【文章內(nèi)容簡介】 得分都是整數(shù))你知道嗎 為什么油桶、水箱等裝液體的容器六都做成圓柱形的？這里有數(shù)學(xué)方面的道理，設(shè)圓柱形的底面半徑是r．高為h．可以做成2rh，2rh，2r＝h三種形狀的圓柱形容器，使用哪一種形狀用料最省呢?也就是上、下底面積和側(cè)面積之和最?。?jīng)過計算可以知道，當(dāng)h＝2r時，即取底面圓的直徑和高相等時，用料最省， 如果容器做成球形，則比做成圓柱形還要省料，但是球形容器容易滾動，很不穩(wěn)定，而且蓋子也難做好，做成球形雖然省料，但不實(shí)用，所以一般都不做成球的形狀.第6講 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一．它的基本類型有三種：1．求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾；2．求一個數(shù)的幾分之幾是多少；3．已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)．解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是找到單位“1”，建立對應(yīng)關(guān)系.例1 甲數(shù)比乙數(shù)多，乙數(shù)比甲數(shù)少幾分之幾？思維點(diǎn)撥 這是“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”類型的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題．解答這類題的方法是：看誰和單位“1”比，就用誰除以單位“1”，本題是求乙數(shù)比甲數(shù)少幾分之幾，所以是用“乙數(shù)比甲數(shù)少的”除以甲數(shù).例2 小明看一本小說，第一天看了全書的還多16頁，第二天看了全書的少2頁，全書有144頁．小明這兩天共看了多少頁？思維點(diǎn)撥 此題的單位“1”是全書的頁數(shù)，已經(jīng)告訴我們?nèi)珪?44頁，所以這道題是“求單位1的幾分之幾是多少”的類型．例3 小明看一本書，第一天看了全書的，第二天看了40頁，第三天看的頁數(shù)是前兩天看的總數(shù)的，這時還剩下全書的沒有看．問：全書共有多少頁？思維點(diǎn)撥 第三天看的頁數(shù)是前兩天看的總數(shù)的，就是指第三天看的頁數(shù)是全書的加上40頁的，由此可知，已知數(shù)量(40＋40)的對應(yīng)分率是(1－－－)．例4 甲、乙兩數(shù)之和是270，甲數(shù)的等于乙數(shù)的．甲、乙兩數(shù)各是多少？思維點(diǎn)撥 題中有甲數(shù)、乙數(shù)兩個單位“1”，需統(tǒng)一單位“1”．把甲數(shù)看做單位“1”，那么乙數(shù)就是甲數(shù)的247。，即甲數(shù)的．這樣與和270相對應(yīng)的具體分率是1＋，由此可求出單位“1”.例5 向前小學(xué)六年級有學(xué)生480人，其中女生占，后來轉(zhuǎn)來了一些女生，這樣女生占六年級總?cè)藬?shù)的，轉(zhuǎn)來的女生有多少人？思維點(diǎn)撥 在本題中，女生人數(shù)、六年級總?cè)藬?shù)都發(fā)生了變化，但男生人數(shù)卻沒有變化，因此可抓住男生人數(shù)這個不變量求出后來的總?cè)藬?shù)，從而推出轉(zhuǎn)來的女生人數(shù)，例6 為了慶祝六一兒童節(jié)，學(xué)校買來紅氣球和黃氣球共200個，紅氣球的比黃氣球的多14個．學(xué)校買來紅氣球和黃氣球各多少個？思維點(diǎn)撥 設(shè)學(xué)校買來紅氣球1個，黃氣球就有(200－x)個，根據(jù)題目中的條件“紅氣球的比黃氣球的多14個”，可以列出下面的等量關(guān)系式：紅氣球的－黃氣球的＝14．●課內(nèi)練習(xí)1．甲數(shù)比乙數(shù)少，乙數(shù)比甲數(shù)多幾分之幾？2．一堆煤1050噸，一季度燒了還多10噸，二季度燒了原總煤量的少5噸，還剩多少噸？3．