【文章內(nèi)容簡介】 梯上站一質(zhì)量為m的人，共同在氣球所受浮力F作用下加速上升。人以相對(duì)于軟梯的加速度am上升，問氣球加速度如何？解，（1）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理系統(tǒng)受外力：重力、浮力設(shè)氣球的加速度a，則得： （2）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理 因得：結(jié)果同上。，水流沖擊葉片曲面前后的速率都等于v，每單位時(shí)間投向葉片的水的質(zhì)量保持不變且等于u，求水作用于葉片的力。解，取質(zhì)量為的一部分水流作為隔離體。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理有：對(duì)于時(shí)間內(nèi)沖擊葉片的整個(gè)水流應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理即 根據(jù)牛頓第三定律水作用于葉片的力為 70kg重的人和210kg重的小船最初處于靜止。問船向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)了幾米？不計(jì)船所受的阻力。解，以地面為參照系，人的前進(jìn)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向。系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。，，最初均處于靜止。向右發(fā)射一枚彈丸，車廂則向左運(yùn)動(dòng)。彈丸射在對(duì)面墻上后隨即順墻壁落下。問此過程中車廂移動(dòng)的距離是多少？已知炮車和車廂總質(zhì)量為M，彈丸質(zhì)量為m,炮口到對(duì)面墻上的距離為L。不計(jì)鐵軌作用于車廂的阻力。解，以地面為參照系，水平向右為坐標(biāo)軸正方向。系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒。設(shè)彈丸的速度為v,車廂的速度為V，車廂移動(dòng)的距離為s，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則得由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：水平方向系統(tǒng)的質(zhì)心不動(dòng)。得，結(jié)果同上。=16510kg和m2=11510kg,各以速率v1=90km/h和v2=108km/h向東和向北行駛。相撞后聯(lián)在一起滑出。求滑出的速度。不計(jì)摩擦（請(qǐng)用質(zhì)心參照系求解）。解，用質(zhì)心參照系求，質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心參照系的動(dòng)量總為零。質(zhì)心系的速度：兩車的質(zhì)心速度： 可求。,投出的速率為25m/s，在剛要接觸與發(fā)射點(diǎn)同一水平面的目標(biāo)時(shí)爆炸，設(shè)分成質(zhì)量相等的三塊，一塊以速度v3鉛直朝下，一塊順爆炸處切線方向以v2=15m/s飛出，一塊沿法線方向以v1飛出。求v1和v3，不計(jì)空氣阻力。解，內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力，質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒。即：解得（質(zhì)量為238原子質(zhì)量單位）放射一個(gè)α粒子（氦原子的核，）后蛻變?yōu)殁Q234的核。設(shè)鈾核原來是靜止的，107m/s，求釷核反沖的速率。解，動(dòng)量守恒 ， ，速度都是v。中間一船同時(shí)以水平速度u（相對(duì)于此船）把兩個(gè)質(zhì)量均為m的物體拋到前后兩只船上，問當(dāng)二物體落入船后，三只船的速度各如何？解，以岸為參照系，以船前進(jìn)的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向。忽略水及空氣阻力，質(zhì)點(diǎn)組沿x軸方向動(dòng)量守恒。（1）中船：(M+2m)v=MV2+m(v+u)+m(vu),解得V2=v,中船速度不變。（2）前船：Mv+m(v+u)=(M+m)V1,解得V1=v+mu/(M+m),前船速度增大。（3）后船：Mv+m(vu)=(M+m)V3,解得V3=vmu/(M+m)，后船速度減小。