【文章內(nèi)容簡介】 處理中，周期延拓這一信號處理方法非常重要。下面的程序段，就是將一個非周期信號x1(t) = e2t[u(t)u(t2)]經(jīng)過周期延拓之后而得到一個周期信號：clear, close all。t = 4::4。T = 2。 x = 0。for k = 2:2。 x = x+exp(2*(tk*T)).*(u(tk*T)u(t(k+1)*T))。end仔細閱讀該程序，可以發(fā)現(xiàn)其算法就是： 由于k無法計算到無窮，而是以有限值加以替代，反映到有限寬度圖形窗口中得到的效果完全符合要求。3 LTI系統(tǒng)的時域描述 在分析LTI系統(tǒng)時，有關(guān)LTI系統(tǒng)的兩個重要的性質(zhì)是必須首先掌握和理解的。這就是線性性（Linearity）和時不變性（Timeinvariance）。所謂線性性就是指系統(tǒng)同時滿足齊次性和疊加性。這可以用下面的方法來描述。 假設(shè)系統(tǒng)在輸入信號x1(t)作用時的響應(yīng)信號為y1(t)，在輸入信號x2(t)作用時的響應(yīng)信號為y2(t)，給定兩個常數(shù)a和b，如果當輸入信號為x(t)時系統(tǒng)的響應(yīng)信號為y(t)，且滿足 x(t) = x1(t) + x2(t) (a) y(t) = y1(t) + y2(t) (b)則該系統(tǒng)具有疊加性（Additivity）。如果滿足 x(t) = ax1(t) (a) y(t) = ay1(t) (b)則該系統(tǒng)具有齊次性（Homogeneity）。一個系統(tǒng)如果是線性系統(tǒng)的話，那么這個系統(tǒng)必須同時具有疊加性和齊次性。 又假設(shè)系統(tǒng)在輸入信號x(t)作用時的響應(yīng)信號為y(t)，對一個給定時間常數(shù)t0，如果當輸入信號為x(tt0)時，系統(tǒng)的響應(yīng)信號為y(tt0)的話，則該系統(tǒng)具有時不變性。 同時具有線性性和時不變性的系統(tǒng)，叫做線性時不變系統(tǒng)，簡稱LTI系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)有連續(xù)時間LTI系統(tǒng)和離散時間LTI系統(tǒng)之分。連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入和輸出信號都必須是連續(xù)時間信號，而離散時間系統(tǒng)的輸入和輸出信號都必須是離散時間信號。 LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和卷積模型 給定一個連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，在系統(tǒng)的初始條件為零時，用單位沖激信號δ(t)作用于系統(tǒng)，此時系統(tǒng)的響應(yīng)信號稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)（Unit impulse response），一般用h(t)來表示。需要強調(diào)的是，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是在激勵信號為δ(t)時的零狀態(tài)響應(yīng)（Zerostate response）。 離散時間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的定義與連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)相同，只是離散時間單位沖激函數(shù)δ[n]的定義有所不同。 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是一個非常重要的概念，對于一個系統(tǒng)，如果我們知道了該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，那么，該系統(tǒng)對任意輸入信號的響應(yīng)信號都可以求得。也就是說，系統(tǒng)的輸入信號x(t)、x[n]和輸出信號y(t)、y[n]之間的關(guān)系可以用一個數(shù)學表達式來描述，這個數(shù)學表達式為 (a) (b)這個表達式就是LTI系統(tǒng)的卷積模型，它是根據(jù)系統(tǒng)的線性性和時不變性以及信號可以分解成單位沖激函數(shù)經(jīng)推理得到的。這個表達式實際上告訴了我們一個重要的結(jié)論，那就是，任意LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位沖激響應(yīng)h(t)/h[n]來確定。由于系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)。，求和運算叫做卷積和，是描述連續(xù)時間系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的一個重要表達式。 卷積的計算通?？