【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 為，于是原來(lái)的關(guān)于和的二尺度方程就變?yōu)椋憾x：由公式 定義的函數(shù)的集合為由所確定的小波包。因此，小波包是包括尺度函數(shù)和小波函數(shù)在內(nèi)的一個(gè)具有一定聯(lián)系的函數(shù)的集合。小波包具有下列性質(zhì)（設(shè)是由標(biāo)準(zhǔn)正交化的尺度函數(shù)生成的）：1　 對(duì)于任意的，有 2　 對(duì)于任意的，有 令（“”為張成的空間）定義算子，為從空間向空間的投影算子（記）可以證明它們有共軛算子和，且顯然，，是上的正交投影算子，為單位陣，且若定義空間 即空間是由函數(shù)在尺度下的整數(shù)平移之線形組合所生成的子空間在中的閉包，因此，在尺度下的整數(shù)平移系列為空間的一組正交基。由于，并且由正交小波基的理論可知，由及的伸縮平移生成的的空間因子為：則由空間的定義可知：又已知，具有性質(zhì)因此上式可以表示為 現(xiàn)在把這一性質(zhì)推廣到小波包，（為正投影表示符）則有 小波空間的二進(jìn)細(xì)致分解為：對(duì)取定的函數(shù)系是空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。小波包對(duì)的分解相當(dāng)于的第個(gè)頻帶被分割為個(gè)子頻帶。小波包的分解及重構(gòu)算法如下：設(shè)，則可表示為 分解為與，小波包分解算法為： 小波包分解實(shí)際上是通過(guò)一組低、高通組合的共軛正交濾波器不斷將信號(hào)分割到不同的頻帶上，濾波器組每作用一次，信號(hào)長(zhǎng)度減少一半。和重構(gòu)的重構(gòu)算法為： 小波包消噪的原理 在小波包中，其信號(hào)消噪的思想與在小波中的基本一樣，惟一不同的是小波包分析提供r一種更為復(fù)雜，同時(shí)也更為靈活的分析手段．因?yàn)樾〔ò治鰧?duì)上一層的低頻部分和高頻部分同時(shí)進(jìn)行細(xì)分，具有更為精確的局部分析能力。通常，它是按照如下幾個(gè)步驟進(jìn)行細(xì)分： （1）信號(hào)的小波包分解：選擇一個(gè)小波并確定一個(gè)小波分解的層次，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行層小波包分解； （2）計(jì)算最佳樹(shù)：對(duì)于一個(gè)給定的熵標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算最佳樹(shù)。對(duì)于方式，有一個(gè)專(zhuān)門(mén)的“”按鈕用于計(jì)算最佳樹(shù)； （3）小波分解系數(shù)的閾值量化：選擇適當(dāng)?shù)拈撝祵?duì)從的每一高頻系數(shù)進(jìn)行量化處理； (4)小波包重構(gòu)：根據(jù)小波分解的第層的低頻系數(shù)和經(jīng)過(guò)量化處理后的從層的高頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)。 在這4個(gè)步驟之中，最關(guān)鍵的就是如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值的量化。從某種程度上說(shuō)．他直接關(guān)系到信號(hào)消噪的質(zhì)量。 從小波包消噪處理的方法上來(lái)說(shuō)，一般有以下3種處理方法： 強(qiáng)制消噪處理 該方法把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全部變?yōu)?，然后再對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)處理。該辦法比較簡(jiǎn)單，且重構(gòu)后的信號(hào)也比較平滑，但容易丟失信號(hào)的有用成分。 默認(rèn)閾值消噪處理 該方法利用函數(shù)產(chǎn)生信號(hào)的默認(rèn)閾值，然后利用函數(shù)進(jìn)行消噪處理。 給定軟(或硬)閾值進(jìn)行消噪處理 該方法利用實(shí)際消噪處理過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)公式給出閾值，往往比默認(rèn)閾值更具有可信度。 