高三年級數學第一學期第三次理科月考試題(編輯修改稿)
2024-12-17 06:59 本頁面
【文章內容簡介】 300150?? kt ， N?k 時， 2max?I ； 當 ??????? kt 22361 00 ，即 75150?? kt ， N?k 時， 2min ??I ． ? 9分 而 0?t ， ∴ I 第一次達到最大值時， 3001?t ； I 第 一 次 達 到 最 小 值 時 ，751?t ． ????????????????????? 12 分 16．（本小題滿分 12 分） 如圖 4，正三棱柱 111 CBAABC ? 中， 11 ??ABAA ， P 、 Q 分別是側棱 1BB 、 1CC 上的點，且使得折線 1APQA 的長 1QAPQAP ?? 最短． （ 1）證明：平面 ?APQ 平面 CCAA11 ； （ 2）求直線 AP 與平面 PQA1 所成角的余弦值． 解 ：（ 1） ∵ 正三棱柱 111 CBAABC ? 中， 11 ?? ABAA ， ∴ 將側面展開后，得到一個由三個正方形拼接而成的矩形 39。39。 11 AAAA （ 如圖 ）， B CA1A1C1BPQ4圖B CA1A1C1BPQ39。A39。1AA1A 從而，折線 1APQA 的長 1QAPQAP ?? 最短，當且僅當 39。A 、 P 、 Q 、 A 四點共線， ∴ P 、 Q 分別是 1BB 、 1CC 上的三等分點，其中311??QCBP ．????????????? 2 分 （ 注 ： 直接正確指出點 P 、 Q 的位置，不扣分 ） 連結 AQ ，取 AC 中點 D ， AQ 中點 E ，連結 BD 、 DE 、 EP ． 由正三棱柱的性質，平面 ?ABC 平面 CCAA11 ， 而 ACBD? ， ?BD 平面 ABC ， 平面 ?ABC 平面 ACCCAA ?11 ， ∴ ?BD 平面 CCAA11 ．?????????????????? 4 分 又由（ 1）知， BPCQDE ?? //21// ， ∴ 四邊形 BDEP 是平行四邊形，從而 BDPE// ． ∴ ?PE 平面 CCAA11 ． 而 ?PE 平面 APQ， ∴ 平面 ?APQ 平面CAA11 ． ??????????????????? 8 分 （ 2 ）（ 法一 ） 由 （ 2 ）， 同 理 可 證 ， 平 面 ?PQA1 平面BBAA11 ． ?????????????? 10 分 而 ?AP 平面 BBAA11 ，平面 ?PQA1 平面 APBBAA ?11 ， ∴ PA1 即為 AP 在平面 PQA1 上的射影， 從而 1APA? 是直線 AP 與平面 PQA1 所成的角．???????? 12 分 在△ 1APA 中， 11?AA ， 31022 ??? BPABAP ， 313212111 ??? PBBAPA ， 由余弦定理，1 3 01 3 0731331021913910c o s 1 ??????? A P A ， 即直線 AP 與平面 PQA1 所成角的余弦值為1301307 ． ?????????????????? 14 分 （ 法二 ）取 BC 中點 O 為原點， OA 為 x 軸， OC 為 y 軸，建立如圖所示的空間直角坐B CA1A1C1BPQDEB CA1A1C1BPQ 標系 xyzO? ，由（ 1）及正三棱柱的性質，可求得： )0,0,23(A ， )1,0,23(1A ， )31,21,0( ?P ， )32,21,0(Q ． 從而 )31,21,23( ???AP ， )32,21,23(1 ????PA ， )31,21,23(1 ???QA ．??????? 10 分 設平面 PQA1 的一個法向量為 ),( zyx?n ， 則??????? QAPA11nn，所以??????? ?? 0011QAPAnn， 即???????????????03121230322123zyxzyx ， 解 之 ， 得???????????zyzx3133，??????????????????? 12 分 取 3??z ，得 3?x ， 1?y ， ∴ )3,1,3( ??n ． 從而????1 3 09313312123123c o s22?????????????????????????????????????|n|||nnAPAPAP ， 即直線 AP 與平面 PQA1 所成角的正弦值為1 309|,c o s| ??? nAP， ∴ 直線 AP 與平面 PQA1 所成角的余弦值為1301307130912???????? ． ??????????? 14 分 17．（本小題滿分 14 分） 已知函數 )(xf 滿足 Cxxfxxf ?????????? 23 3239。)(（ 其中 ??????3239。f為 )(xf 在 點 32?x 處 的導數 ， C 為常數 ） ． （ 1） 求 函數 )(xf 的單調區(qū)間； （ 2） 若方程 0)( ?xf 有且只有兩個不等的實數根，求常數 C ； CBA1A1C1BPQzyOx （ 3） 在（ 2）的條件下，若 031
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