【文章內容簡介】 △ ABC ，O 是 SC 的中點，因此三棱錐 S － ABC 的高是三棱錐 O － ABC 高的 2 倍， 題型分類 深度剖析 所以三棱錐 S － ABC 的體積也是三棱錐 O － ABC 體積的 2 倍 . 在三棱錐 O － ABC 中，其棱長都是 1 ，如圖所示， 基礎知識 題型分類 思想方法 練出高分 跟蹤訓練 3 ( 2022 課標全國 ) 已知三棱錐 S － ABC 的所有頂點都 在球 O 的球面上， △ ABC 是邊長為 1 的正三角形， SC 為球 O 的直徑，且 SC ＝ 2 ，則此棱錐的體積為 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22 S △ A BC ＝ 34 AB 2 ＝ 34 ， 題型分類 深度剖析 高 OD ＝ 1 2 －????????332 ＝ 63 ， ∴ V S － A BC ＝ 2 V O － A BC ＝ 2 13 34 63 ＝ 26 . A 基礎知識 題型分類 思想方法 練出高分 典例 ： ( 1 2 分 ) 如圖，在直棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′ 中，底面是邊長為 3 的 等邊三角形， AA ′ ＝ 4 ， M 為 AA ′ 的中點， P 是 BC 上一點，且由 P 沿 棱柱側面經過棱 CC ′ 到 M 的最短路線長為 29 ，設這條最短路線與 CC ′ 的交點為 N ，求： ( 1 ) 該三棱柱的側面展開圖的對角線長； ( 2 ) PC 與 NC 的長； ( 3 ) 三棱錐 C — M NP 的體積 . 思 維 啟 迪 規(guī) 范 解 答 溫 馨 提 醒 思想與方法系列 11 轉化思想在立體幾何計算中的應用 題型分類 深度剖析 基礎知識 題型分類 思想方法 練出高分 ( 1 ) 側面展開圖從哪里剪開展平； 題型分類 深度剖析 典例 ： ( 1 2 分 ) 如圖，在直棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′ 中，底面是邊長為 3 的 等邊三角形， AA ′ ＝ 4 ， M 為 AA ′ 的中點， P 是 BC 上一點，且由 P 沿 棱柱側面經過棱 CC ′ 到 M 的最短路線長為 29 ，設這條最短路線與 CC ′ 的交點為 N ，求： ( 1 ) 該三棱柱的側面展開圖的對角線長； ( 2 ) PC 與 NC 的長； ( 3 ) 三棱錐 C — M NP 的體積 . 思 維 啟 迪 規(guī) 范 解 答 溫 馨 提 醒 思想與方法系列 11 轉化思想在立體幾何計算中的應用 ( 2 ) MN ＋ NP 最短在展開圖上呈現(xiàn)怎樣的形式； ( 3 ) 三棱錐以誰做底好 . 基礎知識 題型分類 思想方法 練出高分 題型分類 深度剖析 解 ( 1 ) 該三棱柱的側面展開圖為一邊長分別為 4 和 9 的矩形，故對角線長為 4 2 ＋ 9 2 ＝ 97 . 典例 ： ( 1 2 分 ) 如圖，在直棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′ 中，底面是邊長為 3 的 等邊三角形， AA ′ ＝ 4 ， M 為 AA ′ 的中點， P 是 BC 上一點，且由 P 沿 棱柱側面經過棱 CC ′ 到 M 的最短路線長為 29 ，設這條最短路線與 CC ′ 的交點為 N ，求： ( 1 ) 該三棱柱的側面展開圖的對角線長； ( 2 ) PC 與 NC 的長； ( 3 ) 三棱錐 C — M NP 的體積 . 思 維 啟 迪 規(guī) 范 解 答 溫 馨 提 醒 思想與方法系列 11 轉化思想在立體幾何計算中的應用 ( 2) 將該三棱柱的側面沿棱 BB ′ 展開，如 右 圖，設 PC ＝x ，則 MP 2 ＝ MA 2 ＋ ( AC ＋ x ) 2 . ∵ MP ＝ 29 ， MA ＝ 2 ， AC ＝ 3 ， ∴ x ＝ 2 ，即 PC ＝ 2. 2分 基礎知識 題型分類 思想方法 練出高分 題型分類 深度剖析 又 NC ∥ AM ，故 PCPA ＝ NCAM ，即 25 ＝ NC 2 . 