第四章 動(dòng)能和勢(shì)能 習(xí) 題 本題圖表示測(cè)定運(yùn)動(dòng)體能的裝置。繩拴在腰間沿水平展開跨過理想滑輪，下懸重物50kg。人用力向后登傳送帶而人的質(zhì)心相對(duì)于地面不動(dòng)。設(shè)傳送帶上側(cè)以2m/s的速率向后運(yùn)動(dòng)。問運(yùn)動(dòng)員對(duì)傳送帶做功否？功率如何？[解 答]人作用到傳送帶上水平方向的力，大小為50g，方向向左。因?yàn)槭芰c(diǎn)有位移，所以運(yùn)動(dòng)員對(duì)傳送帶做功。 N=F=mg=50kg2m/s=980w 一非線性拉伸彈簧的彈性力的大小為，表示彈簧的伸長量，為正。（1）研究當(dāng)和時(shí)彈簧的勁度有何不同；（2）求出將彈簧由拉伸至?xí)r彈簧對(duì)外做的功。[解 答]（1）根據(jù)題意 所以彈簧勁度為當(dāng)時(shí)，由于，所以，彈簧的勁度隨彈簧的伸長量的增加而增加。當(dāng)時(shí)，彈簧的勁度隨彈簧的伸長量的增加而減小。當(dāng)時(shí)，彈簧的勁度不變。以上三種情況的彈簧勁度系數(shù)如右圖所示：（2）將彈簧由拉伸至?xí)r，彈簧對(duì)外界所做的功是： 當(dāng)時(shí)，拉伸，外界做功，彈性力做負(fù)功。 當(dāng)時(shí)，縮短，彈性力做正功。 一輕細(xì)線系一小球，小球在光滑水平面上沿螺線運(yùn)動(dòng)，繩穿過桌中心光滑圓孔，用力向下拉繩。證明力對(duì)線做的功等于線作用與小球的拉力所做的功。線不可伸長。[解 答]設(shè)為繩作用在小球上的力。力對(duì)小球所做的功為將分解為沿方向和與垂直方向的兩個(gè)分位移(為對(duì)點(diǎn)的位矢)如圖：又 ∵繩子不可伸長∴ （是力的作用點(diǎn)的位移）∵ 一輛卡車能夠沿著斜坡以的速率向上行使，斜坡與水平的夾角的正切，如果卡車以同樣的功率勻速下坡，卡車的速率是多少？[解 答]取卡車為隔離體，卡車上下坡時(shí)均受到重力mg、牽引力F、地面支持力N和阻力f作用。受力分析如圖所示：上坡受力分析下坡受力分析上坡時(shí)：∵卡車作勻速直線運(yùn)動(dòng)∴卡車的功率下坡時(shí)：∵卡車作勻速直線運(yùn)動(dòng)∴卡車的功率由題意： 質(zhì)量為m=。木塊與一不可伸長的輕繩相連。繩跨過一固定的光滑小環(huán)。繩端作用著大小不變的力T=。求力T將木塊自A拉至B點(diǎn)的速度。 [解 答]TABABo做功為零 由動(dòng)能定理： 式中利用積分公式：則上式 注：關(guān)于T做功還有一種解法:其中T為常量，其受力點(diǎn)的位移可利用三角形求。 。不可伸長的輕繩跨過固定的光滑小環(huán)，孔的直徑遠(yuǎn)小于它到桿的距離。繩端作用以恒力F，F(xiàn)=，求木塊被拉至B時(shí)的速度。[解 答]重力做功 方向向上 質(zhì)量為m的物體與輕彈簧相連，最初，m處于使彈簧既未壓縮也為伸長的位置，并以速度向右運(yùn)動(dòng)。彈簧的勁度系數(shù)為，物體與支撐面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為。求證物體能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為。[解 答]由： 所以：解一元二次方程：由舍去負(fù)號(hào)： 圓柱形容器內(nèi)裝有氣體，容器內(nèi)壁光滑。質(zhì)量為m的活塞將氣體密封。氣體膨脹后的體積各為和，膨脹前的壓強(qiáng)為?；钊跛俣葹?。（1）求氣體膨脹后活塞的末速率，已知?dú)怏w膨脹時(shí)氣體壓強(qiáng)與體積滿足恒量。（2）若氣體壓強(qiáng)與體積的關(guān)系為恒量，為常量，活塞末速率又如何？（本題用積分）[解 答]（1）（2） 坐標(biāo)系與坐標(biāo)系各對(duì)應(yīng)軸平行。相對(duì)于沿x軸以作勻速直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)于系，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理為，,沿x軸。根據(jù)伽利略變換證明：相對(duì)于系，動(dòng)能定理也取這種形式。[解 答]∵∴ ∵∴由動(dòng)能定理得： ∴最后可得：說明相對(duì)于系，動(dòng)能定理的形式不變。 帶電量為e的粒子在均勻磁場中偏轉(zhuǎn)。