如何選取最優(yōu)小波包基 從濾波器的角度，小波包變換的實(shí)現(xiàn)和離散小波變換沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是在原有的基礎(chǔ)上按同樣的方法對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行分解，所以兩者的實(shí)現(xiàn)方法相同。但是由于小波包分解是對(duì)近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)同時(shí)進(jìn)行分解，使第層的分解系數(shù)為最多的一組，這種單純的把所有的系數(shù)都進(jìn)行分解對(duì)解決問(wèn)題是沒(méi)有幫助的，只會(huì)增加計(jì)算量，而小波包變換的基本思想是為了讓信息能量集中，也就是在細(xì)節(jié)系數(shù)中尋找有序性，把其中的規(guī)律進(jìn)一步的挑出來(lái)，所以必須對(duì)重構(gòu)信號(hào)的分解系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化選擇。小波包基庫(kù)是由許多小波包基組成的，不同的小波包基具有不同的性質(zhì)，能夠反映信號(hào)的不同特征，所以我們希望根據(jù)不同分析信號(hào)的特征來(lái)選擇一個(gè)最好的小波包基，用來(lái)表達(dá)信號(hào)特點(diǎn)。選用最優(yōu)基的目的是用盡量少的系數(shù)，反映盡量多的信息。對(duì)一信號(hào)進(jìn)行一次小波包分解，可采用多種小波包基。小波包分析在確定最佳小波包基時(shí)所用的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，沒(méi)有嚴(yán)格的理論作為保證，不同的問(wèn)題所用標(biāo)準(zhǔn)不一致，我們需要跟據(jù)具體分析的要求，選擇一個(gè)最佳的小波包基，即最佳基( 也叫最優(yōu)樹(shù)) 。選擇最佳基的標(biāo)準(zhǔn)是熵標(biāo)準(zhǔn)。在小波包函數(shù)庫(kù)建立好之后，對(duì)于一個(gè)給定的正交小波基分解，一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)最多有種不同的分解方法，我們基于最小熵標(biāo)準(zhǔn)來(lái)找到一種最優(yōu)的信號(hào)分解方法。 要刻畫(huà)系數(shù)的性質(zhì)，首先要定義一個(gè)序列的代價(jià)函數(shù)，然后在小波包基庫(kù)的所有小波包基中尋找使代價(jià)函數(shù)最小的基。對(duì)一個(gè)給定向量來(lái)說(shuō)，代價(jià)最小就是最有效的表示，此基便稱(chēng)為最優(yōu)基。代價(jià)函數(shù)可以定義為任何關(guān)于序列的實(shí)函數(shù)M，最多使用的是那些能測(cè)得集中度的可加性代價(jià)函數(shù)M。在上述意義下可以定義很多代價(jià)函數(shù)，對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行小波包分解，可以采用多種小波包基，這就要根據(jù)所分析的信號(hào)和噪聲的要求，從中選擇最好的一種小波包基，即對(duì)于一個(gè)給定的熵標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算最優(yōu)小波包基，得到最優(yōu)小波包樹(shù)。熵標(biāo)準(zhǔn)主要有熵、范數(shù)熵、對(duì)數(shù)能量熵、閾值熵等，而且這些熵也可以組合成新的熵標(biāo)準(zhǔn)。在小波包分解時(shí)，需要從四種熵標(biāo)準(zhǔn)中選定一種，由上至下分別計(jì)算下一層的熵值，然后與上一層進(jìn)行比較，由最小熵標(biāo)準(zhǔn)，依次判斷小波包最優(yōu)分解的方向，最后確定基于此熵標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)小波包分解基。 