【文章內(nèi)容簡介】 于單自由度諧波激勵的模型建立已得到廣泛應(yīng)用。本文中，基于歐拉伯努利懸臂梁，對激勵下的橫梁進行分析，并討論了機械阻尼對振動的影響。單自由度系統(tǒng)中，懸臂梁的縱橫比較小，可以忽略剪切變形產(chǎn)生的影響，因而可以使用歐拉伯努利方程。系統(tǒng)激勵主要是平移，旋轉(zhuǎn)運動基本可以忽略。一般解決方法是先將歐拉伯努利模型和無量綱的單自由度模型進行比較。結(jié)果表明，單自由度模型可能會產(chǎn)生非常不準(zhǔn)確的結(jié)果，需要通過校正因子減小單自由度模型橫向振動造成的影響[[]Aryanpur R M. Two Bimorph Piezoelectric Energy Harvester for Vibrations[D]. Department of Civil amp。 Environmental Engineering, Tufts University, 2012.]。壓電懸臂梁的歐拉伯努利懸臂梁模型如圖23所示，系統(tǒng)的直線運動方程為，微小轉(zhuǎn)動方程為，為了模型簡化，該懸臂壓電梁結(jié)構(gòu)分為兩部分：底部的基板和頂層的單晶片壓電晶片，外部電路通過導(dǎo)線連接壓電層的電極，實現(xiàn)電量收集。本章節(jié)重點從機械方面出發(fā)，假定懸臂梁只在其長度方向上產(chǎn)生變形，進而研究壓電懸臂梁單位長度質(zhì)量的抗彎強度，為研究壓電效應(yīng)的機電耦合特性，同時忽略了外圍電路對系統(tǒng)的影響，僅通過簡單的電路獲得發(fā)電梁的機電耦合性能參數(shù)[[]Kasyap A, Phipps A, Sheplak M, et al. Lumped element modeling of piezoelectric cantilever beams for vibrational energy reclamation[C]//ASME 2006 International Mechanical Engineering Congress and Exposition. American Society of Mechanical Engineers, 2006: 621627.]。圖23單晶片壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)假定沿著梁的任意一點在方向上的位移用表示，如果懸臂梁沒有阻尼，方向上的自由振動方程可以表示為： （）其中是彎曲剛度（是楊氏模量，是梁橫截面的慣性矩），是懸臂梁的單位長度質(zhì)量。一些論文中會考慮在懸臂梁前段增加質(zhì)量塊，這一部分將在下一節(jié)進行討論。在無阻尼自由振動的基礎(chǔ)上考慮實際情況，添加兩種阻尼機制：空氣阻尼和應(yīng)變阻尼，因此懸臂梁的自由振動方程如式所示： （）其中是空氣阻尼，是應(yīng)變阻尼。懸臂梁在振動過程中與周圍粘稠的空氣相互作用而產(chǎn)生空氣阻力，同時懸臂梁內(nèi)部相對運動而產(chǎn)生應(yīng)變阻尼。兩種阻尼機制符合比例阻尼標(biāo)準(zhǔn)，因此在數(shù)學(xué)上便于模態(tài)分析和求解。懸臂梁上任意一點在時間絕對位移可以寫作： （）其中梁上任意一點相對于系統(tǒng)的相對位移，是系統(tǒng)位移，其式如下： （）其中和分別是系統(tǒng)的直線運動位移和轉(zhuǎn)動位移，對于懸臂梁，，將式（）代入式（）中有： （）需要注意的是，用系統(tǒng)位移和懸臂梁的相對位移來描述懸臂梁上各點的絕對位移后，系統(tǒng)的自由振動方程對于懸臂梁的相對振動而言成了受迫振動。此時有兩點需要提到。第一，空氣阻尼作用于懸臂梁的絕對運動，應(yīng)變阻尼作用于懸臂梁的相對運動。因此，在分析所有機械阻尼的來源時，單一的阻尼系數(shù)過于簡化。