【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 人口數(shù)目在0 至 10 0（年）之間的變化趨勢(shì)，人口逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值 圖 人口變化系統(tǒng)仿真結(jié)果 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 定步長(zhǎng)仿真與變步長(zhǎng)仿真 對(duì)于一個(gè)單速率離散系統(tǒng)的仿真，選擇定步長(zhǎng)求解器對(duì)仿真來(lái)說(shuō)已經(jīng)足夠了。但是在對(duì)多速率離散系統(tǒng)進(jìn)行仿真時(shí)，采用變步長(zhǎng)仿真則具有更多的優(yōu)勢(shì)。這里所謂的單速率與多速率離散系統(tǒng)，是指離散系統(tǒng)中各系統(tǒng)模塊采樣時(shí)間是否一致，如果所有模塊的采用時(shí)間均相同，則此系統(tǒng)為單速率離散系統(tǒng)，否則為多速率離散系統(tǒng)。一般而言，使用變步長(zhǎng)求解器對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行仿真，其效率要優(yōu)于定步長(zhǎng)求解器，如圖。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 模塊 1 T s= 模塊 2 T s= 變步長(zhǎng) 定步長(zhǎng) T s= T i m e 模塊 1 T s= 0 . 4模塊 2 T s= 0 . 6變步長(zhǎng)定步長(zhǎng) T s= 0 . 20 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 6T i me圖 定步長(zhǎng)求解器與變步長(zhǎng)求解器的仿真時(shí)刻對(duì)比 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 圖 具有不同的采樣時(shí)間 ， 模塊 1的采樣時(shí)間為 ， 而模塊 2的采樣時(shí)間為 s。 圖中每個(gè)黑色粗實(shí)線(xiàn)代表了模塊的一次更新 ， 也就是模塊的每一次采樣 。 如果使用定步長(zhǎng)求解器對(duì)此離散系統(tǒng)進(jìn)行仿真 ， 由于模塊之間采樣時(shí)間不同 ， 所以步長(zhǎng)選擇要足夠小以匹配所有的采樣時(shí)刻；于是導(dǎo)致在某些時(shí)刻系統(tǒng)進(jìn)行了不必要的計(jì)算 （ 圖中由橢圓曲線(xiàn)標(biāo)志 ） 。 如果使用變步長(zhǎng)求解器 ， 仿真步長(zhǎng)自動(dòng)調(diào)整使其恰好匹配兩個(gè)模塊的更新 ，從而提高了系統(tǒng)仿真的效率 。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 連續(xù)系統(tǒng)的仿真分析 蹦極跳系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 蹦極跳是一種挑戰(zhàn)身體極限的運(yùn)動(dòng) ， 蹦極者系著一根彈力繩從高處的橋梁 （ 或是山崖等 ） 向下跳 。 在下落的過(guò)程中 ， 蹦極者幾乎是處于失重狀態(tài) 。 按照牛頓運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ， 自由下落的物體的位置由下式確定： xxaxamgxm ????? 21 ???3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 其中 m為物體的質(zhì)量 ， g為重力加速度 ， x為物體的位置 ， 第二項(xiàng)與第三項(xiàng)表示空氣的阻力 。 其中位置 x的基準(zhǔn)為蹦極者開(kāi)始跳下的位置 （ 即選擇橋梁作為位置的起點(diǎn) x=0） ， 低于橋梁的位置為正值 ， 高于橋梁的位置為負(fù)值 。 如果物體系在一個(gè)彈性常數(shù)為的彈力繩索上 ，定義繩索下端的初始位置為 0， 則其對(duì)落體位置的影響為 因此整個(gè)蹦極跳系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為 ???????0,00,)(xxkxxbxxaxaxbmgxm ????? 21)( ????3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 建立蹦極跳系統(tǒng)的 Simulink仿真模型 與建立離散系統(tǒng)模型類(lèi)似 ， 在建立蹦極跳系統(tǒng)的模型之前 ， 首先對(duì)連續(xù)系統(tǒng)模塊庫(kù) Continuous中比較常用的模塊簡(jiǎn)單的回顧 。 (1) 積分器（ Integrator）：積分器的主要功能在于對(duì)輸入的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行積分運(yùn)算。 (2) 微分器（ Derivative）：微分器的主要功能在于對(duì)輸入的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行微分運(yùn)算。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 在蹦極跳系統(tǒng)模型中 ， 主要使用的系統(tǒng)模塊有： (1) Continuous模塊庫(kù)中的 Integrator模塊：用來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)中的微分運(yùn)算 。 (2) Functions amp。 