【文章內(nèi)容簡介】 1111,mmmmmmmpxpxpx?????????????? ?0,0,0 ??于是有可逆從而該矩陣該行列式不等于不相等時(shí)當(dāng)各式列陣的行列式為范德蒙行上式等號(hào)左端第二個(gè)矩.,0, i?? ? ? ? ,0,0,0, 2211 ?? ?mm pxpxpx? ?.,2,10 mjpx jj ???即 ,0?jp但 ? ?.,2,10 mjx j ??故., 21 線性無關(guān)所以向量組 mppp ?注意 １ . 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān) 的． ２ . 屬于同一特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量． ３ . 矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征 值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一； 一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值． ? ? 即有的特征向量的的屬于特征值同時(shí)是如果設(shè)因?yàn)?2121?????Ax xAxxAx 21 , ?? ??xx 21 ?? ??? ? ,021 ??? x??,021 ?? ??由于 ,0?x則 .與定義矛盾例 5 設(shè) A是 階方陣，其特征多項(xiàng)式為 n? ? 0111 aaaAEf nnnA ??????? ?? ????? ?.的特征多項(xiàng)式求 A T解 ? ? AEf TA T ?? ??0111 aaa nnn ????? ?? ??? ?? ?TAE ?? ?AE ?? ?三、特征值與特征向量的求法 求矩陣特征值與特征向量的步驟： ? ?。d e t .1 EAA ??的特征多項(xiàng)式計(jì)算? ?。,0d e t .2 21的全部特征值就是的全部根求特征方程AEAn???????? ?.,0 , .3 的特征向量就是對(duì)應(yīng)于的非零解求齊次方程組對(duì)于特征值iiixEA?????四、小結(jié) ? ?.,0d e t,2,0A3Ed e t :4 的一個(gè)特征值求滿足條件階方陣設(shè)?????AAEAAAT思考題 思考題解答 知由可逆故因?yàn)?0)3d e t ( .,0d e t ??? EAAA解,3 的一個(gè)特征值是 A?.31 1值的一個(gè)特征是從而 A ??即得又由 ,16)2d et ()d et ( 2 ??? EAAEAA TT,4d e t,0d e t,4d e t,16)( d e t 2??????AAAA 因此但于是.34有一個(gè)特征值為故 A ?第三節(jié) 相似矩陣 揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 一、相似矩陣與相似變換的概念 .,., , 111的相似變換矩陣變成稱為把可逆矩陣進(jìn)行相似變換稱為對(duì)行運(yùn)算進(jìn)對(duì)相似與或說矩陣的相似矩陣是則稱使若有可逆矩陣階矩陣都是設(shè)定義BAPAAPPABAABBAPPPnBA???1. 等價(jià)關(guān)系 ? ? ? ?? ?..2 2111211 PAPPAPPAAP ??? ?? ? ., .3 為正整數(shù)相似與則相似與若 mBABA mm二、相似矩陣與相似變換的性質(zhì) .本身相似與 AA., 相似與則相似與若 ABBA.,相似與則相似與相似與若CACBBA反身性)1()2( 對(duì)稱性傳遞性)3(證明 相似與 BA? ? PEPAPPEB ?? 11 ?? ????? ? PEAP ??? ? 1PEAP ??? ? 1.EA ???? ? PAPkPAPkPAkAkP ??? ???., 21 是任意常數(shù)其中 kkBAPPP ??? ? 1, 使得可逆陣., 1的特征值亦相同與從而式相同的特征多項(xiàng)與則相似與階矩陣若定理BABABAn推論 若 階方陣 A與對(duì)角陣 n????????????????n????21., 21 個(gè)特征值的即是則相似 nAn??? ?利用對(duì)角矩陣計(jì)算矩陣多項(xiàng)式 ,1PPBA ??若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 ??????????? ??Ak的多項(xiàng)式AEaAaAaAaA nnnn ????? ?? 1110)( ??.)( 1PBP ?? ?.1PBP k ??則PEaBaBaBaP nnnn 11110 )( ??? ????? ?PPB 1? PPB 1?PPB 1?? PPB 1?k個(gè) , 1 為對(duì)角矩陣使若可逆矩陣特別地 ??? APPP, 1PPA kk ???則 .)()( 1PPA ??? ??有對(duì)于對(duì)角矩陣 ,? ,21???????????????????knkkk?,)()()()(111???????????????????????? 利用上 述結(jié)論可以 很方便地計(jì) 算矩陣 A 的 多項(xiàng)式 . )(A?.)(,)( OAfAf ?則的特征多項(xiàng)式是矩陣設(shè) ?定理 證明 .與對(duì)角矩陣相似的情形只證明 A使則有可逆矩陣與對(duì)角矩陣相似若 , PA),( 11 ?? ndi agAPP ?????.0)(, ??? ii fA 的特征值為其中 有由 ,1PPA ???)(Af.1 OPPO ?? ?PPf 1)( ???PffPn11)()(???????????????., 1 對(duì)角化這就稱為把方陣為對(duì)角陣使若可找到可逆矩陣階方陣對(duì)AAPPPAn???