典例 ： ( 1 2 分 ) 如圖，在直棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′ 中，底面是邊長為 3 的 等邊三角形， AA ′ ＝ 4 ， M 為 AA ′ 的中點， P 是 BC 上一點，且由 P 沿 棱柱側面經過棱 CC ′ 到 M 的最短路線長為 29 ，設這條最短路線與 CC ′ 的交點為 N ，求： ( 1 ) 該三棱柱的側面展開圖的對角線長； ( 2 ) PC 與 NC 的長； ( 3 ) 三棱錐 C — M NP 的體積 . 思想與方法系列 11 轉化思想在立體幾何計算中的應用 ∴ NC ＝ 45 . ( 3 ) S △ PC N ＝ 12 CP CN ＝ 12 2 45 ＝ 45 . 在三棱錐 M — P C N 中， M 到面 P C N 的距離， 即 h ＝ 32 3 ＝ 3 32 . ∴ V C — M N P ＝ V M — PC N ＝ 13 h S △ PC N ＝ 13 3 32 45 ＝ 2 35 . 思 維 啟 迪 規(guī) 范 解 答 溫 馨 提 醒 8/分 12分 基礎知識 題型分類 思想方法 練出高分 題型分類 深度剖析 ( 1 ) 解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是 “ 展開 ” ，即將空間幾何體的 “ 面 ” 展開后鋪在一個平面上，將問題轉化為平面上的最值問題 . 題型分類 深度剖析( 2) 如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問題的具體情況可以將這個多面體沿多面體中某條棱或者兩個面的交線展開，把不在一個平面上的問題轉化到一個平面上 . 如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開，把曲面上的問題轉化為平面上的問題 . 典例 ： ( 1 2 分 ) 如圖，在直棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′ 中，底面是邊長為 3 的 等邊三角形， AA ′ ＝ 4 ， M 為 AA ′ 的中點， P 是 BC 上一點，且由 P 沿 棱柱側面經過棱 CC ′ 到 M 的最短路線長為 29 ，設這條最短路線與 CC ′ 的交點為 N ，求： ( 1 ) 該三棱柱的側面展開圖的對角線長； ( 2 ) PC 與 NC 的長； ( 3 ) 三棱錐 C — M NP 的體積 . 思 維 啟 迪 規(guī) 范 解 答 溫 馨 提 醒 思想與方法系列 11 轉化思想在立體幾何計算中的應用 基礎知識 題型分類 思想方法 練出高分 題型分類 深度剖析 ( 3 ) 本題的易錯點是，不知道從哪條側棱剪開展平，不能正確地畫出側面展開圖 . 缺乏空間圖形向平面圖形的轉化意識 . 題型分類 深度剖析典例 ： ( 1 2 分 ) 如圖，在直棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′ 中，底面是邊長為 3 的 等邊三角形， AA ′ ＝ 4 ， M 為 AA ′ 的中點， P 是 BC 上一點，且由 P 沿 棱柱側面經過棱 CC ′ 到 M 的最短路線長為 29 ，設這條最短路線與 CC ′ 的交點為 N ，求： ( 1 ) 該三棱柱的側面展開圖的對角線長； ( 2 ) PC 與 NC 的長； ( 3 ) 三棱錐 C — M NP 的體積 . 思想與方法系列 11 轉化思想在立體幾何計算中的應用 思 維 啟 迪 規(guī) 范 解 答 溫 馨 提 醒 基礎知識 題型分類 思想方法 練出高分 1 .棱柱、棱錐要掌握各部分的結構特征，計算問題往往轉化到一個三角形中進行解決 . 方 法 與 技 巧 2 .旋轉體要抓住 “ 旋轉 ” 特點，弄清底面、側面及展開圖形狀 . 思想方法 感悟提高 3 .三視圖畫法： ( 1) 實虛線的畫法：分界線和可見輪廓線用實線，看不見的輪廓線用虛線； ( 2) 理解 “ 長對正、寬平齊、高相等 ” . 4. 直觀圖畫法：平行性、長度兩個要素 . 基礎知識 題型分類 思想方法 練出高分 方 法 與 技 巧 5 . 求幾何體的體積，要注意分割與補形 . 將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規(guī)則的幾何體求解 . 思想方法 感悟提高 6 . 與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接 . 解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量