一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時行了50千米，第二小時行了全程的，第三小時行的是前兩小時行的總和的，這時還剩下全程的，甲、乙兩地相距多少千米？4．小華和小紅共有910元存款，小華存款的和小紅存款的相等，她們倆入各有存款多少元？5．某校六(2)班有48人，女生占，轉(zhuǎn)走幾名女生后，女生，轉(zhuǎn)走了幾名女生？6．師徒兩人合作加工400個零件，師傅加工的比徒弟加工的還多8個，師徒兩人各加工了多少個？●課外作業(yè)1．六(1)班星期二這天出勤39人，缺勤1人，求六(1)班這天的出勤率．2．甲、乙兩城相距960千米，自行車隊從甲城出發(fā)去乙城，第一天行了全程的多15千米，第二天行了全程的多20千米，第三天行了全程的．自行車隊三天共行了多少千米？3．王師傅加工一批零件，第一天加工了40個，第二天加工了這批零件的，第三天加工的比前兩天加工的總和的還多20個，這時還剩下這批零件的沒有加工，這批零件共有多少個？4．甲、乙兩個倉庫共有510噸貨物，從甲倉運(yùn)走，從乙倉運(yùn)走后，兩倉庫剩下的貨物正好相等，甲、乙兩個倉庫原有貨物各多少噸？5．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組中，女生人數(shù)占，后來又有8名女同學(xué)參加，這時，女生人數(shù)占數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)的，求這個數(shù)學(xué)興趣小組現(xiàn)在共有多少人．6．王偉和李剛共有800元存款，王偉取出自己存款的，李剛?cè)〕鲎约捍婵畹?，這時兩人還共有存款170元，王偉和李剛原來各有存款多少元？7．紅山小學(xué)六年級舉行數(shù)學(xué)和語文競賽，參加的人數(shù)占全年級總?cè)藬?shù)的，參加語文競賽的占競賽人數(shù)的，參加數(shù)學(xué)競賽的占競賽人數(shù)的，兩項都參加的有12人，全年級共有多少人？8．甲、乙、丙、丁四人共有存款若干，其中甲有480元，乙的存款是其余三人的，丙的存款是其余三人的，丁的存款是其余三人的，甲、乙、丙、丁四人共有存款多少元？9．有一家糧店運(yùn)進(jìn)一批大米，第一天賣出總量的，第二天賣出總量的，第三天賣出剩下的，此時只剩下100千克，問：原運(yùn)進(jìn)大米多少？，第一天放出全部水的，第二天放出40立方米，第三天放出全部水的，此時水池中還有水56立方米，試問：這個水池一共有水多少？你知道嗎 關(guān)于乘法的記號. 人類很早就掌握了乘法運(yùn)算，我國古代就出現(xiàn)了“九九”乘法表，在西方還出現(xiàn)過格子乘法，乘法的記號“”是1631年由英國數(shù)學(xué)家奧特雷德( ，1574～1660)倡用的，由于容易和拉丁字母“x”相混，17世紀(jì)豐經(jīng)萊布尼茲(G．，1646～1716,德國數(shù)學(xué)家)提出改闡“”．在我國，這兩種記號都采用，數(shù)字的乘法用記號“”，而數(shù)字和字母相乘或是字母之間相乘，則用記號“”或省略不寫．第7講 百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 在日常生活中會遇到很多百分?jǐn)?shù)問題，如溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)問題、商品的打折出售、利潤率的計算、儲蓄的利息等，其中常用的數(shù)量關(guān)系有： 溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)＝＝ 利潤＝售價－成本， 利潤率＝100%， 售價＝成本(1＋利潤率)， 單利息＝本金利率時間.例1 有含鹽10%的鹽水50千克，要配制成含鹽25%的鹽水200千克，需加鹽和水各多少千克？思維點(diǎn)撥 先求出含鹽25%的鹽水200千克中有多少千克鹽和水，再求出含鹽10%的鹽水中有多少千克鹽和水，再用含鹽25%的鹽和水分別減去含鹽10%的鹽和水，就可以求出需要加鹽和水各多少千克了.例2 甲、乙兩種酒精的質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為80%和60%，現(xiàn)在要配制質(zhì)量分?jǐn)?shù)為65%的酒精4000克，應(yīng)當(dāng)從這兩種酒精中各取多少克？