【文章內(nèi)容簡介】 3,22,11。: ???? AAfg ?設(shè)給映射 ， ， ，有 . 但是，一般情況下 ， 設(shè) A是非空集合 ， 稱為設(shè) A上的 恒等映射。 BAf ?: CBg ?: DCh ?:fghfgh ???? )()( ?fggf ?? ?AAj A ?: ,xx ?設(shè) A， B是兩個(gè)非空集合，用 和 表示 A和 B的恒等映射 . 設(shè) 是 A到 B的一個(gè)映射 . 顯然有： ， . Aj BjBAf ?:fjf A ?? ffjB ?? 單射、滿射、雙射 定義 2 設(shè) f 是 A到 B的一個(gè)映射，如果，那么說 稱 f 是 A到 B上的一個(gè)映射，這里也稱 f 是一個(gè)滿映射，簡稱滿射 . 是滿射必要且只要對于 B中的每一元素 y，都有 A中元素 x 使得 . BAf ?:yxf ?)(關(guān)于映射，只要求對于 A中的每一個(gè)元素 x，有 B中的一個(gè)唯一確定的元素 y與它對應(yīng)，但是 A中不同的元素可以有相同的象 . BAf ?:定義 3 設(shè) 是一個(gè)映射，如果對于 A中任意兩個(gè)元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就稱 f是 A到 B的一個(gè)單映射，簡稱單射 . BAf ?:1x 2x 21 xx ? )()( 21 xfxf ?如果既是滿射，又是單射，即如果 f 滿足下面兩個(gè)條件， ① BAf ?)( 對于一切，那么就稱 f 是 A 到 B 的一個(gè)雙射 . 一個(gè)有限集集合的 A到自身的雙射 叫做 A的一個(gè)置換 . 2121 )()( xxxfxf ???② 定理 令 是集合 A 到 B 的一個(gè)映射 . 那么以下兩個(gè)條件是等價(jià)的： BAf ?:① f是一個(gè)雙射； ② 存在 B到 A的一個(gè)映射 g ，使得 ， 再者，當(dāng)條件②成立時(shí)，映射 g是由 f 唯一確 定的 . Ajfg ?? Bjgf ??證 如果①成立 . 因?yàn)?f 是滿射，所以對于 B的每一個(gè) y，有 ，使得 Ax? yxf ?)(又因?yàn)?f 是單射，所以這個(gè) x 是由 y唯一確定的：即如果還有 使得 ，那么 . 我們規(guī)定 Ax ?? yxf ??)( xx ??xyg ?: ，如果 . yxf ?)(yxf ?)(則 g是 B到 A的一個(gè)映射 . 設(shè) . 而 . 我們有 Ax? yxf ?)(xygxfgxfg ??? )()(())(( ?所以 . 設(shè) ，而 . 那么 . 于是 Ajfg ?? By? yxf ?)( xyg ?)(yxgygfygf ??? )()(())(( ?所以 . 故②成立 . Bjgf ??反過來，設(shè)②成立 . 先證明 f 是滿射 . 設(shè) ，令 . 由于 ，所以 By?Axyg ??)( Bjgf ??yyjygfxf B ??? )())(()(即 f是 滿射 . 再證 f 是單射設(shè) 而 Axx ?21 ,)()( 21 xfxf ?由于 ，所以 Ajfg ??222111 )()()()( xxjxfgxfgxjx AA ????? ??這說證明了 f 是單射 . 因此， f 是 A到 B 的雙射 . 最后，設(shè)②成立 . 令 和 都具有性質(zhì) : ABg ?: ABh ?:Ajfhfg ?? ?? Bjhfgf ?? ??， 那么由①和②，我們有 hhjhfghfgjgg AB ????? ?????? )()(所以 g 是由 f 唯一確定的 . 定理被證明 . Ajff ?? ?1 Bjff ?? 1?， 設(shè) f 是 A到 B的一個(gè)映射，我們把滿足定理 ②的映射 叫做 f 的逆映射 . 由定理 ，一個(gè)映射不一定有逆映射，然而如果映射 有逆映射的話，逆映射是由 f 唯一確定的，以后把 f 的逆映射記作 . 有 ABg ?:BAf ?:1?f因此，由定理 ， 也是一個(gè)雙射，并且 f 就是 的逆映射，即 . ABf ?? :1ff ??? 11 )(1?f如果存在集合 A到集合 B的一個(gè)雙射，我們有時(shí)候也說，在 A與 B的元素之間存在著一一對應(yīng) . 例 10 設(shè) A是一切非負(fù)實(shí)數(shù)所成的集合； }10|{ ???? xRxBBAf ?:xxxf?? 1)(f 是 A到 B 的一個(gè)映射，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， ，并且是由 x 唯一確定的 . 我們證明， f 是一個(gè)雙射 . 0?x 110 ??? xx設(shè) . 取 By?yyx?? 1因?yàn)? ，所以 ，且 ，所以 . 有 10 ?? x 01 ?? y 0?x Ax?yyyyyxxxf ???????1111)(所以 f 是滿射 . 設(shè) 而 . 那么 Axx ?21 , )()( 21 xfxf ?221111 xxxx???由此 ，所以 f 是單射 . Axx ?21 ,于是由定理 ， f 有逆映射 . 易驗(yàn)證， xxxABf???1。1 ?一般地，設(shè) A是一個(gè)非空的集合，把 A A到 A的一個(gè)映射叫做集合 A的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算 . 數(shù)學(xué)歸納法 內(nèi)容分布 教學(xué)目的 掌握映射的概念 , 映射的合成，滿射、單射、可逆映射的判斷。 重點(diǎn)、難點(diǎn) 映射的合成，滿射、單射、可逆映射的判斷。 最小數(shù)原理 數(shù)學(xué)歸納法所根據(jù)的原理是正整數(shù)集的一個(gè)最基本的性質(zhì) —— 最小數(shù)原理 . 最小數(shù)原理 正整數(shù)集