第五講機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波(編輯修改稿)
2025-07-23 08:15 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的能量還為我們提供了求振子頻率的另一種方法，這種方法不涉及振子所受的力，在力不易求得時(shí)較為方便，將勢(shì)能寫成位移的函數(shù)，即。另有 也可用總能量和振幅表示為 圖5325．3．阻尼振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程的機(jī)械能是守恒的，這類振動(dòng)一旦開(kāi)始，就永不停止，是一種理想狀態(tài)。實(shí)際上由于摩擦等阻力不可完全避免，在沒(méi)有外來(lái)動(dòng)力的條件下，振動(dòng)總會(huì)逐漸減弱以致最后停息。這種振幅逐漸減小的振動(dòng)，稱為阻尼振動(dòng)。阻尼振動(dòng)不是諧振動(dòng)。①振動(dòng)模型與運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖532所示，為考慮阻尼影響的振動(dòng)模型，c為阻尼器，粘性阻尼時(shí)，阻力R=cv，設(shè)m運(yùn)動(dòng)在任一x位置，由有 分為 （17） 式中 圖5331cmx圖534這里參考圖方法不再適用，當(dāng) C 較小時(shí)，用微分方程可求出振體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（如圖）②阻尼對(duì)振動(dòng)的影響由圖533可見(jiàn)，阻尼使振幅逐漸衰減，直至為零。同時(shí)也伴隨著振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能逐漸衰減為零。 此外，愈大，即阻尼愈大，振幅衰減愈快。而增大質(zhì)量m可使n減小。所以，為了減小阻尼，單擺的重球及彈簧振子往往選用重球。③常量阻力下的振動(dòng)例如圖534所示，倔強(qiáng)系數(shù)為250g/cm的彈簧一端固定，另端連結(jié)一質(zhì)量為30g的物塊，置于水平面上，摩擦系數(shù)，現(xiàn)將彈簧拉長(zhǎng)1cm后靜止釋放。試求：（1）物塊獲得的最大速度；（2）物塊經(jīng)過(guò)彈簧原長(zhǎng)位置幾次后才停止運(yùn)動(dòng)。解：振體在運(yùn)動(dòng)中所受摩擦阻力是與速度方向相反的常量力，并不斷耗散系統(tǒng)的機(jī)械能，故不能像重力作用下那樣，化為諧振動(dòng)處理。（1）設(shè)首次回程中，物塊運(yùn)動(dòng)至彈簧拉力等于摩擦力的x位置時(shí)，達(dá)最大速度。由 ，再由能量守恒： 代入已知數(shù)據(jù)得：（2）設(shè)物體第一次回程中，彈簧的最大壓縮量為，則 再設(shè)物體第一次返回中，彈簧的最大拉伸量為，則 可見(jiàn)振體每經(jīng)過(guò)一次彈簧原長(zhǎng)位置，振幅減小是相同的，且均為圖535 而 故物體經(jīng)過(guò)16次彈簧原長(zhǎng)位置后，停止在該處右方。5．3．3 受迫振動(dòng)——在周期性策動(dòng)外力作用下的振動(dòng)。例如：揚(yáng)聲器的發(fā)聲，機(jī)器及電機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)引起的振動(dòng)。振動(dòng)模型及運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖535所示，為策動(dòng)外力作用下的振動(dòng)模型。其中，阻力R=cv，為常見(jiàn)的粘性阻尼力。策動(dòng)力F=Hcospt，為簡(jiǎn)諧力時(shí)。由，有化為標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)式 式中 ， 由微分方程理論可求得振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律（2）受迫振動(dòng)的特性在阻尼力較小的條件下，簡(jiǎn)諧策動(dòng)力引起的振動(dòng)規(guī)律如圖536所示。在這個(gè)受迫振動(dòng)過(guò)程由兩部分組成：一部分是按阻尼系統(tǒng)本身的固有頻率所作的衰減振動(dòng)，稱為瞬態(tài)振動(dòng)（圖（a））；另一部分按策動(dòng)力頻率所作的穩(wěn)定振動(dòng)（圖（b））。在實(shí)際問(wèn)題中，瞬態(tài)振動(dòng)很快消失，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)顯得更加重要。穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的頻率與系統(tǒng)本身的固有頻率無(wú)關(guān)，其振幅與初位相也不由初始條件確定，而與策動(dòng)頻率p密切相關(guān)。5．3．共振—當(dāng)策動(dòng)力頻率p接近于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)受迫振動(dòng)振幅出現(xiàn)最大值的現(xiàn)象。 圖537如圖537所示的一組曲線，描述了不同阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅A隨策動(dòng)力頻率p改變而引起的變化規(guī)律。由圖可見(jiàn)：當(dāng)p接近時(shí)振幅最大，出現(xiàn)共振。阻尼越小，共振越大。時(shí)，振幅就是靜力偏移，即 p時(shí)，振體由于慣性，來(lái)不及改變運(yùn)動(dòng)，處于靜止?fàn)顟B(tài)。167。 振動(dòng)的合成若一個(gè)物體同時(shí)受到兩個(gè)或幾個(gè)周期性策動(dòng)力的作用，在一般情況下其中一個(gè)力的存在不會(huì)對(duì)另外一個(gè)力產(chǎn)生影響，這時(shí)物體的振動(dòng)就是它在各個(gè)策動(dòng)力單獨(dú)作用下產(chǎn)生的振動(dòng)相互疊加后的振動(dòng)，由各策動(dòng)力單獨(dú)產(chǎn)生的振動(dòng)來(lái)求它們疊加后的振動(dòng)，叫振動(dòng)的合成。5. 4． 同方向、同頻率兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成（a ） （b） （c）圖536當(dāng)一個(gè)物體同時(shí)參與同方向的兩個(gè)振動(dòng)時(shí)，它在某一時(shí)刻的位移應(yīng)為同一時(shí)刻兩個(gè)振動(dòng)的位移的代數(shù)和。當(dāng)兩振動(dòng)的頻率相同時(shí)，設(shè)此兩振動(dòng)的位移分別為 則合振動(dòng)的位移應(yīng)為： 上式中：根據(jù)以上結(jié)論，進(jìn)一步可以看到：①若（k為整數(shù)），則 即合振動(dòng)的振幅達(dá)到最大值，此時(shí)合振動(dòng)的初位相與分振動(dòng)的初位相同（或相差）②若或 則 即合振動(dòng)的振幅達(dá)到最小值。此時(shí)合振動(dòng)的初位相取決于和的大小。即當(dāng)時(shí)，合振動(dòng)的初位相等于；當(dāng)時(shí)，合振動(dòng)的初位相等于；當(dāng)時(shí)，則A=0，物體不會(huì)發(fā)生振動(dòng)。③一般情況下，可以任意值，合振動(dòng)的振幅A的取值范圍為 ≥≥5. 4． 同方向、頻率相近的兩振動(dòng)的合成設(shè)物體同時(shí)參與兩個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，例如 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們已設(shè)，這只要適當(dāng)?shù)剡x取時(shí)間零點(diǎn)，是可以做到的。如果再設(shè)，則合振動(dòng) 由于和相差不多，則
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