第二，基于同樣原因，梁的振動除了來自自身的慣性，同時也來自于空氣阻尼作用的剛體運動[[]Erturk A, Inman D J. On mechanical modeling of cantilevered piezoelectric vibration energy harvesters[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2008, 19(11): 13111325.]。后者是否可以忽略取決于外部阻尼，后面將對這一部分進行討論。懸臂梁相對振動的邊界條件可以寫作： （） （）在這里，自由端的自然邊界條件產(chǎn)生相對作用力導(dǎo)致應(yīng)變阻尼。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)模態(tài)擴展理論，式（）可以通過一只收斂級數(shù)的本征函數(shù)表示為： （）其中式質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)化特征函數(shù)，是懸臂梁第階模態(tài)的模態(tài)坐標(biāo)。由于懸臂梁系統(tǒng)是比例阻尼系統(tǒng)，是無阻尼系統(tǒng)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)化特征函數(shù)，其邊界條件是： （）因此第階模態(tài)的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)化特征函數(shù)是： （）其中是無量綱頻率，可由給定的特征方程求得： （）可以表示為： （）需要注意的是式（）（）適用于末端無質(zhì)量塊的懸臂梁模型。式（）給出的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)化特征函數(shù)滿足正交條件： （）其中是克羅內(nèi)克函數(shù)，時其值為1，時其值為0，是第階模態(tài)的無阻尼固有頻率，表達式為： （）其模態(tài)響應(yīng)是下列微分方程的解： （）其中 （）因此，阻尼比同時包含了應(yīng)變阻尼和空氣阻尼，且可以表達為，其中應(yīng)變阻尼為，空氣阻尼為，根據(jù)式（）可以看出，應(yīng)變阻尼系數(shù)正比于結(jié)構(gòu)的剛度，空氣阻尼系數(shù)正比于單位長度質(zhì)量。比例阻尼系數(shù)和的求解，需要確定固有頻率和兩種獨立模式下的模態(tài)阻尼比例。如果知道固有頻率和模態(tài)阻尼，可以直接根據(jù)式（），并利用下式求出和： （）式（）中，模態(tài)方程可以表示為： （）慣性和阻尼振動的表達式分別為： （）其中， （）模態(tài)響應(yīng)可以通過Duhamel積分獲得： （）其中，是第階模態(tài)的阻尼固有頻率。最終，根據(jù)式（）、式（）、式（）可以求得懸臂梁的模態(tài)響應(yīng)、梁上任意一點的相對運動的表達式： （）令可以求得懸臂梁末端的位移。為了便于分析，壓電俘能系統(tǒng)中很多理論研究和實驗分析中，系統(tǒng)激勵往往被假定是諧波激勵。系統(tǒng)平移位移的形式是（其中是激勵振幅，是激勵頻率），且沒有轉(zhuǎn)動的情況下（），諧波激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為： （）其中 （）根據(jù)式（）、式（）和式（）可以求出相對響應(yīng)為： （）令，有 （） 壓電懸臂梁電壓計算圖23所示的懸臂梁受到平移和轉(zhuǎn)動兩種混合激勵。這節(jié)主要估算壓電晶片兩個電極間在任意時刻的開路電壓，并分析振動模式對懸臂梁輸出電壓的影響。下面的分析忽略了機械特性的反向耦合。反向耦合對固有頻率（短路和開路的諧振頻率）產(chǎn)生影響，但在受迫振動的激勵下，有沒有反向耦合，電學(xué)方程都不變，因此對電壓分析不造成影響。由于壓電晶片不受外加電場作用（），式壓電本構(gòu)方程（）可以表示為： （）其中，1方向和方向一致，2方向和軸一致。根據(jù)式（）可以看出，為了獲得更大的電位移，需要根據(jù)胡克定律產(chǎn)生相應(yīng)的軸向應(yīng)變力。