證明 , 1 為對(duì)角陣使假設(shè)存在可逆陣 ??? APPP? ? ., 21 npppPP ??用其列向量表示為把三、利用相似變換將方陣對(duì)角化 .)( 2個(gè)線性無關(guān)的特征向量有的充分必要條件是能對(duì)角化即與對(duì)角矩陣相似階矩陣定理nAAAn? ? ? ????????????????nnn ppppppA??????212121 ,,即? ?., 2211 nn ppp ??? ??? ? ? ?nn ApApAppppA ,, 2121 ?? ??? ? .,2,1 nipAp iii ??? ?于是有? ?nppp ??? , 211 ??,1 ????? PAPAPP 得由., 的特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值就是的列向量而的特征值是可見iiiApPA??., 21 線性無關(guān)所以可逆又由于 npppP ?命題得證 . ., ?? PAPPnnnA使陣個(gè)特征向量即可構(gòu)成矩這個(gè)特征向量得并可對(duì)應(yīng)地求個(gè)特征值恰好有由于反之說明 如果 階矩陣 的 個(gè)特征值互不相等， 則 與對(duì)角陣相似． 推論 n AAn 如果 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能 對(duì)角化，但如果能找到 個(gè)線性無關(guān)的特征向量， 還是能對(duì)角化． AAnnA例 1 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？ ???????????????242422221)1( A???????????????201335212)2( A解 EA ??由)1(? ? ? ?72 2 ???? ?? 0????????????242422221.7,2 321 ???? ???得? ? 得方程組代入將 ,02 121 ???? EA ???????????????????04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系 .110,10221?????????????????????? ??? ? ,0,73 ???? xEA ?? 由對(duì)求得基礎(chǔ)解系 ? ?2,2,13 T??,0211210102 ?由于., 321 線性無關(guān)所以 ???.,3 化可對(duì)角因而個(gè)線性無關(guān)的特征向量有即 AA,同理?????????????201335212EA? ?31??? ????????????????201335212)2( A.1321 ???? ???的特征值為所以 A? ? ,01 ???? xEA ?? 代入把 解之得基礎(chǔ)解系 ,)1,1,1( ?? T?故 不能化為對(duì)角矩陣 . A???????????????163053064A設(shè)A能否對(duì)角化？若能對(duì)角 , P則求出可逆矩陣化例 2 .1 為對(duì)角陣使 APP ?解 ?????????????163053064EA ? ? ? ?21 2 ???? ??.2,1 321 ???? ???的全部特征值為所以 A? ? 得方程組代入將 0121 ???? xEA ????????????????063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系 ,0121?????????? ??? .1002????????????? ?解系得方程組的基礎(chǔ)代入將 ,02 3 ???? xEA ??? ? .1,1,13 ?? T?., 321 線性無關(guān)由于 ???? ??????????? ????110101102, 321 ???P令.200010001 1????????????? APP則有所以 可對(duì)角化 . A注意 ? ? , , 213???????????? ???P若令111?012?100. 1???????????? APP則有00 00002?11 即矩陣 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置 要相互對(duì)應(yīng)． P)。d e t ()d e t (,)1( BABA ?則相似與。,)2( 11相似與且也可逆則可逆且相似與若??BABABA。,)3( 為常數(shù)相似與則相似與 kkBkABA.)()(,)(,)4( 相似與則是一多項(xiàng)式而相似與若BfAfxfBA四、小結(jié) １．相似矩陣 相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好 的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有： ２．相似變換與相似變換矩陣 這種變換的重要意義在于 簡化對(duì)矩陣的各種 運(yùn)算 ，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與 之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從 而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對(duì) 角矩陣的運(yùn)算． 相似變換 是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把 A 變成 ，而可逆矩陣 稱為進(jìn)行這一變換的 相似變換矩陣 ． APP 1? P,111111111?????????????????????A .001