砂聪旅娴奈鍌€步驟進行（以卷積積分為例）：1. 該換兩個信號波形圖中的橫坐標，由t改為τ，τ變成函數(shù)的自變量；2. 把其中一個信號反褶，如把h(τ)變成h(τ)；3. 把反褶后的信號做移位，移位量是t，這樣t是一個參變量。在τ坐標系中，t 0時圖形右移， t 0時圖形左移。4. 計算兩個信號重疊部分的乘積x(τ)h(tτ)；5. 完成相乘后圖形的積分。對于兩個時限信號（Timelimited signal），按照上述的五個步驟，作卷積積分運算時，關(guān)鍵是正確確定不同情況下的積分限。只要正確地確定了積分限都能得到正確定積分結(jié)果。盡管如此，在時域中計算卷積積分，總體上來說是一項比較困難的工作。程序convlution_demo用來演示上述作卷積積分運算的五個步驟。本程序較為復雜，不建議讀者讀懂該程序，只需執(zhí)行這個程序，觀看程序執(zhí)行過程中有關(guān)卷積積分的運算過程，以便于理解這五個步驟。借助MATLAB的內(nèi)部函數(shù)conv()可以很容易地完成兩個信號的卷積積分運算。其語法為：y = conv(x,h)。其中x和h分別是兩個作卷積運算的信號，y為卷積結(jié)果。為了正確地運用這個函數(shù)計算卷積，這里有必要對conv(x,h)做一個詳細說明。conv(x,h)函數(shù)實際上是完成兩個多項式的乘法運算。例如，兩個多項式p1和p2分別為： 和 這兩個多項式在MATLAB中是用它們的系數(shù)構(gòu)成一個行向量來表示的，如果用x來表示多項式p1，h表示多項式p2，則x和h分別為 x = [1 2 3 4] h = [4 3 2 1]在MATLAB命令窗口依次鍵入 x = [1 2 3 4]。 h = [4 3 2 1]。 y=conv(x,h)在屏幕上得到顯示結(jié)果：y = 4 11 20 30 20 11 4這表明，多項式p1和p2的乘積為： 正如前所述，用MATLAB處理連續(xù)時間信號時，獨立時間變量t的變化步長應(yīng)該是很小的，假定用符號dt表示時間變化步長，那么，用函數(shù)conv()作兩個信號的卷積積分時，應(yīng)該在這個函數(shù)之前乘以時間步長方能得到正確的結(jié)果。也就是說，正確的語句形式應(yīng)為：y = dt*conv(x,h)。對于定義在不同時間段的兩個時限信號x(t)，t0 ≤ t ≤ t1，和h(t)，t2 ≤ t ≤ t3。 如果用y(t)來表示它們的卷積結(jié)果，則y(t)的持續(xù)時間范圍要比x(t)或h(t)要長，其時間范圍為t0+t2 ≤ t ≤ t1+t3。這個特點很重要，利用這個特點，在處理信號在時間上的位置時，可以很容易地將信號的函數(shù)值與時間軸的位置和長度關(guān)系保持一致性。根據(jù)給定的兩個連續(xù)時間信號x(t) = t[u(t)u(t1)]和h(t) = u(t)u(t1)，編寫程序，完成這兩個信號的卷積運算，并繪制它們的波形圖。范例程序如下：% Program1_6% This program putes the convolution of two continuoutime signalsclear。close all。t0 = 2。 t1 = 4。 dt = 。t = t0:dt:t1。x = u(t)u(t1)。h = t.*(u(t)u(t1))。y = dt*conv(x,h)。 % Compute the convolution of x(t) and h(t)subplot(221)plot(t,x), grid on, title(39。Signal x(t)39。), axis([t0,t1,])subplot(222)plot(t,h), grid on, title(39。Signal h(t)39。), axis([t0,t1,])subplot(212)t = 2*t0:dt:2*t1。 % Again specify the time range to be suitable to the % convolution of x and h.plot(t,y), grid on, title(39。The convolution of x(t) and h(t)39。), axis([2*t0,2*t1,]), xlabel(39。Time t sec39。)在有些時候，做卷積和運算的兩個序列中，可能有一個序列或者兩個序列都非常長，甚至是無限長，MATLAB處理這樣的序列時，總是把它看作是一個有限長序列，具體長度由編程者確定。實際上，在信號與系統(tǒng)分析中所遇到的無限長序列，通常都是滿足絕對可和或絕對可積條件的信號。因此，對信號采取這種截短處理盡管存在誤差，但是通過選擇合理的信號長度，這種誤差是能夠減小到可以接受的程度的。若這樣的一個無限長序列可以用一個數(shù)學表達式表示的話，那么，它的長度可以由編程者通過指定時間變量n的范圍來確定。例如，對于一個單邊實指數(shù)序列x[n] = [n]，通過指定n的范圍為0 ≤n ≤ 100，則對應(yīng)的x[n]的長度為101點，雖然指定更寬的n的范圍，x[n]將與實際情況更相符合，但是，注意到，當n大于某一數(shù)時，x[n]之值已經(jīng)非常接近于0了。