【文章內(nèi)容簡介】 為，于是原來的關(guān)于和的二尺度方程就變?yōu)椋憾x：由公式 定義的函數(shù)的集合為由所確定的小波包。因此，小波包是包括尺度函數(shù)和小波函數(shù)在內(nèi)的一個具有一定聯(lián)系的函數(shù)的集合。小波包具有下列性質(zhì)（設(shè)是由標準正交化的尺度函數(shù)生成的）：1　 對于任意的，有 2　 對于任意的，有 令（“”為張成的空間）定義算子，為從空間向空間的投影算子（記）可以證明它們有共軛算子和，且顯然，，是上的正交投影算子，為單位陣，且若定義空間 即空間是由函數(shù)在尺度下的整數(shù)平移之線形組合所生成的子空間在中的閉包，因此，在尺度下的整數(shù)平移系列為空間的一組正交基。由于，并且由正交小波基的理論可知，由及的伸縮平移生成的的空間因子為：則由空間的定義可知：又已知，具有性質(zhì)因此上式可以表示為 現(xiàn)在把這一性質(zhì)推廣到小波包，（為正投影表示符）則有 小波空間的二進細致分解為：對取定的函數(shù)系是空間的標準正交基。小波包對的分解相當(dāng)于的第個頻帶被分割為個子頻帶。小波包的分解及重構(gòu)算法如下：設(shè)，則可表示為 分解為與，小波包分解算法為： 小波包分解實際上是通過一組低、高通組合的共軛正交濾波器不斷將信號分割到不同的頻帶上，濾波器組每作用一次，信號長度減少一半。和重構(gòu)的重構(gòu)算法為： 小波包消噪的原理 在小波包中，其信號消噪的思想與在小波中的基本一樣，惟一不同的是小波包分析提供r一種更為復(fù)雜，同時也更為靈活的分析手段．因為小波包分析對上一層的低頻部分和高頻部分同時進行細分，具有更為精確的局部分析能力。通常，它是按照如下幾個步驟進行細分： （1）信號的小波包分解：選擇一個小波并確定一個小波分解的層次，然后對信號進行層小波包分解； （2）計算最佳樹：對于一個給定的熵標準計算最佳樹。對于方式，有一個專門的“”按鈕用于計算最佳樹； （3）小波分解系數(shù)的閾值量化：選擇適當(dāng)?shù)拈撝祵牡拿恳桓哳l系數(shù)進行量化處理； (4)小波包重構(gòu)：根據(jù)小波分解的第層的低頻系數(shù)和經(jīng)過量化處理后的從層的高頻系數(shù)進行重構(gòu)。 在這4個步驟之中，最關(guān)鍵的就是如何選取閾值和如何進行閾值的量化。從某種程度上說．他直接關(guān)系到信號消噪的質(zhì)量。 從小波包消噪處理的方法上來說，一般有以下3種處理方法： 強制消噪處理 該方法把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部變?yōu)?，然后再對信號進行重構(gòu)處理。該辦法比較簡單，且重構(gòu)后的信號也比較平滑，但容易丟失信號的有用成分。 默認閾值消噪處理 該方法利用函數(shù)產(chǎn)生信號的默認閾值，然后利用函數(shù)進行消噪處理。 給定軟(或硬)閾值進行消噪處理 該方法利用實際消噪處理過程中的經(jīng)驗公式給出閾值，往往比默認閾值更具有可信度。 如何選取最優(yōu)小波包基 從濾波器的角度，小波包變換的實現(xiàn)和離散小波變換沒有本質(zhì)區(qū)別，只是在原有的基礎(chǔ)上按同樣的方法對細節(jié)系數(shù)進行分解，所以兩者的實現(xiàn)方法相同。但是由于小波包分解是對近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)同時進行分解，使第層的分解系數(shù)為最多的一組，這種單純的把所有的系數(shù)都進行分解對解決問題是沒有幫助的，只會增加計算量，而小波包變換的基本思想是為了讓信息能量集中，也就是在細節(jié)系數(shù)中尋找有序性，把其中的規(guī)律進一步的挑出來，所以必須對重構(gòu)信號的分解系數(shù)進行優(yōu)化選擇。