Tables模塊庫(kù)中的 F模塊：用來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)中空氣阻力的函數(shù)關(guān)系 。 (3) Nonlinear模塊庫(kù)中的 Switch模塊：用來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)中彈力繩索的函數(shù)關(guān)系 。 蹦極跳系統(tǒng)的模型框圖如圖 。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 圖 蹦極跳系統(tǒng)模型 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 系統(tǒng)模塊參數(shù)設(shè)置 在建立蹦極跳系統(tǒng)模型之后 ， 需要設(shè)置系統(tǒng)模型中各個(gè)模塊的參數(shù) 。 這里僅給出積分器模塊 velocity與position的參數(shù)設(shè)置 ， 如圖 。 在具有連續(xù)狀態(tài)的連續(xù)系統(tǒng)中 ， 千萬(wàn)不能忘記對(duì)積分器模塊的初始值進(jìn)行設(shè)置；因?yàn)樵诓煌某跏贾迪?，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)律可能大相徑庭 。 至于其它模塊的參數(shù)都比較簡(jiǎn)單 ， 這里不再給出 。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 圖 積分器模塊 velocity與 position的參數(shù)設(shè)置 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)置與仿真分析 在對(duì)蹦極跳系統(tǒng)模型中各個(gè)模塊的參數(shù)正確設(shè)置之后 ， 需要設(shè)置系統(tǒng)仿真參數(shù)以對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析 。在系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)置之前 ， 首先簡(jiǎn)單介紹一下 Simulink的連續(xù)求解器 。 ，Simulink通過(guò)離散系統(tǒng)模型與 Matlab求解器之間的交互完成離散系統(tǒng)的仿真；其實(shí)對(duì)于任何的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，Simulink總是通過(guò)系統(tǒng)模型與 Matlab求解器之間的交互來(lái)完成系統(tǒng)仿真。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 微分方程的不同數(shù)值求解方法對(duì)應(yīng)著不同的連續(xù)求解器 。 Simulink的連續(xù)求解器可以使用不同的數(shù)值求解方法對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行求解： (1) 定步長(zhǎng)連續(xù)求解器?？梢允褂萌缦碌姆椒ǎ?ode5, ode4, ode3, ode2, ode1。 (2) 變步長(zhǎng)連續(xù)求解器 。 可以使用如下的方法： ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t， ode23tb。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 使用 Simulation菜單下的 Simulation Parameters打開(kāi)仿真參數(shù)設(shè)置對(duì)話(huà)框 ， 對(duì)蹦極跳系統(tǒng)的仿真參數(shù)設(shè)置如下： (1) 系統(tǒng)仿真時(shí)間范圍為 0~100 s。 (2) 其它仿真參數(shù)采用系統(tǒng)默認(rèn)取值 （ 變步長(zhǎng)求解器 、求解算法 ode4 自動(dòng)選擇最大仿真步長(zhǎng) 、 相對(duì)誤差為1e3） 。 然后進(jìn)行系統(tǒng)仿真。仿真輸出結(jié)果如圖 （蹦極者相對(duì)于地面的距離）。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 圖 蹦極跳系統(tǒng)的仿真結(jié)果 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 仿真精度控制 細(xì)心的讀者一定會(huì)發(fā)現(xiàn)，在圖 真結(jié)果中，仿真曲線(xiàn)的波峰與波谷處曲線(xiàn)很不光滑。而從蹦極跳系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程中分析可知，系統(tǒng)的輸出曲線(xiàn)應(yīng)該是光滑曲線(xiàn)。造成這一結(jié)果的主要原因是：對(duì)此系統(tǒng)仿真來(lái)說(shuō)，連續(xù)求解器的默認(rèn)積分誤差取值偏大。因此，只有設(shè)置合適的積分誤差限，才能獲得更好的仿真結(jié)果。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 變步長(zhǎng)連續(xù)求解器可以根據(jù)積分誤差對(duì)仿真步長(zhǎng)進(jìn)行自動(dòng)調(diào)整 。 因此 ， 用戶(hù)可以設(shè)置合適的積分誤差上限 ， 以對(duì)系統(tǒng)仿真步長(zhǎng)進(jìn)行控制 ， 從而獲得更好的仿真結(jié)果 。 積分誤差分為如下的兩種： (1) 絕對(duì)誤差：積分誤差的絕對(duì)值 。 (2) 相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差除以狀態(tài)的值。