實(shí)例分析及其比較小波變換屬于一種時(shí)頻分析方法，而在它出現(xiàn)之前已經(jīng)有了多種時(shí)頻分析方法，通過(guò)將小波分析和幾種常用的分析方法比較，得出結(jié)論：和傅里葉變換相比，它可進(jìn)行時(shí)頻分析；和短時(shí)傅里葉變換相比，它的分析窗口是可變的。（1）同傅里葉變換比較在傳統(tǒng)的傅里葉分析中，信號(hào)完全是在頻域展開(kāi)的，不包含任何的時(shí)域信息，對(duì)于小波變換來(lái)說(shuō)，它有很多的優(yōu)點(diǎn)：第一，它具有傅里葉變換不具備的時(shí)頻分析能力，可以展現(xiàn)非平穩(wěn)信號(hào)中的瞬時(shí)特征；第二，它具有多分辨率分析的特點(diǎn)，能適應(yīng)于不同頻率范圍的非平穩(wěn)成分；第三，它相當(dāng)于一組具有不同帶寬和不同中心頻率位置的帶通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，可以得到信號(hào)的分頻帶信號(hào)。（2）同短時(shí)傅里葉變換比較在實(shí)際的工程應(yīng)用中，所分析的信號(hào)可能包含很多尖峰或突變部分，而且噪聲也不是平穩(wěn)的白噪聲，對(duì)這種信號(hào)進(jìn)行分析，首先需要做信號(hào)的預(yù)處理，將信號(hào)的噪聲部分去除，提取有用的信號(hào)。對(duì)于這種信號(hào)的消噪，傳統(tǒng)的傅立葉變換分析顯得無(wú)能為力，因?yàn)楦盗⑷~分析是將信號(hào)完全在頻率域中進(jìn)行分析的，它不能給出信號(hào)在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)的信號(hào)變化情況，使得信號(hào)在時(shí)間軸上的任何一個(gè)突變，都會(huì)影響信號(hào)的整個(gè)譜圖。這里我們將對(duì)一個(gè)含噪聲的矩形波信號(hào)，分別用小波閾值分析和傅立葉變換進(jìn)行信號(hào)噪聲處理，可以看出小波分析比傳統(tǒng)的傅立葉分析的優(yōu)越性。，用小波閾值進(jìn)行信號(hào)的消噪可以很好的保存有用信號(hào)中的尖峰和突變部分 。而用傅立葉分析進(jìn)行濾波時(shí)，由于信號(hào)集中在低頻部分，噪聲分布在高頻部分內(nèi)，所以，可用低通濾波器進(jìn)行濾波，但是它不能將有用信號(hào)的高頻部分和噪聲引起的高頻干擾加以有效的區(qū)分。若低通濾波器太窄，則在濾波后，信號(hào)中仍存在大量的噪聲，若低通濾波器太寬，則將一部分有用信號(hào)當(dāng)作噪聲而濾掉了。因此，小波閾值去噪分析對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)消噪有著傅立葉分析不可比擬的優(yōu)點(diǎn)。 本章小結(jié)小波變換是在傅里葉變換基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，作為時(shí)頻分析方法的小波分析方法有很多本質(zhì)性進(jìn)步。小波分析提供了一種自適應(yīng)的時(shí)頻域同時(shí)局部化的方法，可以實(shí)現(xiàn)某些實(shí)際分析的需要。小波變換通過(guò)對(duì)信號(hào)進(jìn)行空間分解來(lái)提取不同的頻率成分的特征信息是其他方法無(wú)法取代的優(yōu)點(diǎn)，而建立在小波變換基礎(chǔ)上的小波包分析方法則對(duì)信號(hào)作了進(jìn)一步的劃分，即對(duì)小波變換中沒(méi)有分解的高頻信息繼續(xù)細(xì)化，從而實(shí)現(xiàn)了高頻段細(xì)微特征信號(hào)的提取，突出了采用小波包變換對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行去噪分析的優(yōu)越性。通過(guò)對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行小波包去噪分析，得出其在實(shí)際信號(hào)分析中的特點(diǎn)如下:(1)信號(hào)的分頻帶特征隨小波包空間的變化而變化。若對(duì)信號(hào)進(jìn)行層小波包空間完全分解，則信號(hào)頻率將被等分成段，有利于特征頻率的提取。