小波包基庫是由許多小波包基組成的，不同的小波包基具有不同的性質(zhì)，能夠反映信號的不同特征，所以我們希望根據(jù)不同分析信號的特征來選擇一個最好的小波包基，用來表達信號特點。選用最優(yōu)基的目的是用盡量少的系數(shù)，反映盡量多的信息。對一信號進行一次小波包分解，可采用多種小波包基。小波包分析在確定最佳小波包基時所用的標準時，沒有嚴格的理論作為保證，不同的問題所用標準不一致，我們需要跟據(jù)具體分析的要求，選擇一個最佳的小波包基，即最佳基( 也叫最優(yōu)樹) 。選擇最佳基的標準是熵標準。在小波包函數(shù)庫建立好之后，對于一個給定的正交小波基分解，一個長度為N的信號最多有種不同的分解方法，我們基于最小熵標準來找到一種最優(yōu)的信號分解方法。 要刻畫系數(shù)的性質(zhì)，首先要定義一個序列的代價函數(shù)，然后在小波包基庫的所有小波包基中尋找使代價函數(shù)最小的基。對一個給定向量來說，代價最小就是最有效的表示，此基便稱為最優(yōu)基。代價函數(shù)可以定義為任何關(guān)于序列的實函數(shù)M，最多使用的是那些能測得集中度的可加性代價函數(shù)M。在上述意義下可以定義很多代價函數(shù)，對一個信號進行小波包分解，可以采用多種小波包基，這就要根據(jù)所分析的信號和噪聲的要求，從中選擇最好的一種小波包基，即對于一個給定的熵標準，計算最優(yōu)小波包基，得到最優(yōu)小波包樹。熵標準主要有熵、范數(shù)熵、對數(shù)能量熵、閾值熵等，而且這些熵也可以組合成新的熵標準。在小波包分解時，需要從四種熵標準中選定一種，由上至下分別計算下一層的熵值，然后與上一層進行比較，由最小熵標準，依次判斷小波包最優(yōu)分解的方向，最后確定基于此熵標準的最優(yōu)小波包分解基。 實例分析及其比較小波變換屬于一種時頻分析方法，而在它出現(xiàn)之前已經(jīng)有了多種時頻分析方法，通過將小波分析和幾種常用的分析方法比較，得出結(jié)論：和傅里葉變換相比，它可進行時頻分析；和短時傅里葉變換相比，它的分析窗口是可變的。（1）同傅里葉變換比較在傳統(tǒng)的傅里葉分析中，信號完全是在頻域展開的，不包含任何的時域信息，對于小波變換來說，它有很多的優(yōu)點：第一，它具有傅里葉變換不具備的時頻分析能力，可以展現(xiàn)非平穩(wěn)信號中的瞬時特征；第二，它具有多分辨率分析的特點，能適應(yīng)于不同頻率范圍的非平穩(wěn)成分；第三，它相當(dāng)于一組具有不同帶寬和不同中心頻率位置的帶通濾波器對信號進行濾波，可以得到信號的分頻帶信號。（2）同短時傅里葉變換比較在實際的工程應(yīng)用中，所分析的信號可能包含很多尖峰或突變部分，而且噪聲也不是平穩(wěn)的白噪聲，對這種信號進行分析，首先需要做信號的預(yù)處理，將信號的噪聲部分去除，提取有用的信號。對于這種信號的消噪，傳統(tǒng)的傅立葉變換分析顯得無能為力，因為傅立葉分析是將信號完全在頻率域中進行分析的，它不能給出信號在某個時間點的信號變化情況，使得信號在時間軸上的任何一個突變，都會影響信號的整個譜圖。這里我們將對一個含噪聲的矩形波信號，分別用小波閾值分析和傅立葉變換進行信號噪聲處理，可以看出小波分析比傳統(tǒng)的傅立葉分析的優(yōu)越性。，用小波閾值進行信號的消噪可以很好的保存有用信號中的尖峰和突變部分 。