懸臂梁梁上任意一點的軸向彎曲應(yīng)變，與該點的曲率半徑和點到中性軸的距離有關(guān)： （）其中曲率半徑與懸臂梁的相對偏轉(zhuǎn)有關(guān)： （）橫向偏轉(zhuǎn)位移如式（），再根據(jù)胡克定律和式（）、（），電位移如下： （）其中是壓電層的楊氏模量，是壓電層中部到懸臂梁中性軸的距離。根據(jù)電位移可以計算電極上的電荷量： （）其中懸臂梁單位法向量，是壓電晶片的寬度，將相對位移公式（）代入到公式（）中有： （）彎曲梁根部相對斜率為零，根據(jù)積分，電極上的電荷可以表示為： （）用電極上的電荷除以壓電晶片的電容可以求得電壓： （）式（）中的電壓是在壓電晶片完全覆蓋住懸臂梁是求得的，如果壓電晶片沒有完全覆蓋住壓電晶片，那么其一般形式如下所示： （）其中表示壓電晶片的覆蓋區(qū)域，如果系統(tǒng)只受到平動激勵沒有轉(zhuǎn)動激勵，即，穩(wěn)態(tài)電壓形式為： （）如果系統(tǒng)激勵頻率是其階模態(tài)的固有頻率，并忽略空氣阻尼，電壓形式為： （）式（）是在激勵頻率為固有頻率時得出的?？梢钥闯觯瑸榱双@得最大輸出電壓，應(yīng)將電極粘接在邊界斜率最大的地方，如果邊界電極斜率相同，則沒有電壓輸出。式（）表明，懸臂梁產(chǎn)生的電荷與梁上電極覆蓋面積的積分成比例關(guān)系，且電量的積分表達式是第階特征函數(shù)的曲率。因此，輸出電壓取決于該電極覆蓋面積下的應(yīng)變曲線。這樣，當(dāng)系統(tǒng)激勵頻率為某個振動模態(tài)下的固有頻率時，電極上收集的電荷取決于電極長度方向上的應(yīng)變，而且單一連續(xù)電極的交替情況應(yīng)該避免。本章分析了不同壓電材料的機械參數(shù)和電學(xué)參數(shù)，分析了應(yīng)變、應(yīng)力和電學(xué)參數(shù)之間的相互關(guān)系，并基于歐拉伯努利懸臂梁，建立壓電懸臂梁的理論模型，在輸入激勵為諧波激勵情況下，通過求解振動方程，求解出系統(tǒng)固有頻率，壓電懸臂梁的相對振動位移，并求出壓電懸臂梁的在任意頻率下的發(fā)電電荷總量，及其輸出電壓，以及在各階固有頻率下的輸出電壓。根據(jù)公式可知，為了獲得最大輸出電壓，應(yīng)將電極粘接在邊界斜率最大的地方，如果邊界電極斜率相同，則沒有電壓輸出。且懸臂梁產(chǎn)生的電荷與梁上電極覆蓋面積的積分成比例關(guān)系，電荷總量的積分表達式是第階特征函數(shù)的曲率。因此，輸出電壓取決于該電極覆蓋面積下的應(yīng)變曲線。這樣，當(dāng)系統(tǒng)激勵頻率為某個振動模態(tài)下的固有頻率時，電極上收集的電荷取決于電極長度方向上的應(yīng)變，同時應(yīng)避免單一電極的交替排列。第3章多晶片寬頻發(fā)電與儲能理論研究第3章 多晶片寬頻發(fā)電與儲能理論研究本章基于上一章單晶片壓電懸臂梁理論分析，在改變壓電懸臂梁的共振頻率、加寬懸臂梁發(fā)電時的有效工作頻率兩方面進行理論研究，并在此基礎(chǔ)上建立多晶片壓電懸臂梁模型。 引言 改變共振頻率的方法由于壓電晶片剛度較小，振動時容易脆裂，實際應(yīng)用時往往將壓電晶片與強度較大的基板粘接在一起，起到降低振幅保護晶片的作用。比如對于壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)，就將壓電晶片粘貼在基板上，壓電晶片隨著基板振動產(chǎn)生電能，而為獲取最大電能時，要求基板的振動位移最大，也即系統(tǒng)的最佳工作頻率是其共振頻率，但是由于基板剛度較大，系統(tǒng)的共振頻率往往較大，如果系統(tǒng)長時間工作在較大的頻率下，壓電晶片容易發(fā)生疲勞損壞。因此為了延長系統(tǒng)壽命，往往設(shè)法降低系統(tǒng)的共振頻率[[]Wang H, Meng Q. Analytical modeling and experimental verification of vibrationbased piezoelectric bimorph beam with a tipmass for power harvesting[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2013, 36(1): 193209.]