(2)各小波包空間在繼續(xù)分解時(shí)，其算法和小波分解算法一樣，信號(hào)經(jīng)小波包分解后，可得到在各頻帶上的時(shí)域信號(hào)，但其長(zhǎng)度減半。所以，當(dāng)信號(hào)長(zhǎng)度太短時(shí)，不宜進(jìn)行多級(jí)小波包分解。若對(duì)信號(hào)進(jìn)行多層小波包分解則采樣點(diǎn)數(shù)應(yīng)盡量取大，在信號(hào)重建時(shí)才能保證信息的完整性。 (3)采用不同小波函數(shù)對(duì)信號(hào)分析的結(jié)果相差不大，但各有相對(duì)的優(yōu)勢(shì)。就故障診斷中的信號(hào)特點(diǎn)而言，經(jīng)過(guò)綜合比較，本文中采用的小波函數(shù)形式為系。主要是因?yàn)槠鋾r(shí)域分辨率和頻域相對(duì)都很好，有很好的時(shí)頻局部化特性。小波函數(shù)具有雙正交性，消失矩為，支撐寬度為,濾波器長(zhǎng)度，支持壓縮，可進(jìn)行離散和連續(xù)小波變換。雖然越大時(shí)，性能越好，但實(shí)際比較了的取值后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，性能較好，當(dāng)再增大時(shí)，性能提高不明顯； (4)對(duì)信號(hào)進(jìn)行閾值去噪分析時(shí)，小波包變換比小波變換更有效。當(dāng)信號(hào)特征頻率不在低頻段時(shí)，使用默認(rèn)閾值去噪，無(wú)論小波變換還是小波包變換都無(wú)法發(fā)揮其頻率局部化的優(yōu)勢(shì)。但根據(jù)信號(hào)頻率信息的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，采用小波包的節(jié)點(diǎn)閾值去噪時(shí)，由于小波包變換能夠?qū)π〔臻g進(jìn)一步分解，隨著小波包分解層數(shù)的增加，可以對(duì)信號(hào)不同頻段的頻率信息進(jìn)行提取，因此將不再受頻率分布特點(diǎn)的約束，去噪靈活性較好。但是小波不能代替傅里葉分析，二者的互補(bǔ)優(yōu)勢(shì)和相輔相成的良好效果已經(jīng)被科研實(shí)踐所證明，對(duì)于長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)比較穩(wěn)定的信號(hào)，還是使用傅里葉分析比較合適。 第4章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集及使用進(jìn)行去噪分析在科學(xué)研究及實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析處理時(shí)，首先要對(duì)分析的信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，其中最重要的就是要消除信號(hào)的噪聲。傳統(tǒng)的方法是利用傅里葉變換，將含噪信號(hào)變換到頻域，然后進(jìn)行濾波去噪。這種方法對(duì)于信號(hào)和噪聲的頻帶相互分離時(shí)比較有效，但當(dāng)信號(hào)和噪聲的頻帶相互重疊時(shí)(比如當(dāng)信號(hào)中混有白噪聲時(shí))，效果則較差。小波變換是近十年來(lái)迅速發(fā)展起來(lái)的一種新的信號(hào)處理工具。作為一種信號(hào)的時(shí)間一尺度(時(shí)間一頻域)分析方法。他具有多分辨分析的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但形狀可以改變的時(shí)頻局部分析方法。但在小波分析中每次只對(duì)上次分解的低頻部分進(jìn)行再分解，而對(duì)高頻部分不再分解，所以在高頻段分辨率較差。而小波包分析是從小波分析延伸出來(lái)的一種對(duì)信號(hào)進(jìn)行更加細(xì)致的分析和重構(gòu)的方法，它不但對(duì)低頻部分進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻部分也做了二次分解，使它在信號(hào)去噪方面表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)，對(duì)信號(hào)的分析能力更強(qiáng)。 