影的重合 它是上下底面投影的重合，反映實(shí)形。圓心是軸線的積聚投影，圓周是整個(gè)圓柱面的積聚投影。 矩形的高等于圓柱體的高，矩形的寬等于圓柱體的直徑。 a′b′、 a′1b′1是圓柱上下底面的積聚投影。 a′a′b′b′1是圓柱最左、最右輪廓素線的投影，最前、最后輪廓素線的投影與軸線重合且不是輪廓線，所以仍然用細(xì)單點(diǎn)長畫線畫出 矩形的高等于圓柱體的高，矩形的寬等于圓柱體的直徑。 d″c″、 d″1c″1是上下兩底面的積聚投影。 c″c″d″d″1是圓柱最前、最后的輪廓素線的投影，最左、最右輪廓素線的投影與軸線重合且不是輪廓線，所以仍然用細(xì)單點(diǎn)長畫線畫出 3 投影特性 圓柱的三面投影，一個(gè)投影是圓，另兩個(gè)投影為全等的矩形 。 ? (二 ) 圓錐體的投影 ? 1 圓錐體的形成 ? 由一條直線 (母線 SN)以與其相交于點(diǎn) S的直線 (導(dǎo)線 SO)為軸回轉(zhuǎn)一周所形成的曲面為圓錐面。 ? 母線在圓錐面上任一位置時(shí)稱為圓錐面的素線 ? 2 投影分析 ? 水平面上圓錐體的投影是一個(gè)圓 ? 在正立面上圓錐體的投影是一個(gè)三角形線框 ? 在側(cè)立面上圓錐體的投影是一個(gè)三角形線框，與正立面上的投影三角形線框是全等的 它是圓錐面和圓錐體底面的重合投影，反映底面的實(shí)形。圓的半徑等于底圓的半徑，圓心是軸線的積聚投影，錐頂?shù)耐队奥湓趫A心上。 三角形的高等于圓錐體的高，三角形的底邊長等于底圓的直徑。三角形線框是看見的前半個(gè)圓錐面和看不見的后半個(gè)圓錐面投影的重合。 s′a′、 s′b′是圓錐面最左、最右兩條輪廓素線的投影，最前、最后輪廓素線的投影與軸線重合且不是輪廓線，所以仍然用細(xì)單點(diǎn)長畫線畫出。 ? 它是看得見的左半個(gè)圓錐面和看不見的右半個(gè)圓錐面投影的重合。 s″c″、s″d″是圓錐面最前、最后兩條輪廓素線的投影，最左、最右兩條輪廓素線的投影與軸線重合且不是輪廓線，所以仍然用細(xì)單點(diǎn)長畫線畫出。軸線的投影用細(xì)單點(diǎn)長畫線畫出 3 投影特性 圓錐的三面投影，一個(gè)投影是圓，另兩個(gè)投影是全等的三角形 ? (二 ) 球體的投影 ? 1 球體的形成 ? 以圓周為母線，繞著其本身的任意直徑為軸回轉(zhuǎn)一周所形成的曲面為球面 ? 2 投影分析 ? 水平面上球體的投影是一個(gè)圓 ? 正立面上球體的投影是與水平投影全等的圓 ? 側(cè)立