思維點(diǎn)撥 配制溶液的過程中，前、后溶液中的溶質(zhì)沒有改變，利用這個關(guān)系列出方程解答．例3 某商品按20%的利潤定價，然后按八八折賣出，獲得利潤56元．這件商品的成本是多少元？思維點(diǎn)撥 把這件商品的成本看做單位“1”，商品的定價就是成本的1＋20%＝120%．因?yàn)樯唐钒窗税苏圪u出，所以商品的售價就相當(dāng)于成本的120%88%＝%，%－1＝%.例4 某商品按定價出售，每個可以獲得利潤50元．現(xiàn)在按定價八折出售8個與按定價每個減價40元出售12個所能獲得的利潤一樣．這種商品每個定價多少？思維點(diǎn)撥 每個減價40元出售12個共可獲利潤(50－40)12＝120(元)，也是八折出售8個所得的利潤，所以八折出售每個獲利為120247。8＝15(元)． 八折每個商品少獲利50－15＝35(元)，八折就是每件商品少賣定價的1－80%＝20%，這樣我們可知定價的20%是35元，從而可以求出定價.例5 ，按50%的利潤定價出售，當(dāng)賣掉80%后，剩下的筆記本打折扣出售，結(jié)果獲得的利潤是預(yù)定的88%，問：剩下的筆記本出售時是按定價打了什么折扣？思維點(diǎn)撥 由題意，可得如下關(guān)系式：成本(1＋50%)80%＋成本(1－80%)(1＋50%)折扣＝成本(1＋50%88%)．例6 小華到商店買紅、藍(lán)兩種筆共66支，紅筆每支定價5元，藍(lán)筆每支定價9元．由于買的數(shù)量較多，商店就給予優(yōu)惠，紅筆按定價85%付錢，藍(lán)筆按定價80%付錢．如果她付的錢比按定價少付了18%，那么她買了紅筆多少支？思維點(diǎn)撥 由題意我們可知，她付的錢比定價少了18%，我們可以理解為紅筆是定價的1－18%＝82%，藍(lán)筆也是定價的82%，相當(dāng)于紅筆付錢時每支是582%＝(元)，藍(lán)筆付錢時是每支982%＝(元)．實(shí)際上紅筆每支585%＝(元)，藍(lán)筆每支980%＝(元)．由于所付的總錢數(shù)不變，因此紅筆多付的錢與藍(lán)筆少付的錢一樣多.●課內(nèi)練習(xí)1．有含鹽15%的鹽水40千克，要配制含鹽25%的鹽水100千克，需加鹽和水各多少千克？2．將20%的鹽水與J%的鹽水混合，配成15%的鹽水300克，需要20%的鹽水和5%的鹽水各多少克？3．某商品按20%的利潤定價，然后按九折賣出，共得利潤64元，這件商品的成本是多少元？4．一種商品按定價出售每個可獲利60元，現(xiàn)在按定價的75%出售10個與按每個減價40元出售5個所獲得的利潤同樣多，這種商品每個定價是多少元？5．，按40%的利潤定價出售，當(dāng)賣掉80%后，剩下的商品打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預(yù)定的86%．問：剩下的商品出售時是按定價打了什么折扣？6．，當(dāng)賣出總數(shù)的時，不僅收回了全部成本，還盈利24元，趙師傅一共購進(jìn)多少只玩具狗？●課外作業(yè)1．在質(zhì)量分?jǐn)?shù)為25%的食鹽水20千克中加入10%的食鹽水和白開水各若干千克，加入的食鹽水是白開水的2倍，得到了質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的食鹽水，求加入10%的食鹽水多少千克．2．質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%，18%和16%%的鹽水．如果18%的鹽水比16%的鹽水多30克，三種鹽水各有多少克？3．一件商品按30%的利潤定價，然后按七折賣出，結(jié)果虧損了18元，這件商品的成本是多少元？4．一種商品，甲店進(jìn)貨價比乙店便宜12%，兩店同樣按20%的利潤定價，售出這樣的一件商品乙店要比甲店多收入24元，求甲店的定價是多少元．5．某商店有兩件商品，其中一件商品按成本增加25%出售，另一件商品按成本減少20%出售，售價恰相同，那么( )．6．某文體商店用2200元進(jìn)了一批籃球和足球，籃球比足球多15個，商店出售足球的定價是20元，籃球的定價比足球增加20%，這批球售完后共得利潤1020元，足球和籃球各有多少個？