對于序列x[n] = [n]，當n = 7時，x[7] = ，這已經(jīng)是非常小了。所以，對于這個單邊實指數(shù)序列，指定更長的n的范圍是沒有必要的。當然，不同的無限長序列具有不同的特殊性，在指定n的范圍時，只要能夠反映序列的主要特征就可以了。 用線性常系數(shù)微分方程描述LTI系統(tǒng)線性常系數(shù)微分方程或差分方程是描述LTI系統(tǒng)的另一個時域模型。一個連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，它的輸入信號x(t)輸出信號y(t)關(guān)系可以用下面的微分方程來表達 ，max (N, M)定義為系統(tǒng)的階。（Implicit relationship）。為了求得系統(tǒng)響應(yīng)信號的顯式表達式（Explicit expression），必須對微分方程和差分方程求解。 在MATLAB中，一個LTI系統(tǒng)也可以用系統(tǒng)微分方程的系數(shù)來描述，例如，一個LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的微分方程為 MATLAB則用兩個系數(shù)向量num = [1]和den = [1 3 2]來描述該系統(tǒng)，其中num和den分別表示系統(tǒng)微分方程右邊和左邊的系數(shù)，按照微分運算的降階排列。MATLAB的內(nèi)部函數(shù)impulse()，step()，initial()，lsim() 可以用來計算并繪制連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)，零輸入響應(yīng)和任意信號作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這些函數(shù)的用法描述如下：h= impulse(num, den, T) 和 impulse(num, den, T)s = step(num, den, T) 和 step(num, den, T)y = lmis(num, den, x, t) 和 lmis(num, den, x, t)函數(shù)impulse()，step()用來計算由num和den表示的LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)，響應(yīng)的時間范圍為0~T，其中den和num分別為系統(tǒng)微分方程左右兩邊的系數(shù)向量，T為指定的響應(yīng)的終點時間。h和s的點數(shù)默認值為101點。由此可以計算時間步長為dt = T/(1011)。不帶返回值的函數(shù)如impulse(num, den, T)和step(num, den, T)將直接在屏幕上繪制系統(tǒng)的單位沖激響和單位階躍響應(yīng)曲線。帶返回值的函數(shù)如y = lmis(num, den, x, t)和y = lmis(num, den, x, t)，用來計算由num和den表示的LTI系統(tǒng)在輸入信號x作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。其中t為指定的時間變化范圍，x為輸入信號，它們的長度應(yīng)該是相同的。如帶返回參數(shù)y，則將計算的響應(yīng)信號保存在y中，若不帶返回參數(shù)y，則直接在屏幕上繪制輸入信號x和響應(yīng)信號y的波形圖。例如，編寫程序，計算并繪制由下面的微分方程表示的系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)，單位階躍響應(yīng)s(t)。 MATLAB范例程序如下：% Program1_7% This program is used to pute the impulse response h(t) and the step response s(t) of a % continuoustime LTI systemclear, close all。num = input(39。Type in the right coefficient vector of differential equation：39。)。den = input(39。Type in the left coefficient vector of differential equation：39。)。t = 0::8。x = input(39。Type in the expression of the input signal x(t)：39。)。subplot(221), impulse(num,den,8)。subplot(222), step(num,den,8)三、實驗內(nèi)容及步驟實驗前，必須首先閱讀本實驗原理，讀懂所給出的全部范例程序。實驗開始時，先在計算機上運行這些范例程序，觀察所得到的信號的波形圖。并結(jié)合范例程序應(yīng)該完成的工作，進一步分析程序中各個語句的作用，從而真正理解這些程序。實驗前，一定要針對下面的實驗項目做好相應(yīng)的實驗準備工作，包括事先編寫好相應(yīng)的實驗程序等事