。目前國內(nèi)外降低系統(tǒng)共振頻率的方法主要有三種，分別是通過增加質(zhì)量塊、增加彈簧、增加永磁體。在介紹三種降低共振頻率的方法之前，這里根據(jù)第二章知識，首先給出為增加質(zhì)量塊、彈簧、永磁體時壓電懸臂梁的共振頻率公式。根據(jù)懸臂梁彎曲振動特征方程，忽略裝置結(jié)構(gòu)和懸臂梁的粘性阻尼對共振頻率的影響，壓電懸臂梁在空氣中的共振頻率為 （）其中，為壓電振子的實際質(zhì)量。 增加質(zhì)量塊懸臂梁增加質(zhì)量塊后，相當(dāng)于在其自由端受到一個集中載荷[[]Rao S S, 李欣業(yè), 張明路. 機械振動[J]. 2009.]，根據(jù)單自由度系統(tǒng)模型，其撓度曲線方程為： （）其中為質(zhì)量塊的重力，為在質(zhì)量塊的作用下，懸臂梁自由端的最大撓度。懸臂梁自身的最大動能為： （）如果用表示懸臂梁的質(zhì)量等效到懸臂梁自由端時的大小，其最大動能可以表示為： （）令公式（）和式（）相等，得 （）此時作用于懸臂梁端部的全部等效質(zhì)量為： （）因此，在自由端附加質(zhì)量塊后的壓電懸臂梁共振頻率為 （）由式（）可以看出在自由端增加質(zhì)量塊時，如果質(zhì)量塊質(zhì)量較大，系統(tǒng)固有頻率會明顯降低。 增加永磁體另一種降低共振頻率的方法是在懸臂梁自由端增加永磁體，使彈簧在振動時同時受到磁場力作用[[]AlAshtari W, Hunstig M, Hemsel T, et al. Frequency tuning of piezoelectric energy harvesters by magnetic force[J]. Smart Materials and Structures, 2012, 21(3): 035019.]。其簡單模型圖31所示。圖31磁場作用下壓電懸臂梁模型受力分析如圖32所示：圖32永磁體受力分析根據(jù)式（），系統(tǒng)質(zhì)量為 （）懸臂梁剛度為： （）懸臂梁受軸向載荷時，其固有頻率為： （）橫向等效剛度為： （）又 （）很小時有 （）根據(jù)式（）和式（）有 （）因此垂直方向上的剛度為 （）磁體的剛度為： （）共振頻率為： （）增加彈簧，相當(dāng)于給壓電懸臂梁引入彈性，從而能實現(xiàn)系統(tǒng)固有頻率的改變，實際計算過程中，先將壓電懸臂梁等效成彈簧模型，再和彈簧串聯(lián)在一起，等效為一個彈簧[[]Zhu Y, Barry O, Su W, et al. Improving the Performance of a Piezoelectric Energy Harvester Using a Tip SpringMass System[C]//ASME 2012 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. American Society of Mechanical Engineers, 2012: 11291135.]，從而計算出系統(tǒng)共振頻率，其結(jié)構(gòu)如圖33所示。圖33帶有彈簧質(zhì)量塊的壓電懸臂梁模型根據(jù)前面知識可知系統(tǒng)剛度由懸臂梁剛度和彈簧剛度組成 （）系統(tǒng)固有頻率為： （）為了適應(yīng)系統(tǒng)環(huán)境的多變性，提高懸臂梁式能量收集系統(tǒng)的效率，在振動不穩(wěn)定狀態(tài)的條件下，希望系統(tǒng)能從多個振動輸入信號收集功率，但就目前而言，有效工作頻率的帶寬窄是壓電式能量收集系統(tǒng)面臨的主要問題。傳統(tǒng)的懸臂梁式能量收集系統(tǒng)主要由單晶片或雙晶片壓電懸臂梁組成，結(jié)構(gòu)設(shè)計后其諧振頻率固定，一旦系統(tǒng)工作的頻率稍微偏離梁的諧振頻率時，產(chǎn)生的功率將顯著