7．在質(zhì)量分?jǐn)?shù)為30%的300克鹽水中加入多少鹽就能得到質(zhì)量分?jǐn)?shù)為40%的鹽水？8．甲容器中有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為10%的鹽水400克，乙容器中有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為15%的鹽水240克，往甲、乙兩容器中倒入等量的水，使兩個容器中鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)相同，每個容器應(yīng)加入多少水？9．姜老師于2006年3月15日將10000元錢存入銀行，存期為1年，%．2007年3月15日姜老師到銀行辦了本息續(xù)存1年的手續(xù)，年利率未變，2008年3月15日姜老師又到銀行辦了本息續(xù)存1年的手續(xù)，%．問：姜老師到2009年3月15日可拿到本息共多少？，每售出1件可獲利潤18元，售出40%后每件減價10元出售，全部售完，共獲利3000元．問商店共售出這種商品多少件．你知道嗎 通常我們說甲比乙多多少和乙比甲少多少是一樣的，例如，甲比乙多10千克，那么乙就比甲少10千克．但是用分?jǐn)?shù)來表示時情況就不一樣了．因?yàn)榧妆纫叶喟俜种畮椎囊馑际?，乙比甲少百分之幾的意思是里，兩個式子分子相同，分母卻是不同的，因此結(jié)果就不同了．例如甲比乙多25%，剛乙比甲少百分之幾呢？我們選乙做標(biāo)準(zhǔn)，也就是乙為100%，因甲比乙多25%，所以甲是125%．乙比甲少百分之幾．就是＝＝＝20%,即乙比甲少20%,兩者不同．你可以自己再算幾個．第8講 工程問題 工程間題是分?jǐn)?shù)摩用題的特倒，因此解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基本思想和解工程問題是一致的，工程問題是研究王作效率、王作時間和工作憨量之間相互關(guān)系的一類問題．它的基本數(shù)量關(guān)系式是：工作效率工作越間＝工作總量．在工程問題中，常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用“每天完成工作量妁幾分之幾”來表示．例1 甲、乙兩隊合修一條公路．甲隊單獨(dú)修要15天修完，乙隊單獨(dú)修要 20天修完，現(xiàn)在兩隊同時修了幾天后， 由甲隊單獨(dú)修了8天修完，求乙隊修了幾天． 思維點(diǎn)撥 把公路全長看做單位“1”，從單位“1”中減去甲隊8天修的，剩下的就是甲、乙兩隊同時修的，用剩下的工作量除以甲、乙兩隊的工作效率之和，等于甲、乙兩隊合修的天數(shù)，也就是乙隊修的天數(shù)．例2 一項工程，甲、乙兩隊合作12 天完成，乙、丙兩隊合作18天完成，甲、丙兩隊合作需9天完成，現(xiàn)在三隊合作，需多少天完成？思維點(diǎn)撥 根據(jù)題意，甲、乙兩隊每天完成這項工程的，乙、丙兩隊每天完成這項工程的，甲、丙兩隊每天完成這項工程的．(＋＋)就是甲、乙、丙三隊合作2天共完成了這項工程的幾分之幾，容易求出甲、乙、丙每天完成這項工程的幾分之幾，進(jìn)而求出三隊合作完成這項工程需要多少天，例3 一件工作，甲單獨(dú)完成需要20天，乙單獨(dú)完成需要15天，若甲先做若干天后乙接著做，共用了18天完成，求甲工作了多少天．思維點(diǎn)撥 由于甲的工作效率是，乙的工作效率是，甲比乙的工作效率慢，所以18天完不成這件工作．用乙的一天工作量換成甲的一天工作量，則每天又可多完成－＝．這樣甲18天內(nèi)完不成的工作量里有幾個，乙就應(yīng)替換甲幾天，也就是乙工作的時間．例4 師徒兩人合作一件工作，要20天完成，如果讓徒弟先做8天，剩下的工作由師傅單獨(dú)做，還要26天才能完成，師傅單獨(dú)做這件工作需要多少天完成？思維點(diǎn)撥 這里可以把“徒弟先做8天，剩下的工作由師傅單獨(dú)做，還要26天才能完成”轉(zhuǎn)化為“師徒兩人合作8天后，師傅再做26－8＝18(天)才能完成”來考慮．例5 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成，現(xiàn)在由甲先做16天，然后乙再做1