第一節(jié)定積分的概念(編輯修改稿)
2025-08-16 15:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 即 )0)()(( ?xfxf.d)( xxfA ba?? 物體在變力 F(s)作用下作直線運動，由起始位置 a移動到 b，變力對物體所做之功等于函數(shù) F(s)在 [a,b]上的定積分，即 ?? ba ssFW d)( 如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]上的定積分存在，則稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]上可積 . 關(guān)于定積分的概念，還應(yīng)注意兩點 : (1)定積分 是積分和式的極限，是一個數(shù)值 ,定積分值只與被積函數(shù) f(x)及積分區(qū)間 [a,b]有關(guān) ,而與積分變量的記法無關(guān) .即有 .d)(d)(d)( ??? ?? bababa uufttfxxfxxfba d)(?(2)在定積分 的定義中 ,總假設(shè) ,為了今后使用方便，對于 的情況作如下規(guī)定： xxfba d)(? ba?baba ?? ，.d)(d)( ,0d)( xxfxxfbaxxfbabaabba????????時當(dāng)；時，當(dāng)定積分的幾何意義： 如果在 [a,b]上 ，則 在幾何上表示由曲線 y=f(x)，直線 x=a， x=b及 x軸所圍成的曲邊梯形的面積 . 0)( ?xf ?ba xxf d)( 如果在 [a,b]上 ,此時由曲線 y=f(x),直線 x=a，x=b及 x軸所圍成的曲邊梯形位于 x軸的下方 ,則定積分 在幾何上表示上述曲邊梯形的面積 A的相反數(shù) . 0)( ?xf?ba xxf d)( 如果在 [a,b]上 f(x)既可取正值又可取負(fù)值，則定積分 在幾何上表示介于曲線 y=f(x)，直線x=a， x=b及 x軸之間的各部分面積的代數(shù)和 . ?ba xxf d)(三 、定積分 的存在定理 .],[)(],[)( 上可積在上連續(xù)，則在區(qū)間若函數(shù) baxfbaxf定理 .],[)(],[)( 上可積在間斷點，則第一類上有界，且只有有限個在區(qū)間若函數(shù)baxfbaxf定理 例 1 用定義計算 1 20 ?解 (1)分割 .插入 n－ 1個分點把區(qū)間 [0,1]分成 n等分 ,各分點的坐標(biāo)依次是 0 1 2120 , , , , , 1 ,ininx x x x xn n n n? ? ? ? ? ?每個小區(qū)間的長度均為 1 ( 1 , 2 , , ) .ix i nn? ? ?(2)近似、求和 .取每各小區(qū)間 右端點為 ξi,即 1[ , ]iixx?1 1 2 212, , , , , 1 ,i i n nix x x xn n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?作乘積 2231( ) ( ) ( 1 , 2 , , ) .iiiif x i nn n n? ? ? ? ?2331111( ) ( 1 ) ( 2 1 )6nniiiiif x n n nnn???
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