常用的去噪方法對(duì)分析信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理是提高數(shù)據(jù)的可靠性和數(shù)據(jù)分析精度的關(guān)鍵，而預(yù)處理的核心就在于如何提高信號(hào)的信噪比，精確地去除信號(hào)中的干擾信號(hào)。由于實(shí)驗(yàn)中取得的信號(hào)往往存在著各種干擾信號(hào)，白噪聲就是這樣一種比較常見(jiàn)的噪聲形式。因?yàn)榘自肼暿菍拵щS機(jī)信號(hào)，其頻帶必然與有用信號(hào)的頻帶相重合，故若采用普通的濾波方法（如低通濾波、高通濾波、帶通濾波等）難以有效的將其分離出來(lái)。在實(shí)際工作中，常用的去除白噪聲的方法主要由以下幾種：1　 窄帶濾波若預(yù)知有用信號(hào)的頻率集中在，則可以通中心頻率為，帶寬為的窄帶濾波器對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行濾波。對(duì)有用信號(hào)，它的譜峰值在濾波后不隨帶寬的減少而變換，但是白噪聲的能量大致均勻地分布在整個(gè)頻帶范圍內(nèi)，濾波后它的輸出會(huì)隨著帶寬的減小而減小，從而達(dá)到抑制白噪聲的效果。但這種方法要求有用信號(hào)是窄帶信號(hào)，并且還要預(yù)先知道有用信號(hào)的頻帶范圍。2　 相關(guān)濾波 如果有用信號(hào)是周期性信號(hào)，那么它的自相關(guān)函數(shù)也是周期函數(shù)，而白噪聲的自相關(guān)函數(shù)在時(shí)延足夠大時(shí)將衰減掉。利用這種性質(zhì)可以優(yōu)先求原始信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，如在時(shí)延足夠大時(shí)它不衰減，則可以認(rèn)為存在周期分量，將周期分量提取出來(lái)就可以得到所需的有用信號(hào)了。但這種方法要求有用信號(hào)是周期信號(hào)，對(duì)于周期性不強(qiáng)的有用信號(hào)，這種方法就行不通了。3　 相干濾波此方法是從疊加有白噪聲的原始信號(hào)中提取有用信號(hào)的一種有效方法。這種方法就是對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行多段同步平均。經(jīng)過(guò)多段同步平均后，白噪聲的期望值趨于零，而有用信號(hào)的期望值保持不變，因此多段同步平均之后得到的信號(hào)就是有用信號(hào)的理想估計(jì)值。但是對(duì)于回轉(zhuǎn)機(jī)械，如傳動(dòng)齒輪，要進(jìn)行同時(shí)平均，需求足夠的段數(shù)才能保證去噪效果，這必然要求更多的采樣點(diǎn)數(shù)，給采樣工作帶來(lái)了麻煩，同時(shí)也影響了信號(hào)的分析速度。所以，實(shí)際工作中所用到的去除白噪聲的方法要么對(duì)有用信號(hào)有特殊的要求，要么就必須有預(yù)先的了解，再不就是對(duì)采樣有較高的要求，這就限制了這些方法的應(yīng)用范圍和效果。 小波閾值的去噪原理 信號(hào)降噪是信號(hào)處理的一個(gè)基本問(wèn)題，去噪的目的在于與去除信號(hào)中的噪聲或干擾成分。隨著小波理論的不斷成熟，其在信號(hào)去噪中的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛和深入了，現(xiàn)在在信號(hào)處理中所應(yīng)用的小波方法大致可以分為三類(lèi)：（1） 基于模極大值去噪法，1992 年，提出用奇異點(diǎn)模極大值法檢測(cè)信號(hào)的奇異點(diǎn)，根據(jù)有用信號(hào)與噪聲在奇異性上存在差異，采用多分辨率理論，由粗及精地跟蹤各尺度下的小波變換極大值來(lái)消除噪聲。去噪原理為：信號(hào)的指數(shù)是大于的，噪聲的指數(shù)，其中，因此噪聲的指數(shù)小于，隨著尺度的增大，信號(hào)和噪聲所對(duì)應(yīng)的小波變換系數(shù)分別是增大和減小。根據(jù)不同尺度間小波變換模極大值變化的規(guī)律，去除幅度隨尺