【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 qm??? ? ?????Bvvqm??BΩ??v Ω vB 帶電粒子在均勻恒定磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) ? 取 z軸為磁場(chǎng) B方向 ? 令 ? 則 ? 帶電粒子垂直方向做回旋運(yùn)動(dòng)，平行方向速度不變。 ,x y y xv v v v? ? ? ? ?xyv v iv??00e x p ( ) , c o n s ta n tiv i vv v i t v v e ???? ? ?? ? ? ? ?? 求解得帶電粒子的運(yùn)動(dòng) 帶電粒子在均勻恒定磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) ||c o s ( )s i n ( )xyzv v tv v tvv????? ? ?? ? ? ??00|| 0sin( ) ,c o s( )vx t xy t yz v t z? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ???? ?t x y o B 均勻恒定磁場(chǎng)中帶電粒子的回旋運(yùn)動(dòng) ? 值得注意的是，回旋頻率只與磁場(chǎng)的大小有關(guān)，而與回旋粒子的垂直速度或回旋半徑無(wú)關(guān)。但如果相對(duì)論效應(yīng)不能忽略，則帶電粒子的質(zhì)量會(huì)發(fā)生變化，回旋頻率會(huì)隨著垂直方向的速度改變。此時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程為 ? 其中 ?是相對(duì)論因子。它只與帶電粒子速度的大小有關(guān)，與速度的方向無(wú)關(guān)。而事實(shí)上，只要用點(diǎn)乘式即可看出： 2102d d vd t d t? ? ?vv12 22,1dvmqd t c?????? ? ? ?????v vB帶電粒子在均勻恒定電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) ? 磁場(chǎng)、電場(chǎng)恒定 – 假設(shè)電場(chǎng)在 x、 z平面內(nèi) – 解得 – 即 – 引起 y方向的漂移速度 / ( / ) , /x x z zv i v q E m i v i E B v q E m? ? ? ? ? ? ? ? ?0e x p ( ( ) ) //xz z zv v i t i E Bv q E t m v??? ? ? ? ???c o s ( )s in ( ) /xyxv v tv v t E B????? ? ? ?? ? ? ? ?y x z x y E B 帶電粒子引導(dǎo)中心的漂移運(yùn)動(dòng) ? 引導(dǎo)中心的漂移運(yùn)動(dòng) –回旋運(yùn)動(dòng)時(shí) –可定義引導(dǎo)中心 –引導(dǎo)中心的運(yùn)動(dòng)速度為 –其中，加速度 2,????v Ωv= Ω ρ ρB r(t) R(t) ?(t) 22()cdtdt?? ? ? ? ???v Ω Ωv R v vqmm??? ? ? ?f v B fvv Ω除磁場(chǎng)之外的外力 ??Rr ρ引導(dǎo)中心的漂移運(yùn)動(dòng) ? 化簡(jiǎn)可得 ? 其中，引導(dǎo)中心的漂移速度分為 3項(xiàng)。 –平行磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng) –外力引起的垂直磁場(chǎng)方向的漂移 –磁場(chǎng)的不均勻性引起的漂移 ||22( ) ( )()c f mdm d t??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?Ω Ω f Ω Ωv v v v v v|| ( ) , B? ? ? ? ??Ω Bv v b b bf m?? ?fbv2()mddd t d t?? ? ? ???Ω bv v v引導(dǎo)中心的漂移運(yùn)動(dòng) ? 帶電粒子運(yùn)動(dòng)大致圖像：首先，它繞著磁力線旋轉(zhuǎn)，但其引導(dǎo)中心主要是沿著磁力線方向做平行運(yùn)動(dòng)。其次，引導(dǎo)中心會(huì)在外力作用下漂移偏離磁力線，其漂移方向與磁力線垂直，也與力的方向垂直。此外，磁場(chǎng)的不均勻性也能引起漂移運(yùn)動(dòng)。 ? 下面我們?cè)敿?xì)分析一下帶電粒子的各種引導(dǎo)中心的漂移運(yùn)動(dòng)。 恒定電場(chǎng)力的漂移運(yùn)動(dòng) ? 對(duì)于恒定靜電場(chǎng)，漂移速度為 ? 值得注意的是，電場(chǎng)漂移速度與帶電粒子的電荷的正負(fù)符號(hào)無(wú)關(guān)，也與帶電粒子的質(zhì)量無(wú)關(guān)。在等離子體中，離子和電子以相同的方向和速度漂移，不會(huì)造成的電荷分離。