遠(yuǎn)程運(yùn)籌學(xué)5動(dòng)態(tài)(編輯修改稿)
2025-10-23 01:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 上面所討論的最優(yōu)決策過程是所謂始端狀態(tài)固定，終端狀態(tài)自由．如果終端也附加上一定的約束條件，那么計(jì)算結(jié)果將會(huì)與之有所差別．例如，若規(guī)定在第五個(gè)年度結(jié)束時(shí)，完好的機(jī)床數(shù)量為 500臺(tái) (上面只有 278臺(tái) )，問應(yīng)該如何安排五年的生產(chǎn)，使之在滿足這一終端要求的情況下產(chǎn)量最高？ 解： 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 )us()us(baus kkkkkk1k ???????有 2 5 0 55 ?? su5 0 0)us( 5556 ????由此式得 當(dāng) k=5 時(shí)有 )}us(5u8{m ax)s(f 555su055 5k?????)2 5 0 (5)2 5 0 (8 555 ?????7 5 0 5 ?? s當(dāng) k=4 時(shí)有 )}s(f)]us(5u8{[m ax)s(f 55444su044 44??????}7 5 0 )us(5u8{m ax 5444su0 44???????}7 5 0 0)]us([)us(5u8{m a x444444su0 44??????????}7 5 0 {m ax 44su0 44?????顯然 ， 只有取 u4*=0 , 有最大值 f4(s4)= 當(dāng) k=3 時(shí)有 : )}s(f)]us(5u8{[m ax)s(f 44333su033 33??????}7 5 0 0)]us([)]us(5u8{[m a x333333su0 33??????????}7 5 0 {m ax 33su0 33??????顯然 ， 只有取 u3*=0 , f3(s3) 有最大值 f3(s3)= 。 當(dāng) k=2 時(shí)有 : )}s(f)]us(5u8{[m ax)s(f 33222su022 22??????}7 5 0 0)]us([)]us(5u8{[m a x222222su0 22??????????}7 5 0 {m ax 22su0 22??????顯然 ， 只有取 u2*=0 , f2(s2) 有最大值 f2(s2)= 。 當(dāng) k=1 時(shí)有 : )}s(f)us(5u8{m ax)s(f 22111su011 11??????}7 5 0 0)]us([)us(5u8{m a x111111su0 11??????????}{m ax 11su0 11??????顯然 ， 只有取 u1*=0 , f1(s1) 有最大值 f1(s1)= 。 0u1 0 0 0s *11 ?? （臺(tái)） 0u9 0 )us(*21*11*12 ??????0u8 1 )us( *32*22*23 ??????)us( *43*33*34 ??????6 5 )us( 4*44*45 ?????4 5 42 5 0 5*5 ??? 204us*55 ??5 0 0)us( 5556 ???? 2 1 9 0 07 5 0 02 9 4 0 07 5 0 )s(f111 ????? 例 某公司擁有資金 10 萬元 ， 若投資于項(xiàng)目 i (i＝ 1， 2， 3) 的投資額為 xi 時(shí) ， 其收益分別為 g1(x1)=4x1 , g2(x2)=9x2 , g3(x3)=2x32 ,問應(yīng)如何分配投資數(shù)額才能使總收益最大 ? 這是一個(gè)與時(shí)間無明顯關(guān)系的靜態(tài)最優(yōu)化問題 ， 可列出其靜態(tài)模型為： 求 x1 , x2 , x3 的值使 2321 294m a x xxxz ???????????)3,2,1(010321ixxxxi滿足 我們可以人為地賦予它“時(shí)段”的概念，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解 解： （ 解法 1） 首先用逆序構(gòu)造動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型 。 1． 分階段： 設(shè)階段變量 k 表示依次對第 k 個(gè)項(xiàng)目投資 ， 因此 ， 階段總數(shù) n = 3。 ( k = 1 , 2 , 3 ) 2. 狀態(tài)變量： 用 sk 表示已經(jīng)對第 1 至 第 k1 個(gè)項(xiàng)目投資后的剩余資金；即第 k 段初擁有的可以分配給第 k 到第 3個(gè)項(xiàng)目的資金額 （ 單位：萬元 ） 。 3. 