A表示發(fā)射帶電粒子的離子源，發(fā)射的粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后與C處在磁場洛侖茲力作用下偏轉(zhuǎn)，然后進(jìn)入漂移管道D。若粒子質(zhì)量不同或電量不同或速率不同，在一定磁場中偏轉(zhuǎn)的程度也不同。在本題裝置中，管道C中心軸線偏轉(zhuǎn)的半徑一定，磁場感應(yīng)強(qiáng)度一定，粒子的電荷和速率一定，則只有一定質(zhì)量的離子能自漂移管道D中引出。這種裝置能將特定的粒子引出，稱為“質(zhì)量分析器”。各種正離子自離子源A引出后，在加速管中受到電壓為V的電場加速。設(shè)偏轉(zhuǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，.[解 答]正離子從離子源引出后，在加速器中受到電壓V的電場加速。正離子獲得的動(dòng)能為(電勢(shì)能)正離子的速度由于正離子在磁場受到洛侖茲力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn)∴即： 輕且不可伸長的線懸掛質(zhì)量為500g的圓柱體。圓柱體又套在可沿水平方向移動(dòng)的框架內(nèi)，框架槽沿鉛直方向?？蚣苜|(zhì)量為200g。自懸線靜止于鉛直位置開始，框架在水平力F=，球圓柱體的速度，線長20cm，不計(jì)摩擦。[解 答]以輕繩，圓柱體和框架組成的質(zhì)點(diǎn)組所受外力有：圓柱體重力，框架重力，輕繩拉力和作用在框架上的水平力。其中輕繩的拉力和不做功。質(zhì)點(diǎn)組所受內(nèi)力：框架槽和小球的相互作用力、由于光滑，所以、做功之和為零。質(zhì)點(diǎn)組所力情況如圖：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理： （1）為圓柱體的絕對(duì)速度為框架的絕對(duì)速度。由于（見下圖）將此式投影到圖中所示的沿水平方向的ox軸上，得：帶入（1）式中解得： 二僅可壓縮的彈簧組成一可變勁度系數(shù)的彈簧組，彈簧1和2的勁度系數(shù)分別各為和。它們自由伸長的長度相差。坐標(biāo)原點(diǎn)置于彈簧2自由伸展處。求彈簧組在和時(shí)彈性勢(shì)能的表示式。[解 答]彈性力外力為當(dāng)時(shí)，無勢(shì)能，只有有勢(shì)能。外界壓縮彈簧做功使勢(shì)能增加。設(shè)原點(diǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則：時(shí)：原點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)對(duì)于：外力做功對(duì)于：外力做功 滑雪運(yùn)動(dòng)員自A自由下滑，經(jīng)B越過寬為d的橫溝到達(dá)平臺(tái)C時(shí)，其速度剛好在水平方向，已知兩點(diǎn)的垂直高度為25m。坡道在B點(diǎn)的切線方向與水平面成300角，不計(jì)摩擦。求（1）運(yùn)動(dòng)員離開B處的速率為，（2）B,C的垂直高度差h及溝寬d，（3）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)平臺(tái)時(shí)的速率。[解 答]（1）運(yùn)動(dòng)員在A到B的滑動(dòng)過程中，受到了重力和地面支持力作用。（忽略摩擦）。重力為保守力，支持力不做功，所以機(jī)械能守恒。以B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，得到運(yùn)動(dòng)員離開B處的速率：（2）運(yùn)動(dòng)員從B到C做拋物線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)C點(diǎn)時(shí)，由題意知：沿水平方向，說明正好到達(dá)拋物線的最高點(diǎn)。所以B、C的垂直高度（3）因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員做拋物運(yùn)動(dòng)時(shí)在水平方向不受力，所以水平方向的動(dòng)量守恒：（4）d的高度:水平射程的一半 裝置如圖所示：球的質(zhì)量為5kg，桿AB長1cm，，彈簧的勁度系數(shù)為800N/m，桿AB在水平位置時(shí)恰為彈簧自由狀態(tài)，此時(shí)釋放小球，小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)。