而用傅立葉分析進行濾波時，由于信號集中在低頻部分，噪聲分布在高頻部分內(nèi)，所以，可用低通濾波器進行濾波，但是它不能將有用信號的高頻部分和噪聲引起的高頻干擾加以有效的區(qū)分。若低通濾波器太窄，則在濾波后，信號中仍存在大量的噪聲，若低通濾波器太寬，則將一部分有用信號當(dāng)作噪聲而濾掉了。因此，小波閾值去噪分析對非平穩(wěn)信號消噪有著傅立葉分析不可比擬的優(yōu)點。 本章小結(jié)小波變換是在傅里葉變換基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，作為時頻分析方法的小波分析方法有很多本質(zhì)性進步。小波分析提供了一種自適應(yīng)的時頻域同時局部化的方法，可以實現(xiàn)某些實際分析的需要。小波變換通過對信號進行空間分解來提取不同的頻率成分的特征信息是其他方法無法取代的優(yōu)點，而建立在小波變換基礎(chǔ)上的小波包分析方法則對信號作了進一步的劃分，即對小波變換中沒有分解的高頻信息繼續(xù)細化，從而實現(xiàn)了高頻段細微特征信號的提取，突出了采用小波包變換對振動信號進行去噪分析的優(yōu)越性。通過對仿真信號進行小波包去噪分析，得出其在實際信號分析中的特點如下:(1)信號的分頻帶特征隨小波包空間的變化而變化。若對信號進行層小波包空間完全分解，則信號頻率將被等分成段，有利于特征頻率的提取。(2)各小波包空間在繼續(xù)分解時，其算法和小波分解算法一樣，信號經(jīng)小波包分解后，可得到在各頻帶上的時域信號，但其長度減半。所以，當(dāng)信號長度太短時，不宜進行多級小波包分解。若對信號進行多層小波包分解則采樣點數(shù)應(yīng)盡量取大，在信號重建時才能保證信息的完整性。 (3)采用不同小波函數(shù)對信號分析的結(jié)果相差不大，但各有相對的優(yōu)勢。就故障診斷中的信號特點而言，經(jīng)過綜合比較，本文中采用的小波函數(shù)形式為系。主要是因為其時域分辨率和頻域相對都很好，有很好的時頻局部化特性。小波函數(shù)具有雙正交性，消失矩為，支撐寬度為,濾波器長度，支持壓縮，可進行離散和連續(xù)小波變換。雖然越大時，性能越好，但實際比較了的取值后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，性能較好，當(dāng)再增大時，性能提高不明顯； (4)對信號進行閾值去噪分析時，小波包變換比小波變換更有效。當(dāng)信號特征頻率不在低頻段時，使用默認閾值去噪，無論小波變換還是小波包變換都無法發(fā)揮其頻率局部化的優(yōu)勢。但根據(jù)信號頻率信息的經(jīng)驗知識，采用小波包的節(jié)點閾值去噪時，由于小波包變換能夠?qū)π〔臻g進一步分解，隨著小波包分解層數(shù)的增加，可以對信號不同頻段的頻率信息進行提取，因此將不再受頻率分布特點的約束，去噪靈活性較好。但是小波不能代替傅里葉分析，二者的互補優(yōu)勢和相輔相成的良好效果已經(jīng)被科研實踐所證明，對于長時間內(nèi)比較穩(wěn)定的信號，還是使用傅里葉分析比較合適。 第4章 實驗數(shù)據(jù)采集及使用進行去噪分析在科學(xué)研究及實際應(yīng)用中，對信號進行分析處理時，首先要對分析的信號進行預(yù)處理，其中最重要的就是要消除信號的噪聲。傳統(tǒng)的方法是利用傅里葉變換，將含噪信號變換到頻域，然后進行濾波去噪。這種方法對于信號和噪聲的頻帶相互分離時比較有效，但當(dāng)信號和噪聲的頻帶相互重疊時(比如當(dāng)信號中混有白噪聲時)，效果則較差。小波變換是近十年來迅速發(fā)展起來的一種新的信號處理工具。作為一種信號的時間一尺度(時間一頻域)分析方法。