張英伯clifford-theorem-rv(編輯修改稿)
2025-08-31 15:26 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 叫做 n=3 時(shí)的 特征常數(shù) 。 321 , aaa?建立一個(gè)圓方程，圓心在 ，半徑為 ： ?當(dāng) 時(shí)， ?當(dāng) 時(shí)， ?當(dāng) 時(shí)， ?所以我們的圓經(jīng)過(guò)三條直線中每?jī)蓷l的交點(diǎn) ， 這就是 三點(diǎn)共圓 。 12x a a t??1a|| 2a?定義 . 關(guān)于 n 條直線 的特征常數(shù) 定義為： ?其中求和號(hào)表示對(duì) (12 n) 進(jìn)行輪換。 ?引理 . nnnn aaa , 21 ??nxxx , 21 ??)())(( 131211ninni tttttttxa?????? ??nninini taaa 11 ?? ??1?證明 ： ?引理證畢。 ??????????????????????????????)()())(()()())(()())(()(112111111121111111121111111211111ninnnninnnninnnntttttxtttttttttxttttttttxtttttttx?????????特征常數(shù)有如下的共軛性質(zhì)。取定正整數(shù) n，令 ?將 的復(fù)共軛記作 ，令 ，則 ?引理 . 111 2 1( ) ( )nnxtat t t t???? ???111 2 121 1 1 1 1121 2 111 2 11 1 1 1( ) ( )( 1 )( ) ( )( 1 )nnnnnnnnnnytbt t t tx t t tt t tt t t tt t t a????????????????????? ? ???12nns t t t?as nnn ?????? 11)1(n, . . . . ,2,1???a ?b?? ????? 11)1( nnn asb?引理 . 設(shè) 是 n 個(gè)變?cè)某醯葘?duì)稱多項(xiàng)式，記 的共軛元為 。 如果 n 個(gè)變?cè)∧? 1 的復(fù)數(shù)，則 ?證明： 設(shè) ， ?則 ?引理證畢。 nuuu , 21 ??iuiuinni uuu ??ii vvvu ??21?? .1,1 niv i ???inniiniini uvvvvvvvvuu???? ? ??? ????1111五、 n=4 和 n=5 時(shí)的證明 ?設(shè)我們有四條直線 ?根據(jù)第四節(jié)的討論，三條直線確定的圓方程為： ?或 ?其中 是一個(gè)變?cè)某醯葘?duì)稱多項(xiàng)式。根據(jù)引理 , 去掉四條直線中的第 條后的圓方程是 ： 12x a a t???121 saax ??1s13221 )()( staataax ?? ?????根據(jù)引理 ,方程 是自共軛的，即它的共軛方程 與自身相等， 我們有： ?即 在單位圓上。又因?yàn)? 的任意性，方程等價(jià)于： ?其中 是 n= 4 時(shí)的特征常數(shù)。消去 , ? 即 ?是四條直線的 Clifford 點(diǎn)。 321 , aaa?ttaa 320 ??taa 230 ??1?ttt1321210 saasaax????3221 aaax ??03221 ???aaaax1s?當(dāng) n=5 時(shí)，我們有五條直線： ?去掉其中的任意一條，所得到的四條直線確定一個(gè) Cliford 點(diǎn)。
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