球小球到鉛垂位置時(shí)的速度。不及彈簧質(zhì)量及桿的質(zhì)量，不計(jì)摩擦。[解 答]包含球桿彈簧的質(zhì)點(diǎn)組受力如圖所示：不做功。重力和彈性力為保守力（不計(jì)摩擦）系統(tǒng)機(jī)械能守恒設(shè)桿水平時(shí)勢(shì)能為零 （1）∵（水平位置） （2）將（2）式代入（1）式 物體Q與一勁度系數(shù)為24N/m的橡皮筋連結(jié)，并在一水平圓環(huán)軌道上運(yùn)動(dòng)，，物體Q的質(zhì)量為5kg，恰等于橡皮筋的自由長度。求（1）物體Q的最大速度；（2）物體Q能否達(dá)到D點(diǎn)，并求出在此點(diǎn)的速度。[解 答] （1）取物體Q為隔離體在豎直方向上Q所受的力的矢量和為零。而在水平方向只受到彈力和光滑圓弧的水平方向的作用力作用，為保守力，不做功。所以機(jī)械能守恒。設(shè)彈簧勢(shì)能零點(diǎn)為彈簧原點(diǎn)處： （B點(diǎn)速度最大）（2）在D點(diǎn)彈性勢(shì)能為：因?yàn)? 所以 盧瑟福在一篇文章中寫道：可以預(yù)言，當(dāng)粒子與氫原子相碰時(shí)，可使之迅速運(yùn)動(dòng)起來。按正碰撞考慮很容易證明，即占入射粒子能量的64%。試證明此結(jié)論（碰撞是完全彈性的，且粒子質(zhì)量接近氫原子質(zhì)量的四倍）。[解 答]設(shè)粒子的質(zhì)量為4，氫原子的質(zhì)量為；粒子的初速度為，氫原子的初速度為；正碰后，粒子的速度為，氫原子的速度為。由公式: 將以上數(shù)據(jù)代入： 入射粒子的能量：氫原子碰后的能量：則： m為靜止車廂的質(zhì)量，質(zhì)量為M的機(jī)車在水平軌道上自右方以速率滑行并與m碰撞掛鉤。掛鉤后前進(jìn)了距離s然后靜止。求軌道作用于車的阻力。[解 答]選取機(jī)車和車廂為質(zhì)點(diǎn)組掛鉤時(shí)為完全非彈性碰撞。因?yàn)闆_擊力大于阻力，可視為動(dòng)量守恒。 撞后：由動(dòng)能定理 兩球具有相同的質(zhì)量和半徑，懸掛于同一高度。靜止時(shí)，兩球恰能接觸且懸線平行。碰撞的恢復(fù)系數(shù)為e。若球A自高度釋放，求該球彈回后能達(dá)到的高度。又問若兩球發(fā)生完全彈性碰撞，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象，試描述之。[解 答]（1）A球碰前的速度，由機(jī)械能守恒： （1）A與B發(fā)生非彈性碰撞 （2）又知： （3）由（1）（2）（3）式得： （4）A球上升高度：機(jī)械能守恒 （2）若兩球發(fā)生完全彈性碰撞 由（4）式 再由（2）式 即A球靜止，B球以A球碰前的速度開始運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B球上升后（高度）又落下與A球再次發(fā)生完全彈性碰撞。 ，A球以速度開始向上運(yùn)動(dòng)。如此往復(fù)。 質(zhì)量為2g的子彈以500m/s的速度射向質(zhì)量為1kg、用1m長的繩子懸掛著的擺。子彈穿過擺后仍然有100m/s的速度。問擺沿鉛直方向升起若干。[解 答]第一階段，動(dòng)量守恒第二階段，機(jī)械能守恒 一質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來使彈簧伸長10cm。今有一質(zhì)量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開始落入框架。秋此框架向下移動(dòng)的最大距離。彈簧質(zhì)量不計(jì)?？諝庾枇Σ挥?jì)。[解 答]鉛塊下落到框底速度為 （1）接下來，鉛塊與框架底發(fā)生完全非彈性碰撞。由于沖擊力大于重力、彈性力，可視為動(dòng)量守恒。 （2）（由于碰撞時(shí)間短，下降距離為零）以后以共同速度下降：機(jī)械能守恒設(shè)彈簧自由伸長處框架底板的位置為重力、彈性勢(shì)能零點(diǎn)。碰撞前彈簧伸長為，碰撞后質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的最大距離為。 （3）依題意 （4）（2）（4）式代入（3）式：舍去負(fù)號(hào)項(xiàng)， 質(zhì)量為==，置于光滑水平桌面上。最初彈簧自由伸張。=100m/s沿水平方向射于內(nèi)，問彈簧最多壓縮了多少？[解 答]第一階段：完全非彈性碰撞 （1）第二階段：彈簧被壓縮最甚，動(dòng)量守恒。 （2）（為共同速度）再由機(jī)械能守恒：