他具有多分辨分析的特點，而且在時頻兩域都有表征信號局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但形狀可以改變的時頻局部分析方法。但在小波分析中每次只對上次分解的低頻部分進行再分解，而對高頻部分不再分解，所以在高頻段分辨率較差。而小波包分析是從小波分析延伸出來的一種對信號進行更加細致的分析和重構(gòu)的方法，它不但對低頻部分進行分解，而且對高頻部分也做了二次分解，使它在信號去噪方面表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢，對信號的分析能力更強。 常用的去噪方法對分析信號進行預(yù)處理是提高數(shù)據(jù)的可靠性和數(shù)據(jù)分析精度的關(guān)鍵，而預(yù)處理的核心就在于如何提高信號的信噪比，精確地去除信號中的干擾信號。由于實驗中取得的信號往往存在著各種干擾信號，白噪聲就是這樣一種比較常見的噪聲形式。因為白噪聲是寬帶隨機信號，其頻帶必然與有用信號的頻帶相重合，故若采用普通的濾波方法（如低通濾波、高通濾波、帶通濾波等）難以有效的將其分離出來。在實際工作中，常用的去除白噪聲的方法主要由以下幾種：1　 窄帶濾波若預(yù)知有用信號的頻率集中在，則可以通中心頻率為，帶寬為的窄帶濾波器對原始信號進行濾波。對有用信號，它的譜峰值在濾波后不隨帶寬的減少而變換，但是白噪聲的能量大致均勻地分布在整個頻帶范圍內(nèi)，濾波后它的輸出會隨著帶寬的減小而減小，從而達到抑制白噪聲的效果。但這種方法要求有用信號是窄帶信號，并且還要預(yù)先知道有用信號的頻帶范圍。2　 相關(guān)濾波 如果有用信號是周期性信號，那么它的自相關(guān)函數(shù)也是周期函數(shù)，而白噪聲的自相關(guān)函數(shù)在時延足夠大時將衰減掉。利用這種性質(zhì)可以優(yōu)先求原始信號的自相關(guān)函數(shù)，如在時延足夠大時它不衰減，則可以認為存在周期分量，將周期分量提取出來就可以得到所需的有用信號了。但這種方法要求有用信號是周期信號，對于周期性不強的有用信號，這種方法就行不通了。3　 相干濾波此方法是從疊加有白噪聲的原始信號中提取有用信號的一種有效方法。這種方法就是對原始信號進行多段同步平均。經(jīng)過多段同步平均后，白噪聲的期望值趨于零，而有用信號的期望值保持不變，因此多段同步平均之后得到的信號就是有用信號的理想估計值。但是對于回轉(zhuǎn)機械，如傳動齒輪，要進行同時平均，需求足夠的段數(shù)才能保證去噪效果，這必然要求更多的采樣點數(shù)，給采樣工作帶來了麻煩，同時也影響了信號的分析速度。所以，實際工作中所用到的去除白噪聲的方法要么對有用信號有特殊的要求，要么就必須有預(yù)先的了解，再不就是對采樣有較高的要求，這就限制了這些方法的應(yīng)用范圍和效果。 小波閾值的去噪原理 信號降噪是信號處理的一個基本問題，去噪的目的在于與去除信號中的噪聲或干擾成分。隨著小波理論的不斷成熟，其在信號去噪中的應(yīng)用也越來越廣泛和深入了，現(xiàn)在在信號處理中所應(yīng)用的小波方法大致可以分為三類：（1） 基于模極大值去噪法，1992 年，提出用奇異點模極大值法檢測信號的奇異點，根據(jù)有用信號與噪聲在奇異性上存在差異，采用多分辨率理論，由粗及精地跟蹤各尺度下的小波變換極大值來消除噪聲。去噪原理為：信號的指數(shù)是大于的，噪聲的指數(shù)，其中，因此噪聲的指數(shù)小于，隨著尺度的增大，信號和噪聲所對應(yīng)的小波變換系數(shù)分別是增大和減小。根據(jù)不同尺度間小波變換模極大值變化的規(guī)律，去除幅度隨尺