決策變量： 用 xk 表示對第 k 個(gè)項(xiàng)目投資 的資金數(shù)量（單位：萬元）。 ５ ． 決策變量的取值： 0 ? xk ? sk 4． 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為： kk1k xss ???6. 基本方程為： ????????? ????0)(1,2,3)}()({m ax)(44110sfksfxgsf kkkksxkkkk 最優(yōu)指標(biāo)函數(shù) fk(sk) 表示第 k 階段，初始狀態(tài)為 sk 時(shí)，從第 k 到第 3 個(gè)項(xiàng)目所獲最大收益 當(dāng) k=3 時(shí)： }x2{m a x)s(f 23sx033 33 ??? 得取 33 sx ??2323sx033 s2}x2{m a x)s(f33????當(dāng) k=2 時(shí)： )}s(fx9{m ax)s(f 332sx022 22????}s2x9{m a x 232sx0 22????})xs(2x9{m a x 2222sx0 22?????2222222 )xs(2x9)x,s(h ????令0)1()xs(49dxdh2222 ???????由49sx22 ??解得04dxhd2222??而是極小點(diǎn)所以49sx22 ??極大值只可能在 [0 ， s2] 端點(diǎn)取得 ， 222222 s9)s(fs2)0(f ?? 或時(shí)解得當(dāng) )s(f)0(f 222 ? 292 ?s時(shí)，所以當(dāng) 29s 2 ? )()0( 222 sff ?0x 2 ??此時(shí)應(yīng)有時(shí)，當(dāng) 29s 2 ? )()0( 222 sff ?22 sx ??此時(shí)應(yīng)有當(dāng) k=1 時(shí)： )}(4{m a x)( 221011 11sfxsfsx????2222 929 ssfs ?? )(/ 這時(shí)取假定}x9s9x4{m ax)10(f 11110x01 1?????11110x0 s9}x5s9{m a x1?????2910010xss 112 ??????但此時(shí)矛盾，所以舍去 sk 9/2 22222 229 ssfs ?? )(/ 這時(shí)取假定})(24{m a x)10( 21111001 1xsxfx?????2111111 24 )(),( xsxxsh ????令0144 1111 ??????? )()( xsdxdh由111 ?? sx解之得駐點(diǎn)012112??dxhd而是極小值所以 111 ?? sx故 極大值只能在 [0， 10] 的端點(diǎn)取得，比較 [0， 10]兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值 2 0 0100 11 ?? )(fx 時(shí)當(dāng)?401010 11 ?? )(fx 時(shí)而當(dāng)01 ?? ?x10010112 ????? ?xss029 22 ??? *xs?10010223 ????? ?xss故1033 ??? sx所以即全部資金投于第 3個(gè)項(xiàng)目 (解法 2) 用順序解法 1. 階段劃分 : （同上） 和 決策變量 2. 狀態(tài)變量 : 用 sk 表示可用于第 1到第 k1個(gè)項(xiàng)目投資的金額，即對第 k 個(gè)項(xiàng)目到第 3個(gè)項(xiàng)目投資后的剩余資金數(shù)量。 3. 決策變量 : （同上） 4. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 : 3211 ,??? ? kxss kkk104 ?s5. 決策變量的取值范圍： 3210 1 ,??? ? ksx kk6. 最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)： 令 fk(sk+1) 表示第 k 段投資額 sk+1 為時(shí)，第 1到第 k 項(xiàng)目所獲的最大收益，此時(shí)順序解法的基本方程為： ????????? ?????0)(3,2,1)}()({m ax)(101011sfksfxgsf kkkksxkkkk 當(dāng) k=1 時(shí)，有 )}()({m a x)( 1011021 21sfxgsfsx????210 4421sxsx????}{m a x 21sx ?? 當(dāng) k=2 時(shí)，有 )](9[m a x)( 212032 32sfxsfsx????]49[m a x 220 32sxsx????)](49[m a x 2320 32xsxsx?????]45[m a
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