事實(shí)上，我們?nèi)绻∫粋€(gè)以相對(duì)速度運(yùn)動(dòng)的新參考系（稱為 deHoffmanTeller參考系），通過(guò)洛侖茲變換可以發(fā)現(xiàn)，在新的參考系中電場(chǎng)為 0，帶電粒子只是簡(jiǎn)單地圍繞磁力線旋轉(zhuǎn)。而在我們?cè)鹊膮⒖枷抵杏^察，所有的電子和離子除了回旋之外，均以一個(gè)相同的速度做漂移運(yùn)動(dòng)。 ()fEqm m B?? ? ? ? ???f b E b E bv重力等其他恒定力的漂移運(yùn)動(dòng) ? 普通情況下，力總是引起與其方向一致的加速度。而在有磁場(chǎng)的情況下，力引起的是一個(gè)垂直方向的漂移速度 ? 這個(gè)速度與帶電粒子的質(zhì)量也沒(méi)有關(guān)系，但與其電荷有關(guān)。尤其對(duì)于電荷符號(hào)相反的帶電粒子，其漂移方向也相反。在等離子體中，電子和離子漂移方向不同，會(huì)引起電荷分離，從而產(chǎn)生一些特殊的物理現(xiàn)象（如等離子體 磁場(chǎng)分界面上產(chǎn)生的瑞利 泰勒不穩(wěn)定性）。 2f qB?? fBv思考題 ? 為什么通常 Debye長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于近碰撞的瞄準(zhǔn)距離？給出證明。 ? 庫(kù)侖碰撞所用的電勢(shì)的模型是什么 ?庫(kù)侖碰撞 (遠(yuǎn)碰撞 )和近碰撞一般情況下誰(shuí)的碰撞頻率更高 ? ? 在均勻電磁場(chǎng) 中，電子原先靜止在原點(diǎn)，求它其后的運(yùn)動(dòng)軌跡并證明是擺線。 ? 磁場(chǎng)中的引導(dǎo)中心位置如何確定？受力之后引導(dǎo)中心向哪個(gè)方向漂移？ 第 3次課 00,xzEB??E e B e磁場(chǎng)不均勻性引起的漂移 ? 帶電粒子感受到的磁場(chǎng)變化主要是磁場(chǎng)空間不均勻引起的 ? 磁場(chǎng)變化的頻率應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于回旋頻率，否則引導(dǎo)中心的近似不成立。一般來(lái)說(shuō)，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化會(huì)感應(yīng)出電場(chǎng)，情況比較復(fù)雜，因而這里不予考慮。普通情況下，磁場(chǎng)變化頻率很低。 ? 空間變化的特征尺度也應(yīng)該遠(yuǎn)大于回旋半徑。研究漂移時(shí)需要對(duì)回旋圓周做平均。 ,m ddd t d t t?? ? ? ? ? ? ? ? ???bv v v v磁場(chǎng)不均勻性引起的漂移 ? 假設(shè)帶電粒子作螺旋運(yùn)動(dòng) ? 對(duì)回旋圓周做平均時(shí)，有 ? 這里 ||( ) ( c o s s i n )z x yt v v ???? ? ?v e e e2 2 2 2||222|| ||2 2||( ) ( c os si n )11()22m z x yz z x yvvz x yvvvz z x yv vz??????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?b b b bv v v e e eb b be e b e ebbbxyxy???? ? ???eeR B 磁場(chǎng)強(qiáng)度變化引起的漂移 ? 假設(shè)磁場(chǎng)方向恒定，但強(qiáng)度有變化。由此產(chǎn)生漂移運(yùn)動(dòng) ? 令磁矩 m 是由一個(gè)電流環(huán)的面積與環(huán)電流的乘積，即 ? 這時(shí)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)可視為受到 磁鏡力 而引起梯度漂移。 2 2 2212 2 2mBv v m v BB B q? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???bv b bBm??2222 2 / 2v m vqIBm p ? p p??? ? ???磁場(chǎng)彎曲引起的曲率漂移 ? 當(dāng)磁力線是彎曲的時(shí)候，帶電粒子沿彎曲的磁力線做平行磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)感受到離心力作用。由離心力造成曲率漂移運(yùn)動(dòng)。 ? 這里曲率 代表了磁力線的彎曲程度， 而 R是曲率半徑。曲率也能這樣計(jì)算： 2 2 2|| || ||m c Rv v m vz R B q?? ? ? ? ? ?? ? ?bbv b b κ eRzR?? ? ??ebκR B 1( ) ( ) ( ) ( )2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?κ b b b b b b b b無(wú)電流區(qū)磁場(chǎng)不均勻引起的漂移 ? 若磁場(chǎng)方向和強(qiáng)度均有變化，在無(wú)電流的區(qū)域有 ? 此時(shí)有 ，證明： ? 進(jìn)一步有 ? 