(數(shù)學(xué)分析教案)第八章(編輯修改稿)
2025-08-31 17:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 、分部積分法學(xué)時(shí)安排: 4學(xué)時(shí)教學(xué)過程:一 換元積分法定理4 （1）（換元積分法）設(shè)在上有定義，在上可導(dǎo)，且，記， 。（1）（第一換元積分法）若在上存在原函數(shù)，則在上也存在原函數(shù)，且有 ，即。也可寫為：（令 =（代回）。（2）（第二換元積分法）又若，則上述命題（1）可逆，即當(dāng)在存在原函數(shù)時(shí)，在上也存在原函數(shù)，且，即（令（代回 。證明：由不定積分的定義及求導(dǎo)法則即得。注：在第一換元積分法中是將被積函數(shù)的某一部分視為一個(gè)整體看作一個(gè)新的積分變量；在第二換元積分法中是用某一函數(shù)來代替其積分變量。例1 求 。解 。例2 求 ?！痉治觥? 若令（第一換元法），或令（第二換元法）均可將積分化為：；同時(shí)也可令（第二換元法），可將積分化為：。例3 求 ?！痉治觥? 若令（第一換元法），或令（第二換元法）均可將積分化為：；同時(shí)也可令，或（第二換元法）將積分化為：。例4 求 ?！痉治觥? 因，故可分別令，（第一換元法），可將積分化為：。 同時(shí)也可令或（第二換元法）將積分化為： 或。（但此時(shí)計(jì)算不如前一方法簡(jiǎn)單！?。├? 求 。解：（方法一）。 （方法二） =。使用第一換元積分法的關(guān)鍵：在于把被積表達(dá)式湊成形式，從而作變換，化積分為：。但要注意的是最后要換回原積分變量。 第二換元積分法的目的同第一換元法一樣，也是被積函數(shù)化為容易求得原函數(shù)的形式，但最終同樣不要忘記變量還原。例6 求 ?！痉治觥? 為了去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，取根次數(shù)2和3的最小公倍數(shù)6，并令，則可化簡(jiǎn)積分。例7 求 。【分析】 為了去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，可令，也可令。例8 求 ?！痉治觥? 為了去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，可令，也可令。例9 求 ?！痉治觥? 為了化簡(jiǎn)被積函數(shù)，可令，或。解：令，于是，有
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