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 在仿真參數(shù)設(shè)置對(duì)話(huà)框中 ， 用戶(hù)可以對(duì)積分絕對(duì)誤差與 相對(duì)誤差進(jìn)行合適的設(shè)置 。 這樣 ， 在系統(tǒng)仿真中求解器只有滿(mǎn)足給定的誤差條件時(shí)才能夠進(jìn)行下一步計(jì)算 。 一般說(shuō)來(lái) ， 當(dāng)狀態(tài)值較大時(shí) ， 相對(duì)誤差小于絕對(duì)誤差 ， 由相對(duì)誤差控制求解器的運(yùn)行；而當(dāng)狀態(tài)值接近零時(shí) ， 絕對(duì)誤差小于相對(duì)誤差 ， 則由絕對(duì)誤差來(lái)控制求解器 。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 相對(duì)誤差 絕對(duì)誤差 最大仿真步長(zhǎng) 初始仿真步長(zhǎng) 圖 蹦極跳系統(tǒng)的仿真參數(shù)設(shè)置 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 然后再對(duì)蹦極跳系統(tǒng)進(jìn)行仿真 ， 其仿真結(jié)果如圖 。 從圖中可以明顯得看出 ， 減小系統(tǒng)仿真積分誤差可以有效的提高系統(tǒng)的仿真性能 ， 仿真輸出波峰與波谷處的曲線(xiàn)變得比較光滑 。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 圖 新的仿真參數(shù)設(shè)置下的仿真結(jié)果 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)仿真分析 第四節(jié)中對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的仿真技術(shù)做了詳細(xì)的介紹 ，對(duì)于具有連續(xù)狀態(tài)的連續(xù)系統(tǒng)而言 ， 往往使用積分器模塊 Integrator建立系統(tǒng)的模型 。 雖然實(shí)際的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)多數(shù)都是非線(xiàn)性系統(tǒng) ， 但是在一定的范圍之內(nèi) ， 非線(xiàn)性系統(tǒng)可以由線(xiàn)性系統(tǒng)來(lái)近似 。 由于非線(xiàn)性系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 、 仿真與分析技術(shù)都比較復(fù)雜 ， 而且還不成熟 ， 尚無(wú)通用的理論形成；而線(xiàn)性系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 、 仿真分析比較簡(jiǎn)單 ， 故其應(yīng)用非常廣泛 。 本部分將介紹線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的仿真技術(shù) 。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 1. 建立線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的模型 建立線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)模型的方法與建立一般線(xiàn)性系統(tǒng)模型的方法沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別 。 不同之處在于 ， 線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)往往使用傳遞函數(shù)模型 、 零極點(diǎn)模型以及狀態(tài)空間模型進(jìn)行描述 ， 因此在建立線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)模型時(shí)經(jīng)常使用與此相應(yīng)的模塊 （ 即 Continuous模塊庫(kù)中的 Transfer F模塊 、 ZeroPole模塊以及 StateSpace模塊 ） 。 下面以比例 微分控制器系統(tǒng)模型的建立為例進(jìn)行說(shuō)明 。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 執(zhí)行機(jī)構(gòu) 比 例微分控制器 圖 比例 微分控制系統(tǒng)模型 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 2． 設(shè)置系統(tǒng)模塊參數(shù)與仿真參數(shù) 在建立比例微分控制系統(tǒng)模型之后 ， 需要設(shè)置各模塊參數(shù)與系統(tǒng)仿真參數(shù) 。 系統(tǒng)模型中模塊參數(shù)設(shè)置如下： （ 1） ZeroPole模塊設(shè)置：設(shè)置零點(diǎn) Zeros為 [ ]、 設(shè)置極點(diǎn) Poles為 [0 ]、 設(shè)置增益為 1。 （ 2） Step信號(hào)模塊設(shè)置：使用系統(tǒng)的默認(rèn)取值 ， 即單位階躍信號(hào) 。 （ 3） 其它各模塊的參數(shù)設(shè)置如圖 。 3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的 Simulink 在設(shè)置系統(tǒng)模塊參數(shù)之后 ， 接下來(lái)使用 Simulation Parameters仿真參數(shù)對(duì)話(huà)框中的 Solver選項(xiàng)卡設(shè)置系統(tǒng)仿真參數(shù) ，