從而 ( ) 0B B B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B b b b2 2 22 2 2|| || ||21( ) ( )2 2 2mv v vv v v? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?κ κ κv b b b b b0?? ? ?b1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 01( ) ( ) ( ) 02BzB?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b b b b b b b b bb b b b b b()BB z z?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? bb b b b b b κ帶電粒子在時(shí)間變化電場(chǎng)中的漂移 （極化漂移） ? 有恒定磁場(chǎng)和垂直于磁場(chǎng)的變化電場(chǎng) ? 解運(yùn)動(dòng)方程 ： ? 令 00, c o s( )zxB E t???B e E e00c o s ( )c o s ( ) ,xzxyqEtmqEv i v t v v ivm??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?v e v e011 , c o s ( )i t i tqEv v e v e t d tm ?? ? ?? ? ? ?帶電粒子在時(shí)間變化電場(chǎng)中的漂移 （極化漂移） ? 一般情況電場(chǎng)的變化遠(yuǎn)慢于回旋，則 y方向上是普通的電漂移， x方向上即是極化漂移： 粒子越重 ， 漂移越快 。 引起電流 ， 電荷分離 。 2222c os( )()si n( )()xyq dEv v tm dtqv v t Em??????? ? ? ???? ? ? ? ? ???02i t i titqE eev v emi????????? ? ?? ? ? ?（ ）2pm d Evq B d t?守恒量和絕熱不變量 ? 對(duì)于只在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子，其動(dòng)能守恒。 ? 有周期運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)中，若系統(tǒng)的能量變化遠(yuǎn)慢于周期運(yùn)動(dòng)，則周期運(yùn)動(dòng)的角變量 q對(duì)于它的廣義動(dòng)量 p積分一周，可得對(duì)應(yīng)的作用變量 近似不變，稱為絕熱不變量。結(jié)論論證如下： ? 假設(shè)系統(tǒng)只有一個(gè)廣義變量 q（其實(shí)只需在哈密頓雅可比方程中 q可分離出來(lái)），有 21 ( ) 02d m v m qdt ? ? ? ? ? ?v v v v BJ pdq? ?守恒量和絕熱不變量 ? 系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為 ? 反解為 ? 因而 ? 對(duì)哈密頓方程作 l和 E的偏導(dǎo)數(shù)，得到 ? 代入得 ( , , ( ) ) ( )H q p t E tl ?0 , 1H p H H pp p Ell? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?( , ( ) , ( ) )p p q E t tl?( ) ( )dJ p dE p d p p Hdq dE ddt E dt dt E pl lll? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???( 1 ) ( )( ) ( ) 0d J H Hd E d d H ddtHHd q d p p d q q d pqpllll??? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ???????回旋運(yùn)動(dòng)和磁矩不變量 ? 對(duì)于回旋運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)磁矩不變量。 ? 由于帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能 w不變，同時(shí)磁矩也是絕熱不變量，因此沿磁場(chǎng)方向的動(dòng)能w||可寫(xiě)為 如果只考慮粒子的平行方向動(dòng)能， mB可看作等效勢(shì)能，勢(shì)能的負(fù)梯度是等效磁鏡力： ? 這個(gè)力引起磁場(chǎng)梯度漂移。 222 2 m v WJ m r d mB? ? p ? m??? ? ? ? ? ???w w Bm??Bm? ? ?f磁鏡力 ? 如圖是一個(gè)非均勻（這里以會(huì)聚的為例）磁場(chǎng)形態(tài)。帶電粒子在磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，受力計(jì)算的結(jié)