【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 ? ?Tuv 11100 ??Tku Tkv???????????361641593642A例 2：用冪法計(jì)算下面矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。 第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 ?? 對(duì)應(yīng)的特征向量為 : ? ?Tu ?故按模特征值為 : 第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 例 3 用冪法求矩陣 ???????????A的主特征值和主特征向量 . 0: ( 1 , 1 , 1 ) , ( ) 9 1解 取 初 始 向 量 按 的 計(jì) 算 結(jié) 果 如 表 。Tu ??第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 K 0 (,1) 1 (,1) 5 (,1) 10 (,1) 15 (,1) 20 (,1) 表 91 Tku )max( kv,5 3 6 5 2 5 )8( 1 ??分別為位數(shù)字的準(zhǔn)確值的主特征值和特征向量矩陣 A位有次后，所得的主特征值。可見(jiàn)迭代 520)1,(*1 Tx ?有效數(shù)字。 第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 1 2 12 , , m a x ( ) / kkk v c? ? ???從 定 理 的 證 明 中 易 見(jiàn) 當(dāng) 充 分 大 時(shí) 有 。時(shí)，收斂很慢。這時(shí)，接近于。當(dāng)冪法是線性收斂的方法因此 12, ??一 個(gè) 補(bǔ) 救 的 辦 法 是 采 用 加 速 收 斂 的 方 法 。 下 面 簡(jiǎn) 要 的 介 紹 三 種 加 速 方 法 。1. 原 點(diǎn) 平 移 法.)(, 為先定的參數(shù)引進(jìn)矩陣 ppIAB ??1 2 12, , ... .. , , ... . , , .nnA B pp p A B? ? ? ??????設(shè) 的 特 征 值 為 則 的 相 應(yīng) 的 特 征 值 為而 且 特 征 向 量 相 同第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 11,A p pB?? ?如 果 需 要 計(jì) 算 的 主 特 征 值 就 要 選 擇 使 仍為 的 主 特 征 值 且 使1212???? ???pp1B B pA? ?對(duì) 應(yīng) 用 冪 法 ， 使 得 在 計(jì) 算 的 主 特 征 值 的 過(guò) 程中 得 到 加 速 。 這 種 方 法 稱 為 原 點(diǎn) 平 移 法 。 對(duì) 于 的 特 征值 的 某 種 分 布 ， 它 是 十 分 有 效 的 。:例如.),4,3,2,1(,15)(12 ?????? ????rjjaA jnnij比值有特征值1 2 3 4122 , 1 , 0 , 1B A p I pB ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?作 變 換 取則 的 特 征 值 為第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 12 2 21 1 1:10 . 92Bprp?? ? ?? ? ??? ? ? ? ??應(yīng) 用 冪 法 計(jì) 算 的 主 特 征 值 的 收 斂 速 度1ppAp?可 見(jiàn) 的 確 能 通 過(guò) 選 擇 有 利 的 參 數(shù) 使 冪 法 得 到 加速 ， 但 設(shè) 計(jì) 一 個(gè) 自 動(dòng) 選 擇 適 當(dāng) 參 數(shù) 的 過(guò) 程 是 困 難 的 。下 面 考 慮 當(dāng) 的 特 征 值 是 實(shí) 數(shù) 時(shí) ， 怎 樣 選 擇 ， 而使 用 冪 法 計(jì) 算 主 特 征 值 得 以 加 速 。1 2 11: . . . . ( 3 . 9 ),.設(shè) 的 特 征 值 滿 足則 不 論 為 何 值 的 主 特 征 值 為 或nnnAp B A p I p p? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 pppxn ??? ???111 :,)( 使首先應(yīng)選擇時(shí)特征向量及當(dāng)我們所希望計(jì)算211:m a x { , } m innppwpp??????????且 使 收 斂 速 度 的 比 值 為nnnnnpppprwpppp????????????????????????????????212*1**1*2*222:,2,)(這時(shí)收斂速度的比值為為最小時(shí)時(shí)則當(dāng)?shù)诰耪? 特征值與特征向量的數(shù)值求法 2?n?2?n?002?? p?0?? pn?0?? pn? 02?? p?py2*( 3 . 9 ) , , ,.因 此 當(dāng) 的 特 征 值 滿 足 且 能 初 步 估 計(jì) 時(shí)我 們 就 可 以 確 定 的 近 似 值nAp??第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 .2, *11得到加速使得應(yīng)用冪法計(jì)算應(yīng)選擇時(shí)當(dāng)希望計(jì)算nnn pp?????? ???的主特征值計(jì)算例???????????: A, 1 5 ( 8 ) :A若 直 接 用 冪 法 求 的 主 特 征 值 則 迭 代 次 位 浮 點(diǎn) 數(shù) 得 到Tx )1,(, ~ 11 ???: ?下 面 用 原 點(diǎn) 平 移 加 速 法 ， 計(jì) 算 結(jié) 果 如 下 取 ， 則 ：第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 111~10 .2 5 1 .0 0 0 .5 01 .0 0 0 .2 5 0 .2 5 :0 .5 0 0 .2 5 1 .2 51 .7 8 6 5 9 1 4 ( ): 2 .5 3 6 5 9 1 4 ,: ( 0 .7 4 8 2 , 0 .6 4 9 7 , 1 )TpBApx????????????????? ? ??B = A I = ， 對(duì) B 應(yīng) 用 冪 法 ， 迭 代 僅 十 次 即 有的 主 特 征 值 。從 而 的 主 特 征 值 為特 征 向 量 為11 1 12 . 5 3 6 5 2 5 81 5 : 1 . 7 8 6 2 5 8 , 2 . 5 3 6 5 2 5 88Ap?? ? ??? ? ? ?與 矩 陣 的 主 特 征 值 比 較 可 知 ： 后 者 比 前 者 迭 代次 數(shù) 少 ， 但 精 度 更 高 ， 即 提 高 了 收 斂 速 度 。 若 用 后 一 方 法 也迭 代 次 ， 則 有 對(duì) 應(yīng) 有 ，已 達(dá) 位 有 效 數(shù) 了 。第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 A原 點(diǎn) 平 移 加 速 方 法 是 一 個(gè) 矩 陣 變 換 方 法 ， 這 種 變 換 容 易計(jì) 算 而 且 又 不 破 壞 矩 陣 的 稀 疏 性 。pA但 的 選 擇 必 須 依 賴 于 對(duì) 的 特 征 分 布 已 有 大 致 了 解 ，這 在 實(shí) 際 中 是 相 當(dāng) 困 難 的 。第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 2 .A i t k e n 外 推 法? ?? ? ? ?? ?1211222 1 12 1 2 1 l im 0 ()22kkkkkkkkk k k k kkkk k k k k kkkkaaaacaaa a a aka a a aa a a a aa a aa a a a a aa a a A it k e nu??????? ? ?? ? ? ????????????? ? ? ? ?? ? ? ?如 果 序 列 線 性 收 斂 到 ， 即則 當(dāng) 充 分 大 時(shí) ， 有序 列 比 更 快 地 收 斂 到 ， 這 就 是 加 速 法 。將 這 一 方 法 用 于 冪 法 所 產(chǎn) 生 的 序 列 ， 可 加 快 冪 法的 收 斂 速 度 。第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 ~km~)(jku， 32 )